ELLIPSOID: CHARAKTERISTIKY A PRÍKLADY - ARTE - 2025

Elipsoid je plocha v priestore, ktorý patrí do skupiny povrchy quadric a ktorých všeobecná rovnica je v tvare:

Je to trojrozmerný ekvivalent elipsy, ktorá sa v niektorých osobitných prípadoch vyznačuje eliptickými a kruhovými stopami. Stopy sú krivky získané pretínaním elipsoidu s rovinou.

Obrázok 1. Tri rôzne elipsoidy: v hornej časti guľa, v ktorej sú tri poloosy rovnaké, vľavo dole sféroid, s dvoma rovnakými poloosami a inou a nakoniec vpravo dole trojosý sféroid s tromi rôznymi osami dĺžka. Zdroj: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Okrem elipsoidu existuje ešte päť kvadrik: jeden a dva listy hyperboloidu, dva typy paraboloidu (hyperbolický a eliptický) a eliptický kužeľ. Jeho stopy sú tiež kónické.

Elipsoid možno tiež vyjadriť štandardnou rovnicou v karteziánskych súradniciach. Elipsoid vystredený na pôvod (0,0,0) a vyjadrený týmto spôsobom sa podobá elipse, ale s ďalším výrazom:

Hodnoty a, b a c sú reálne čísla väčšie ako 0 a predstavujú tri poloosy elipsoidu.

Charakteristiky elipsoidov

- Štandardná rovnica

Štandardná rovnica v karteziánskych súradniciach pre elipsu vycentrovanú v bode (h, k, m) je:

- Parametrické rovnice elipsoidu

V sférických súradniciach možno elipsoid opísať takto:

x = hriech 9. cos φ

y = b sin θ. sen φ

z = c cos θ

Poloosy elipsoidu zostávajú a, ba ac, zatiaľ čo parametre sú uhly 9 a φ nasledujúceho obrázku:

Obrázok 2. Sférický súradnicový systém. Elipsoid možno parametrizovať pomocou zobrazených uhlov theta a phi ako parametrov. Zdroj: Wikimedia Commons. Andeggs / verejné vlastníctvo.

- Stopy elipsoidu

Všeobecná rovnica povrchu v priestore je F (x, y, z) = 0 a stopy povrchu sú krivky:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

V prípade elipsoidu sú takéto krivky elipsy a niekedy kruhy.

- Hlasitosť

Objem V elipsoidu je daný (4/3) π násobkom súčin jeho troch poloosí:

V = (4/3) n. abc

Osobitné prípady elipsoidu

- Elipsoid sa stane guľou, keď sú všetky poloosy rovnakej veľkosti: a = b = c ≠ 0. To dáva zmysel, pretože elipsoid je ako guľa, ktorá bola na každom z nich natiahnutá odlišne. os.

- Sféroid je elipsoid, v ktorom sú dve poloosy identické a tretia je iná, napríklad to môže byť a = b ≠ c.

Sféroid sa tiež nazýva rotačný elipsoid, pretože ho možno generovať otáčaním elipsy okolo osi.

Ak sa os otáčania zhoduje s hlavnou osou, sféroid je prolátovaný, ale ak sa zhoduje s vedľajšou osou, je plochý:

Obrázok 3. Oblate sféroidy vľavo a prolate sféroidy vpravo. Zdroj: Wikimedia Commons.

Miera vyrovnania sféroidu (elipticita) je daná rozdielom v dĺžke medzi dvoma poloosami, vyjadreným v zlomkovej forme, to znamená, že ide o jednotkové vyrovnanie, dané:

f = (a - b) / a

V tejto rovnici, a predstavuje semi-hlavnú os a b semi-vedľajšiu os, nezabudnite, že tretia os je rovnaká ako jedna z nich pre sféroid. Hodnota f je medzi 0 a 1 a pre sféroid musí byť väčšia ako 0 (ak by sa rovnala 0, mali by sme jednoducho guľu).

Referenčný elipsoid

Planéty a hviezdy všeobecne nie sú zvyčajne dokonalé gule, pretože rotačný pohyb okolo ich osí splošťuje telo pri póloch a vydúva ho pri rovníku.

