- Demo a vzorce
- Príklady
- Príklad 1
- Príklad 2
- Riešené cvičenia
- - Cvičenie 1
- riešenie
- - Cvičenie 2
- riešenie
- Referencie
Tieto kruhové permutácie sú rôzne druhy zoskupenie všetkých prvkov množiny, kedy majú byť usporiadané v kruhu. Pri tomto type permutácie záleží na poradí a prvky sa neopakujú.
Predpokladajme napríklad, že chcete poznať počet rôznych polí číslic jedna až štyri, pričom každé číslo umiestnite na jeden z vrcholov kosoštvorca. Celkom by to bolo 6 opatrení:
Nemalo by sa zamieňať, že číslo jedna je v hornej polohe kosoštvorca vo všetkých prípadoch ako pevná poloha. Kruhové permutácie sa nemenia rotáciou poľa. Nasleduje jedna alebo rovnaká permutácia:
Demo a vzorce
V príklade rôznych 4-ciferných kruhových polí umiestnených na vrcholoch kosoštvorca sa počet polí (6) dá nájsť takto:
1 - Ktorákoľvek zo štyroch číslic sa považuje za východiskový bod v ktoromkoľvek z vrcholov a postupuje do nasledujúceho vrcholu. (nezáleží na tom, či je otočený v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek)
2 - Na výber druhého vrcholu zostávajú 3 možnosti, potom sú na výber 2 možnosti na výber tretieho vrcholu a, samozrejme, existuje iba jedna možnosť výberu pre štvrtý vrchol.
3- Počet kruhových permutácií, označených (4 - 1) P (4 - 1), sa získa súčinom výberových možností v každej polohe:
(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 rôznych 4-ciferných kruhových polí.
Počet kruhových permutácií, ktoré je možné dosiahnuť všetkými n prvkami množiny, je všeobecne:
(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)
Všimnite si, že (n - 1)! Je známa ako n faktoriál a skracuje súčin všetkých čísel od čísla (n - 1) po číslo jedna vrátane.
Príklady
Príklad 1
Koľko rôznych spôsobov musí sedieť 6 ľudí pri kruhovom stole?
Chcete nájsť množstvo rôznych spôsobov, ako môže okolo 6 ľudí sedieť pri okrúhlom stole.
Počet spôsobov na sedenie = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!
Počet spôsobov sedenia = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 rôznych spôsobov
Príklad 2
Koľko rôznych spôsobov sa musí 5 ľudí umiestniť na vrchole päťuholníka?
Hľadá sa počet spôsobov, ako možno umiestniť 5 ľudí v každom z vrcholov päťuholníka.
Počet spôsobov umiestnenia = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!
Počet spôsobov umiestnenia = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 rôznych spôsobov
Riešené cvičenia
- Cvičenie 1
Klenotník získava 12 rôznych drahých kameňov, aby ich umiestnil na miesto hodín, ktoré pripravuje v mene kráľovského domu európskej krajiny.
a) Koľko rôznych spôsobov musí usporiadať kamene na hodinách?
b) Koľko má rôzne tvary, ak je kameň, ktorý ide do 12. hodiny, jedinečný?
c) Koľko rôznych tvarov, ak je kameň v 12 hodín jedinečný a kamene v ostatných troch svetových stranách, 3, 6 a 9 hodín; Existujú tri konkrétne kamene, ktoré je možné vymeniť, a zvyšok hodín je priradený zvyšku kameňov?
riešenie
a) Vyžaduje sa počet spôsobov, ako usporiadať všetky kamene po obvode hodín; to znamená počet kruhových usporiadaní zahŕňajúcich všetky dostupné kamene.
Počet zostáv na hodinách = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!
Počet opráv na hodinách = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Počet usporiadaní hodín = 39976800 rôznych tvarov
b) Pýta sa, koľko rôznych spôsobov objednávania existuje, pretože vie, že kameň na rukoväti 12 hodín je jedinečný a pevný; to znamená počet kruhových usporiadaní zahŕňajúcich zvyšných 11 kameňov.
Počet usporiadaní hodín = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!
Počet opráv na hodinách = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Počet usporiadaní hodín = 3 628 800 rôznych tvarov
c) Nakoniec sa hľadá počet spôsobov, ako si objednať všetky kamene, s výnimkou fixného kameňa 12 hodín, kameňov 3, 6 a 9, ktoré majú 3 kamene, ktoré majú byť navzájom priradené; to znamená, 3! možnosti usporiadania a počet kruhových usporiadaní zahŕňajúcich zostávajúcich 8 kameňov.
Počet opráv v hodinách = 3! * = 3! * (8-1)!
Počet opráv v hodinách = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Počet usporiadaní hodín = 241920 rôznych tvarov
- Cvičenie 2
Riadiaci výbor spoločnosti sa skladá z 8 členov a stretávajú sa pri oválnom stole.
a) Koľko rôznych foriem usporiadania okolo stola má výbor?
b) Predpokladajme, že predseda sedí v čele tabuľky v akomkoľvek usporiadaní výboru, koľko rôznych foriem usporiadania má zvyšok výboru?
c) Predpokladajme, že podpredseda a tajomník zasadajú na ktorejkoľvek strane prezidenta v akomkoľvek usporiadaní výboru. Koľko rôznych foriem usporiadania má zvyšok výboru?
riešenie
a) Chceme nájsť množstvo rôznych spôsobov, ako usporiadať 12 členov výboru okolo oválneho stola.
Počet usporiadaní výborov = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!
Počet usporiadaní výborov = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Počet usporiadaní výborov = 39976800 rôznych foriem
b) Keďže predseda výboru sa nachádza na pevnom mieste, hľadá sa počet spôsobov, ako objednať zvyšných 11 členov výboru pri oválnom stole.
Počet usporiadaní výborov = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!
Počet usporiadaní výborov = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Počet usporiadaní výborov = 3 628 800 rôznych foriem
c) Prezident sa nachádza na pevnom mieste a po stranách sú viceprezident a tajomník s dvoma možnosťami usporiadania: viceprezident vpravo a tajomník vľavo alebo viceprezident vľavo a tajomník vpravo. Potom by ste chceli nájsť množstvo rôznych spôsobov, ako usporiadať zvyšných 9 členov výboru okolo oválneho stola a vynásobiť dvoma formami usporiadania, ktoré má viceprezident a tajomník.
Počet usporiadaní výborov = 2 * = 2 *
Počet usporiadaní výborov = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
Počet usporiadaní výborov = 80640 rôznych foriem
Referencie
- Boada, A. (2017). Použitie permutácie s opakovaním ako výučby experimentov. Vivat Academia Magazine. Obnovené zo stránky researchgate.net.
- Canavos, G. (1988). Pravdepodobnosť a štatistika. Aplikácie a metódy. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
- Glass, G; Stanley, J. (1996). Štatistické metódy, ktoré sa neuplatňujú v spoločenských vedách. Prentice Hall Hispanoamericana SA
- Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Štatistiky. Štvrté vydanie. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
- Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Ye, Ka. (2007). Pravdepodobnosť a štatistika pre inžinierov a vedcov. Ôsma ed. Pearson Education International Prentice Hall.
- Webster, A. (2000). Štatistika sa vzťahuje na podnikanie a hospodárstvo. Tretie vydanie. McGraw-Hill / Interamericana SA
- Wikipedia. (2019). Permutácie. Obnovené z en.wikipedia.org.