INJEKČNÁ FUNKCIA: ČO TO JE, NA ČO SLÚŽI A PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Prosté zobrazenie je nejaký vzťah prvkov domény s jediným prvkom codomain. Známe tiež ako funkcia jedna ku jednej ( 1 - 1 ), sú súčasťou klasifikácie funkcií vzhľadom na spôsob, akým sú ich prvky spojené.

Prvkom codomény môže byť iba obraz jedného prvku domény, takže hodnoty závislej premennej sa nemôžu opakovať.

Zdroj: Autor.

Jasným príkladom by bolo zoskupenie mužov s úlohami v skupine A av skupine B všetkých bossov. Funkcia F bude tá, ktorá spája každého pracovníka s jeho šéfom. Ak je každý pracovník spojený s iným šéfom prostredníctvom F , potom F bude injekčnou funkciou .

Aby sa zvážila funkčná injekčná aplikácia , musia byť splnené tieto podmienky:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Toto je algebraický spôsob vyjadrovania. Pre každé x ₁ odlišné od x ₂ máme F (x ₁ ) odlišné od F (x ₂ ).

Na čo slúžia injekčné funkcie?

Injektivita je vlastnosť nepretržitých funkcií, pretože zabezpečujú priradenie obrazov pre každý prvok domény, čo je podstatný aspekt v kontinuite funkcie.

Pri kreslení čiary rovnobežnej s osou X na graf injekčnej funkcie by sa graf mal dotknúť iba jedného bodu, bez ohľadu na to, v akej výške alebo veľkosti Y je čiara nakreslená. Toto je grafický spôsob testovania injektívnosti funkcie.

Ďalším spôsobom, ako otestovať, či je funkcia injektívna, je riešenie nezávislej premennej X z hľadiska závislej premennej Y. Potom sa musí overiť, či doména tohto nového výrazu obsahuje skutočné čísla v rovnakom čase ako pre každú hodnotu Y existuje jediná hodnota X.

Funkcie alebo vzťahy vzťahov sa riadia, okrem iného, ​​zápisom F: D _f → C _f

Číta sa F, ktorá prechádza z D _f do C _f

Ak sa funkcia F týka množín, doména a kodoména. Nazýva sa tiež začiatočná a dokončovacia súprava.

Doména D _f obsahuje povolené hodnoty pre nezávislé premenné. Codomain C _F sa skladá zo všetkých hodnôt, ktoré sú k dispozícii závislej premennej. Prvky C _f spojené s D _f sú známe ako rozsah funkcie (R _f ).

Úprava funkcie

Niekedy môže byť funkcia, ktorá nie je injekčná, podrobená určitým podmienkam. Tieto nové podmienky môžu z neho urobiť injekčnú funkciu. Všetky druhy modifikácií domény a codomény funkcie sú platné, pričom cieľom je splniť injektívne vlastnosti v zodpovedajúcom vzťahu.

Príklady funkcií vstrekovania s riešenými cvičeniami

Príklad 1

Nech je funkcia F: R → R definovaná čiarou F (x) = 2x - 3

A:

Zdroj: Autor.

Poznamenáva sa, že pre každú hodnotu domény je v kodoméne obraz. Tento obrázok je jedinečný, vďaka čomu je F injekčnou funkciou. Platí to pre všetky lineárne funkcie (funkcie, ktorých najvyšší stupeň premennej je jedna).

Zdroj: Autor.

Príklad 2

Nech je funkcia F: R → R definovaná pomocou F (x) = x ² +1

Zdroj: Autor

Pri nakreslení vodorovnej čiary sa zistí, že graf sa nachádza pri viacerých príležitostiach. Z tohto dôvodu funkcia F nie je injektívna, pokiaľ je definovaná R → R

Postupujeme k podmieneniu domény funkcie:

F: R ⁺ U {0} → R

Zdroj: Autor

Nezávislá premenná teraz neberie záporné hodnoty, týmto spôsobom sa zabráni opakujúcim sa výsledkom a funkcia F: R ⁺ U {0} → R definovaná pomocou F (x) = x ² + 1 je injektívna .

Iným homológnym riešením by bolo obmedziť doménu doľava, to znamená obmedziť funkciu tak, aby brala iba záporné a nulové hodnoty.

Postupujeme k podmieneniu domény funkcie

F: R ^- U {0} → R

Zdroj: Autor

Nezávislá premenná teraz neberie záporné hodnoty, týmto spôsobom sa zabráni opakujúcim sa výsledkom a funkcia F: R ^- U {0} → R definovaná pomocou F (x) = x ² + 1 je injektívna .

