- histórie
- Základné pojmy
- Spoločné pojmy
- Postuláty alebo axiómy
- Príklady
- Prvý príklad
- Návrh 1.4. (LAL)
- demonštrácie
- Druhý príklad
- Návrh 1.5. (
- Tretí príklad
- Návrh 1.31
- budova
- vyhlásenie
- demonštrácie
- Referencie
V euklidovskej geometrie zodpovedá štúdiu vlastností geometrických priestorov, kde sú splnené Euclidovy axiómy. Aj keď sa tento výraz niekedy používa na pokrytie geometrií, ktoré majú vyššie rozmery s podobnými vlastnosťami, vo všeobecnosti je to synonymum klasickej geometrie alebo rovinnej geometrie.
V III. Storočí a. C. Euklidy a jeho učeníci napísali Prvky, dielo, ktoré zahŕňalo matematické znalosti času obdareného logicko-deduktívnou štruktúrou. Odvtedy sa z geometrie stala veda, ktorá pôvodne riešila klasické problémy a vyvinula sa ako formatívna veda, ktorá pomáha rozumu.
histórie
Ak chceme hovoriť o histórii euklidovskej geometrie, je nevyhnutné začať s euklidovským Alexandrom a prvkami.
Keď bol Egypt ponechaný v rukách Ptolemaia I., po smrti Alexandra Veľkého začal svoj projekt v škole v Alexandrii.
Medzi mudrcami, ktorí učili v škole, bol Euclid. Predpokladá sa, že jeho narodenie sa datuje približne od roku 325 pnl. C. a jeho smrť 265 a. C. S istotou vieme, že išiel do Platónovej školy.
Euclid učil viac ako tridsať rokov v Alexandrii a budoval svoje slávne prvky: začal písať vyčerpávajúci popis matematiky svojej doby. Euclidove učenia priniesli vynikajúcich učeníkov, ako napríklad Archimedes a Apollonius z Pergy.
Euclid mal na starosti štruktúrovanie rôznorodých objavov starovekých Grékov v životoch, ale na rozdiel od svojich predchodcov sa neobmedzuje len na potvrdzovanie pravdy; Euclid ponúka ukážku.
Elements je súhrnom trinástich kníh. Po Biblii je to najviac publikovaná kniha s viac ako tisíc vydaniami.
Euklidove prvky
Prvky sú Euclidovým majstrovským dielom v oblasti geometrie a ponúkajú definitívne spracovanie geometrie dvoch rozmerov (rovina) a troch rozmerov (priestor), čo je pôvod toho, čo teraz poznáme ako euklidovská geometria ,
Základné pojmy
Prvky sa skladajú z definícií, bežných pojmov a postulátov (alebo axiómov), za ktorými nasledujú vety, konštrukcie a dôkazy.
- Ide o to, ktoré nemá časti.
- Čiara je dĺžka, ktorá nemá šírku.
- Priama čiara je taká, ktorá leží rovnako vo vzťahu k bodom, ktoré sú v nej.
- Ak sú dve čiary odrezané tak, aby susedné uhly boli rovnaké, uhly sa nazývajú priame a čiarové.
- Paralelné čiary sú tie, ktoré sa nikdy nepretínajú v tej istej rovine.
Po týchto a ďalších definíciách nám Euclid predkladá zoznam piatich postulátov a piatich pojmov.
Spoločné pojmy
- Dve veci, ktoré sa rovnajú jednej tretine, sú si navzájom rovnaké.
- Ak sa rovnaké veci pridajú k rovnakým veciam, výsledky sú rovnaké.
- Ak sú rovnaké veci odpočítané, rovnaké výsledky sú rovnaké.
- Veci, ktoré sa navzájom zhodujú, sú rovnaké.
- Celková suma je väčšia ako časť.
Postuláty alebo axiómy
- Jedna a iba jedna línia prechádza dvoma rôznymi bodmi.
- Priamky sa dajú predlžovať na neurčito.
- Môžete nakresliť kruh s ktorýmkoľvek stredom a polomerom.
- Všetky správne uhly sú rovnaké.
- Ak priama čiara pretína dve priamky tak, že vnútorné uhly tej istej strany sčítajú menej ako dva pravé uhly, potom sa tieto dve priamky krížia na tejto strane.
Tento posledný postulát sa nazýva paralelný postulát a preformuloval sa nasledujúcim spôsobom: „Pre bod mimo priamky je možné nakresliť jednu rovnobežku s danou priamkou.“
Príklady
Ďalej niektoré vety prvkov slúžia na zobrazenie vlastností geometrických priestorov, v ktorých je splnených päť postulátov Euklidov; Ďalej budú ilustrovať logicko-deduktívne zdôvodnenie použité týmto matematikom.
Prvý príklad
Návrh 1.4. (LAL)
Ak majú dva trojuholníky dve strany a uhol medzi nimi je rovnaký, potom sú ostatné strany a ostatné uhly rovnaké.
demonštrácie
Nech ABC a A'B'C 'sú dva trojuholníky, pričom AB = A'B', AC = A'C 'a uhly BAC a B'A'C' sú rovnaké. Poďme pohnúť trojuholníkom A'B'C 'tak, že A'B' sa zhoduje s AB a tento uhol B'A'C 'sa zhoduje s uhlom BAC.
Čiara A'C 'sa teda zhoduje s čiarou AC, takže C' sa zhoduje s písmenom C. Potom sa podľa postulátu 1 musí čiara BC zhodovať s čiarou B'C '. Preto sa tieto dva trojuholníky zhodujú, a preto sú ich uhly a strany rovnaké.
Druhý príklad
Návrh 1.5. (
Predpokladajme, že trojuholník ABC má rovnaké strany AB a AC.
Trojuholníky ABD a ACD majú dve rovnaké strany a uhly medzi nimi sú rovnaké. Podľa návrhu 1.4 sú uhly ABD a ACD rovnaké.
Tretí príklad
Návrh 1.31
Môžete vytvoriť priamku rovnobežnú s čiarou danou daným bodom.
budova
Vzhľadom na priamku L a bod P je priamka M nakreslená cez P a pretína L. Potom je priamka N nakreslená cez P, ktorá pretína L. Teraz je priamka N nakreslená cez P, ktorá pretína M, tvoriaci uhol rovný uhlu, ktorý L vytvára s M.
vyhlásenie
N je rovnobežná s L.
demonštrácie
Predpokladajme, že L a N nie sú rovnobežné a pretína sa v bode A. Nech B je bod v L za A. Zvážte čiaru O, ktorá prechádza cez B a P. Potom O pretína M v uhloch, ktoré sa sčítajú do menej ako dva rovné.
Potom musí 1,5 priesečníka O pretínať čiaru L na druhej strane M, takže L a O sa pretínať v dvoch bodoch, čo je v rozpore s postulátom 1. Preto L a N musia byť rovnobežné.
Referencie
- Prvky geometrie. Národná autonómna univerzita v Mexiku
- Euclid. Prvých šesť kníh a jedenásta a dvanástina Euclidových prvkov
- Eugenio Filloy Yague. Didaktika a história euklidovskej geometrie, Grupo Editorial Iberoamericano
- K. Ribnikov. Dejiny matematiky. Mir Editorial
- Viloria, N., & Leal, J. (2005) Plane Analytical Geometry. Editorial Venezolana CA