AXIÁLNA SYMETRIA: VLASTNOSTI, PRÍKLADY A CVIČENIA - MATEMATIKA - 2024

Axiálne symetria je, keď body v obr zhodujú s mieste ďalšieho čísla od priamej poliacou názvom os súmernosti. Nazýva sa tiež radiálna, rotačná alebo valcová symetria.

Zvyčajne sa používa v geometrických obrazcoch, ale v prírode je ľahko pozorovateľný, pretože existujú zvieratá, ako sú motýle, škorpióny, lienky alebo ľudia, ktorí vykazujú axiálnu symetriu.

Na tejto fotografii panorámy mesta Toronto a jej odrazu vo vode je zobrazená axiálna symetria. (Zdroj: pixabay)

Ako nájsť axiálnu symetrickú

Na nájdenie axiálnej symetrie P 'bodu P vzhľadom na priamku (L) sa vykonajú tieto geometrické operácie:

1. - Kolmá na priamku (L), ktorá prechádza bodom P.

2. - Zachytenie týchto dvoch čiar určuje bod O.

3. - Zmeria sa dĺžka segmentu PO, potom sa táto dĺžka skopíruje na priamku (PO) začínajúcu od O v smere od P do O, určujúc bod P '.

4. - Bod P 'je axiálna symetria bodu P vzhľadom na os (L), pretože čiara (L) je priesečník segmentu PP', pričom O je stredom tohto segmentu.

Obrázok 1. Dva body P a P 'sú axiálne symetrické k osi (L), ak je uvedená os deliaca čiara segmentu PP'

Vlastnosti axiálnej symetrie

- Izometrická osová symetria, tj vzdialenosti geometrického útvaru a jeho zodpovedajúca symetria sú zachované.

- Miera uhla a jeho symetria sú rovnaké.

- Axiálna symetria bodu na osi symetrie je samotný bod.

- Symetrická čiara priamky rovnobežnej s osou symetrie je tiež priamkou rovnobežnou s touto osou.

- Sekundárna čiara k osi symetrie má ako symetrickú čiaru ďalšiu secantovú čiaru, ktorá zasa pretína os symetrie v rovnakom bode na pôvodnej čiare.

- Symetrický obraz priamky je ďalšou priamkou, ktorá vytvára uhol s osou symetrie rovnakou mierkou ako pôvodná priamka.

- Symetrický obraz priamky kolmej na os symetrie je ďalšou priamkou, ktorá prekrýva prvú.

- Čiara a jej osová symetrická čiara tvoria uhol, ktorého čiara je osou symetrie.

Obrázok 2. Axiálna symetria zachováva vzdialenosti a uhly.

Príklady axiálnej symetrie

Príroda vykazuje bohaté príklady axiálnej symetrie. Napríklad môžete vidieť symetriu tváre, hmyzu, ako sú motýle, odraz na pokojných vodných plochách a zrkadlách alebo listy rastlín.

Obrázok 3. Tento motýľ vykazuje takmer dokonalú axiálnu symetriu. (Zdroj: pixabay)

Obrázok 4. Táto dievčenská tvár má axiálnu symetriu. (Zdroj: pixabay)

Osové symetrické cvičenia

Cvičenie 1

Máme trojuholník vrcholov A, B a C, ktorých karteziánske súradnice sú A = (2, 5), B = (1, 1) a C = (3,3). Nájdite karteziánske súradnice trojuholníka symetrického okolo osi Y (súradnica).

Riešenie: Ak má bod P súradnice (x, y), potom jeho symetria okolo osi y (os Y) je P '= (- x, y). Inými slovami, hodnota jej úsečky mení znamenie, zatiaľ čo hodnota súradnice zostáva rovnaká.

V tomto prípade bude mať symetrický trojuholník vrcholy A ', B' a C 'súradnice:

A '= (-2,5); B '= (-1,1) a C' = (-3,3), ako je možné vidieť na obrázku 6.

Obrázok 6. Ak má bod súradnice (x, y), jeho symetria vzhľadom na os Y (súradnica) bude mať súradnice (-x, y).

Cvičenie 2

Pokiaľ ide o trojuholník ABC a jeho symetrický A'B'C 'z cvičenia 1, skontrolujte, či majú rovnaké strany pôvodného trojuholníka a jeho symetrie rovnakú dĺžku.

Riešenie: Na zistenie vzdialenosti alebo dĺžky strán používame euklidovský vzorec vzdialenosti:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (By-Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1) ) ^ 2 (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

Dĺžka zodpovedajúcej symetrickej strany A'B 'sa vypočíta nižšie:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

Týmto spôsobom sa overuje, že axiálna symetria zachováva vzdialenosť medzi dvoma bodmi. Tento postup sa môže opakovať pre ďalšie dve strany trojuholníka a jeho symetrický postup na kontrolu nemennosti v dĺžke. Napríklad -AC- = -A'C'- = -5 = 2,236.

Cvičenie 3

Pokiaľ ide o trojuholník ABC a jeho symetrický A'B'C 'z cvičenia 1, skontrolujte, či príslušné uhly pôvodného trojuholníka a jeho symetrie majú rovnaké uhlové mierky.

Riešenie: Na stanovenie mier uhlov BAC a B'A'C 'najprv vypočítame skalárny súčin vektorov AB s AC a potom skalárny súčin A'B' s A'C ' .

Pamätajte na to:

A = (2, 5), B = (1, 1) a C = (3,3)

A '= (-2,5); B '= (-1,1) a C' = (-3,3).

Má:

AB = <1-2, 1-5> a AC = <3-2, 3-5>

podobne

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> a AC = <-3 + 2, 3-5>

Potom sa nájdu nasledujúce skalárne výrobky:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

podobne

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Uhol BAC je:

∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC- )) =

ArcCos (7 / (4,123 - 2336)) = 40,6 °

Podobne je miera uhla B'A'C ':

∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'- )) =

ArcCos (7 / (4,123 - 2336)) = 40,6 °

Záver tejto axiálnej symetrie zachováva mieru uhlov.

Cvičenie 4

Nech bod P je súradníc (a, b). Nájdite súradnice svojej axiálnej symetrie P 'vzhľadom na priamku y = x.

Riešenie: Nazveme (a ', b') súradnice symetrického bodu P 'vzhľadom na priamku y = x. Stred M segmentu PP 'má súradnice ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) a je tiež na priamke y = x, takže platí rovnaká rovnosť:

a + a '= b + b'

Na druhej strane má segment PP 'sklon -1, pretože je kolmý na priamku y = x so sklonom 1, takže platí rovnaká rovnosť:

b - b '= a' -a

Pri riešení predchádzajúcich dvoch rovností a 'ab' sa dospelo k záveru, že:

a '= tým b' = a.

To znamená, že vzhľadom na bod P (a, b) je jeho axiálna symetria vzhľadom na priamku y = x P '(b, a).

Referencie

1. Arce M., Blázquez S a ďalší. Transformácie roviny. Obnovené z: educutmxli.files.wordpress.com
2. Výpočet cc. Axiálna symetria. Získané z: výpočt.cc
3. Superprof. Axiálna symetria. Získané z: superprof.es
4. wikipedia. Axiálna symetria. Obnovené z: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Kruhová symetria. Obnovené z: en.wikipedia.com