- Príklady stupňa polynómu
- Tabuľka 1. Príklady polynómov a ich stupňov
- Postup pri práci s polynómami
- Usporiadajte, zmenšite a dokončite polynóm
- Dôležitosť stupňa sčítania a odčítania polynómu
- Riešené cvičenia
- - Cvičenie vyriešené 1
- Riešenie
- - Cvičenie vyriešené 2
- Riešenie
- Referencie
Stupeň polynómu v premennej je daný termín, ktorý má najväčší exponent, a v prípade, že polynom má dve alebo viac premenných, potom sa stupeň je určený súčtom exponentov každého termínu, tým väčšia suma je stupeň polynómu.
Pozrime sa, ako praktickým spôsobom určiť stupeň polynómu.
Obrázok 1. Einsteinova slávna rovnica pre energiu E je monomérom absolútneho stupňa 1 pre premennú hmotu, označeným m, pretože rýchlosť svetla c sa považuje za konštantnú. Zdroj: Piqsels.
Predpokladajme, že polynómu P (x) = -5x blikne + 8x 3 + 7 - 4x 2 . Tento polynóm je jednou premennou, v tomto prípade je to premenná x. Tento polynóm pozostáva z niekoľkých výrazov, ktoré sú nasledujúce:
A čo je to exponent? Odpoveď je 3. Preto P (x) je polynóm stupňa 3.
Ak má daný polynóm viac ako jednu premennú, potom stupeň môže byť:
-Absolute
- Vo vzťahu k premennej
Absolútny stupeň sa nachádza tak, ako je vysvetlené na začiatku: sčítanie exponentov každého semestra a výber najväčšieho.
Namiesto toho je stupeň polynómu vzhľadom na jednu z premenných alebo písmen najväčšou hodnotou exponentu, ktorý má dané písmeno. Tento bod bude objasnený pomocou príkladov a vyriešených cvičení v nasledujúcich častiach.
Príklady stupňa polynómu
Polynomy môžu byť klasifikované podľa stupňa a môžu to byť prvý stupeň, druhý stupeň, tretí stupeň atď. V príklade na obrázku 1 je energia hmotou prvého stupňa.
Je tiež dôležité poznamenať, že počet výrazov, ktoré má polynóm, sa rovná stupňu plus 1. Preto:
- Polynómy prvého stupňa majú 2 výrazy: a 1 x + a o
- Polynóm druhého stupňa má 3 výrazy: 2 x 2 + a 1 x + a o
- Polynóm tretieho stupňa má 4 výrazy: 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a alebo
A tak ďalej. Pozorný čitateľ si všimol, že polynómy v predchádzajúcich príkladoch sú napísané v klesajúcej forme, to znamená, že najvyšší stupeň umiestňujú na prvé miesto.
Nasledujúca tabuľka zobrazuje rôzne polynómy, jednej aj viacerých premenných a ich príslušné absolútne stupne:
Tabuľka 1. Príklady polynómov a ich stupňov
| polynóm | stupeň |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | jeden |
| x 5- bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 a 5 + 5x 2 a 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
Posledné dva polynómy majú viac ako jednu premennú. Z nich bol výraz s najvyšším absolútnym stupňom zvýraznený tučným písmom, aby čitateľ mohol rýchlo skontrolovať stupeň. Je dôležité si uvedomiť, že keď premenná nemá písomný exponent, rozumie sa, že uvedený exponent sa rovná 1.
Napríklad vo zvýraznenom termíne ab 3 x 2 sú tri premenné, a to: a, b a x. V tomto termíne je a zvýšené na 1, to znamená:
a = a 1
Preto ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Pretože exponent b je 3 a x je 2, okamžite vyplýva, že stupeň tohto výrazu je:
1 + 3 + 2 = 6
Y je absolútny stupeň polynómu, pretože žiadny iný výraz nemá vyšší stupeň.
Postup pri práci s polynómami
Pri práci s polynómami je dôležité venovať pozornosť jej stupňu, pretože najskôr a pred vykonaním akejkoľvek operácie je vhodné postupovať podľa týchto krokov, v ktorých stupeň poskytuje veľmi dôležité informácie:
-Objednávajte polynóm preferencie v klesajúcom smere. Pojem s najvyšším stupňom je teda vľavo a výraz s najnižším stupňom vpravo.