Trigonometrické funkcie majú vlnové správanie, kde je veľmi časté nájsť opakovania hodnôt v závislej premennej. Prostredníctvom špecifického kondicionovania, na základe predchádzajúcich znalostí o týchto funkciách, môžeme zúžiť doménu tak, aby spĺňala podmienky injektivity.

Príklad 3

Nech je funkcia F: → R definovaná pomocou F (x) = Cos (x)

V intervale funkcia cosine mení svoje výsledky medzi nulou a jednou.

Zdroj: Autor.

Ako vidno na grafe. Začína od nuly pri x = - π / 2, potom dosiahne maximum pri nule. Po x = 0 sa hodnoty začnú opakovať, až sa vrátia na nulu pri x = π / 2. Týmto spôsobom je známe, že F (x) = Cos (x) nie je injektívny pre interval.

Pri štúdiu grafu funkcie F (x) = Cos (x) sa pozorujú intervaly, v ktorých sa správanie krivky prispôsobuje kritériám injektivity. Napríklad interval

Tam, kde sa funkcia líši, sú výsledky od 1 do -1 bez opakovania akejkoľvek hodnoty v závislej premennej.

Týmto spôsobom je funkčná funkcia F: → R definovaná pomocou F (x) = Cos (x). Je to injekčné

Tam, kde sa vyskytnú podobné prípady, existujú nelineárne funkcie. Pre výrazy racionálneho typu, kde menovateľ obsahuje aspoň jednu premennú, existujú obmedzenia, ktoré bránia injektivite vzťahu.

Príklad 4

Nech je funkcia F: R → R definovaná pomocou F (x) = 10 / x

Funkcia je definovaná pre všetky reálne čísla s výnimkou {0}, ktorý má neurčitosť (nedá sa deliť nulou) .

Keď sa závislá premenná blíži k nule zľava, berie veľmi veľké záporné hodnoty a hneď po nule hodnoty závislej premennej nadobúdajú veľké kladné čísla.

Toto prerušenie robí výraz F: R → R definovaný pomocou F (x) = 10 / x

Nebuď injekčný.

Ako je zrejmé z predchádzajúcich príkladov, vylúčenie hodnôt v doméne slúži na „opravu“ týchto neurčitostí. Postupne vylučujeme nulu z domény, pričom počiatočné a cieľové sady sú definované takto:

R - {0} → R

Kde R - {0} symbolizuje skutočnosti, s výnimkou sady, ktorej jediný prvok je nula.

Týmto spôsobom je výraz F: R - {0} → R definovaný pomocou F (x) = 10 / x injektívny.

Príklad 5

Nech je funkcia F: → R definovaná pomocou F (x) = Sen (x)

V intervale sínusová funkcia mení svoje výsledky medzi nulou a jednou.

Zdroj: Autor.

Ako vidno na grafe. Začína od nuly pri x = 0 a potom dosiahne maximum pri x = π / 2. Po x = π / 2 sa hodnoty začnú opakovať, až sa vrátia na nulu pri x = π. Týmto spôsobom je známe, že F (x) = Sen (x) nie je injektívny pre interval.

Pri štúdiu grafu funkcie F (x) = Sen (x) sa pozorujú intervaly, v ktorých sa správanie krivky prispôsobuje kritériám injektivity. Napríklad interval

Tam, kde sa funkcia líši, sú výsledky od 1 do -1 bez opakovania akejkoľvek hodnoty v závislej premennej.

Týmto spôsobom je funkcia F: → R definovaná pomocou F (x) = Sen (x). Je to injekčné

Príklad 6

Skontrolujte, či funkcia F: → R definovaná F (x) = Tan (x)

F: → R definované pomocou F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R definované čiarou F (x) = 7x + 2

Referencie

1. Úvod do logického a kritického myslenia. Merrilee H. Salmon. University of Pittsburgh
2. Problémy v matematickej analýze. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Vroclavská univerzita. Poľsko.
3. Prvky abstraktnej analýzy. Mícheál O'Searcoid PhD. Katedra matematiky. Univerzitná univerzita Dublin, Beldfield, Dublind 4.
4. Úvod do logiky a metodológie deduktívnych vied. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxfordská univerzitná tlač.
5. Princípy matematickej analýzy. Enrique Linés Escardó. Redakcia Reverté S. A 1991. Barcelona, ​​Španielsko.