AKÚTNY TROJUHOLNÍK: VLASTNOSTI A TYPY - MATEMATIKA - 2025

V akútnej trojuholníky sú tie, ktorých tri vnútorné uhly sú ostré uhly; to znamená, že miera každého z týchto uhlov je menšia ako 90 °. Keďže nemáme žiadny pravý uhol, zistili sme, že pythagorova veta neplatí pre tento geometrický útvar.

Preto, ak chceme mať nejaký druh informácií o ktorejkoľvek jeho strane alebo uhle, je potrebné využiť ďalšie vety, ktoré nám umožňujú prístup k uvedeným údajom. Môžeme použiť sínusovú vetu a kosínusovú vetu.

vlastnosti

Medzi charakteristiky, ktoré má tento geometrický útvar, môžeme zdôrazniť tie, ktoré sú dané jednoduchou skutočnosťou, že ide o trojuholník. Medzi nimi máme:

- Trojuholník je mnohouholník, ktorý má tri strany a tri uhly.

- Súčet jeho troch vnútorných uhlov sa rovná 180 °.

- Súčet jeho dvoch strán je vždy väčší ako tretí.

Ako príklad sa pozrime na nasledujúci trojuholník ABC. Všeobecne označujeme jeho strany malým písmenom a jeho uhly veľkým písmenom tak, aby jedna strana a jej opačný uhol mali rovnaké písmeno.

Z už uvedených charakteristík vieme, že:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b a b + c> a

Hlavným znakom, ktorý odlišuje tento typ trojuholníka od zvyšku, je to, že, ako sme už uviedli, jeho vnútorné uhly sú ostré; to znamená, že miera každého z jeho uhlov je menšia ako 90 °.

Akútne trojuholníky spolu s tupými trojuholníkmi (tie, v ktorých jeden z ich uhlov má mieru väčšiu ako 90 °), sú súčasťou súpravy šikmých trojuholníkov. Táto súprava sa skladá z trojuholníkov, ktoré nie sú pravouhlé.

Keďže šikmé trojuholníky sú súčasťou, musíme byť schopní vyriešiť problémy týkajúce sa akútnych trojuholníkov, musíme využiť sínusovú vetu a kosínovú vetu.

Sinusová veta

Sinusová veta hovorí, že pomer strany k sínusu jej opačného uhla je rovný dvojnásobku polomeru kruhu tvoreného tromi vrcholmi trojuholníka. To znamená:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Kozinova veta

Na druhej strane, cosinova veta nám dáva tieto tri rovnosti pre akýkoľvek trojuholník ABC:

a ² = b ² + c ^{2 -2} bc * cos (A)

b ² = a ² + c ² -2ac * cos (B)

c ² = a ² + b ² -2ab * cos (C)

Tieto vety sa tiež nazývajú sínusovým zákonom a kosínskym zákonom.

Ďalšou charakteristikou akútnych trojuholníkov môžeme uviesť, že dva z nich sú si rovné, ak spĺňajú niektoré z týchto kritérií:

- Ak majú rovnaké tri strany.

- Ak majú jednu stranu a dva rovnaké uhly.

- Ak majú dve rovnaké strany a uhol.

druhy

Akútne trojuholníky je možné klasifikovať podľa ich strán. Môžu to byť:

Rovnostranné akútne trojuholníky

Sú to ostré trojuholníky, ktoré majú všetky svoje strany rovnaké, a preto všetky ich vnútorné uhly majú rovnakú hodnotu, ktorá je A = B = C = 60 ° stupňov.

Ako príklad si vezmeme nasledujúci trojuholník, ktorého strany a, b a c majú hodnotu 4.

Rovnoramenné ostré trojuholníky

Tieto trojuholníky majú okrem ostrých vnútorných uhlov charakteristickú odlišnosť dvoch z ich rovnakých strán a tretieho, ktorý sa všeobecne považuje za základňu.

Príkladom tohto typu trojuholníkov môže byť ten, ktorého základňa je 3 a jeho ďalšie dve strany majú hodnotu 5. Pri týchto meraniach by mali opačné uhly k rovnakým stranám s hodnotou 72,55 ° a opačný uhol základňa by bola 34,9 °.

Scalene ostré trojuholníky

Toto sú trojuholníky, ktoré majú rôzne strany dve po dvoch. Preto všetky jeho uhly, okrem toho, že sú menšie ako 90 °, sa líšia od dvoch do dvoch.

Trojuholník DEF (ktorého rozmery sú d = 4, e = 5 af = 6 a jeho uhly sú D = 41,41 °, E = 55,79 ° a F = 82,8 °) je dobrým príkladom akútneho trojuholníka Scalene.

Rozlíšenie akútnych trojuholníkov

Ako sme už povedali, na riešenie problémov týkajúcich sa akútnych trojuholníkov je potrebné použiť sínusové a kosínusove vety.

Príklad 1

Vzhľadom na trojuholník ABC s uhlami A = 30 °, B = 70 ° a stranou a = 5 cm chceme poznať hodnotu uhla C a strán b a c.

Prvá vec, ktorú robíme, je použitie skutočnosti, že súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180 °, aby sme získali hodnotu uhla C.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

Vyčistíme C a máme:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

Pretože už poznáme tri uhly a jednu stranu, môžeme použiť sínusovú vetu na určenie hodnoty zvyšných strán. Podľa vety máme:

a / hriech (A) = b / hriech (B) a a / hriech (A) = c / (hriech (C)

Izolujeme b od rovnice a zostane nám:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0,940) / (0,5) ≈ 9,4

Teraz potrebujeme iba vypočítať hodnotu c. Postupujeme rovnako ako v predchádzajúcom prípade:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0,984) / (0,5) ≈ 9,84

Takto získame všetky údaje z trojuholníka. Ako vidíme, tento trojuholník spadá do kategórie škvrnitého ostrého trojuholníka.

Príklad 2

Vzhľadom na trojuholník DEF so stranami d = 4 cm, e = 5 cm af = 6 cm, chceme poznať hodnotu uhlov tohto trojuholníka.

V tomto prípade použijeme kosínsky zákon, ktorý nám hovorí, že:

d ² = e ² + f ² - 2efcos (D)

Z tejto rovnice môžeme vyriešiť cos (D), čo nám vedie k výsledku:

Cos (D) = ((4) ² - (5) ² - (6) ² ) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75

Preto máme D have 41,41 °

Pri použití teórie senom máme teraz nasledujúcu rovnicu:

d / (sin (D) = e / (sin (E)

Riešenie pre hriech (E), máme:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0,66) / 4 ≈ 0,827

Preto máme 55,59 ° C

Nakoniec, s použitím súčtu vnútorných uhlov trojuholníka 180 °, máme F≈82,8 °.

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometria (opakovaná tlač). Progress.
2. Leake, D. (2006). Trojuholníky (ilustrované vydanie). Heinemann-Raintree.
3. Leal G. Juan Manuel. (2003). Rovinná metrická geometria
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometria. CR technológia.
5. Sullivan, M. (1997). Trigonometria a analytická geometria. Pearson Education.