Preto sa ukazuje, že Zem je ako sploštený sféroid, aj keď nie tak zveličený ako ten na predchádzajúcom obrázku, a pre svoju časť je plynový gigant Saturn najplošnejšou z planét v slnečnej sústave.

Realistickejší spôsob, ako reprezentovať planéty, je predpokladať, že sú ako sféroidný alebo elipsoidný revolúcia, ktorej polosúvislou osou je rovníkový polomer a polomenšou osou je polárny polomer.

Dôkladné merania na svete umožnili zostaviť referenčný elipsoid Zeme ako najpresnejší spôsob matematického spracovania.

Hviezdy tiež majú rotačné pohyby, ktoré im dávajú viac či menej sploštené tvary. Rýchla hviezda Achernar, ôsma najjasnejšia hviezda na nočnej oblohe, v južnom súhvezdí Eridanus je v porovnaní s väčšinou väčšia eliptika. Je to 144 svetelných rokov od nás.

Na druhej strane, pred niekoľkými rokmi vedci našli najsférickejší objekt, aký bol kedy nájdený: hviezda Kepler 11145123 vzdialená 5 000 svetelných rokov, dvojnásobok veľkosti nášho Slnka a rozdiel medzi poloosami iba 3 km. Podľa očakávania sa točí aj pomalšie.

Čo sa týka Zeme, nie je to dokonalý sféroid ani kvôli jej drsnému povrchu a lokálnym zmenám v gravitácii. Z tohto dôvodu je k dispozícii viac ako jeden referenčný sféroid a na každom mieste sa vyberie najvhodnejšia pre miestnu geografiu.

Pomoc satelitov je neoceniteľná pri vytváraní stále presnejších modelov tvaru Zeme, vďaka nim je napríklad známe, že južný pól je bližšie k rovníku ako severný pól.

Obrázok 4. Haumea, transneptunská planéta trpaslíkov má elipsoidný tvar. Zdroj: Wikimedia Commons.

Numerický príklad

V dôsledku rotácie Zeme sa vytvára odstredivá sila, ktorá jej dáva tvar podlhovastého elipsoidu namiesto gule. Rovníkový polomer Zeme je známy ako 3963 míľ a polárny polomer je 3942 míľ.

Nájdite rovnicu rovníkovej stopy, rovnicu tohto elipsoidu a mieru jej sploštenia. Porovnajte tiež s elipticitou Saturn s údajmi uvedenými nižšie:

-Saturn Rovníkový polomer: 60,268 km

- Polárny polomer Saturn: 54 364 km

Riešenie

Vyžaduje sa súradnicový systém, ktorý bude vychádzať zo zamerania na pôvod (stred Zeme). Predpokladáme, že vertikálna os z a stopa, ktorá zodpovedá rovníku, leží na rovine xy, čo je rovina z = 0.

V rovníkovej rovine sú poloosy aab rovnaké, teda a = b = 3963 míľ, zatiaľ čo c = 3942 míľ. Toto je zvláštny prípad: sféroid vycentrovaný v bode (0,0,0), ako je uvedené vyššie.

Rovníková stopa je kruh s polomerom R = 3963 míľ, centrovaný na východ. Vypočíta sa z = 0 v štandardnej rovnici:

A štandardná rovnica zemského elipsoidu je:

f _Zem = (a - b) / a = (3963 - 3942) míle / 3963 míle = 0,0053

f _Saturn = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Všimnite si, že elipticita f je bezrozmerné množstvo.

Referencie

1. ArcGIS pre počítače. Sféroidy a gule. Obnovené z: desktop.arcgis.com.
2. BBC World. Tajomstvo naj sférickejšieho predmetu, aký bol kedy vo vesmíre objavený. Obnovené z: bbc.com.
3. Larson, R. Calculus and Analytical Geometry. Šieste vydanie. Zväzok 2. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Elipsoid. Obnovené z: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Guľovité. Obnovené z: en.wikipedia.org.