-Znížiť podobné výrazy, postup, ktorý spočíva v algebraickom pridaní všetkých výrazov rovnakej premennej a stupňa, ktoré sa nachádzajú vo výraze.
-Ak je to potrebné, sú polynómy vyplnené vložením výrazov, ktorých koeficient je 0, v prípade, že chýbajú výrazy s exponentom.
Usporiadajte, zmenšite a dokončite polynóm
Vzhľadom na polynóm P (x) = 6x 2 - 5 x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12 sa požaduje, aby bol usporiadaný v zostupnom poradí, zredukoval podobné výrazy, ak existujú, a doplnil chýbajúce výrazy. ak je presný.
Prvá vec, ktorú treba hľadať, je výraz s najväčším exponentom, ktorým je stupeň polynómu, ktorý sa ukáže byť:
x 7
Preto P (x) je stupňa 7. Potom je usporiadaný polynóm začínajúci týmto výrazom vľavo:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7 -12
Teraz sú podobné termíny redukované, čo sú nasledujúce: - 2x a 3x na jednej strane. A 7 a -12 na druhej strane. Aby sa znížili, koeficienty sa pridávajú algebraicky a premenná sa nezmení (ak sa premenná neobjaví vedľa koeficientu, nezabudnite, že x 0 = 1):
-2x + 3x = x
7 -12 = -5
Nahraďte tieto výsledky v P (x):
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5 x 4 - 3 x 3 + 6 x 2 + x -5
A nakoniec sa skúma polynóm, aby sa zistilo, či nejaký exponent chýba, a naozaj chýba výraz, ktorého exponentom je 6, preto sa doplní nulami, ako je tento:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5 x 4 - 3 x 3 + 6 x 2 + x - 5
Teraz sa pozoruje, že polynóm zostal s 8 výrazmi, pretože, ako už bolo povedané, počet výrazov sa rovná stupňu + 1.
Dôležitosť stupňa sčítania a odčítania polynómu
S polynómami môžete vykonávať operácie sčítania a odčítania, v ktorých sa sčítavajú alebo odčítavajú iba podobné výrazy, ktoré sú rovnaké s rovnakou premennou a rovnakým stupňom. Ak neexistujú podobné termíny, sčítanie alebo odčítanie sa jednoducho označí.
Po vykonaní sčítania alebo odčítania, pričom druhé je súčet opaku, stupeň výsledného polynómu je vždy rovnaký alebo menší ako stupeň polynómu pridaním najvyššieho stupňa.
Riešené cvičenia
- Cvičenie vyriešené 1
Nájdite nasledujúcu sumu a určite jej absolútny stupeň:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
Riešenie
Je to polynóm s dvoma premennými, takže je vhodné zredukovať podobné výrazy:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5a 3 - 2x 3
Oba termíny majú stupeň 3 v každej premennej. Absolútny stupeň polynómu je preto 3.
- Cvičenie vyriešené 2
Vyjadrte plochu nasledujúceho geometrického útvaru ako polynóm (obrázok 2 vľavo). Aký je stupeň výsledného polynómu?
Obrázok 2. Vľavo je obrázok pre vyriešené cvičenie 2 a vpravo, ten istý obrázok sa rozloží na tri oblasti, ktorých výraz je známy. Zdroj: F. Zapata.
Riešenie
Pretože ide o oblasť, výsledný polynóm musí mať v premennej x stupeň 2. Na určenie vhodného výrazu pre oblasť sa obrázok rozloží na známe oblasti:
Plocha obdĺžnika a trojuholníka sú: základňa x výška a základňa x výška / 2
A 1 = x. 3x = 3x 2 ; 2 = 5. x = 5x; A 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Poznámka : základňa trojuholníka je 3x - x = 2x a jeho výška je 5.
Teraz sa pridajú tri získané výrazy, čím získame oblasť obrázku ako funkciu x:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
Referencie
- Baldor, A. 1974. Elementary Algebra. Cultural Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Wikibooks. Polynómy. Získané z: es. wikibooks.org.
- Wikipedia. Stupeň (polynóm). Obnovené z: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. Mac Graw Hill.