CHYBA VZORKOVANIA: VZORCE A ROVNICE, VÝPOČET, PRÍKLADY - DUDAS - 2025

Vzorkovanie chyby alebo vzorkovania chyba v štatistikách je rozdiel medzi priemernou hodnotou vzorky a stredná hodnota z celkovej populácie. Na ilustráciu tejto myšlienky si predstavme, že celková populácia mesta je milión ľudí, z ktorých chcete dosiahnuť priemernú veľkosť obuvi, pre ktorú je odobratá náhodná vzorka tisíce ľudí.

Priemerná veľkosť, ktorá sa získa zo vzorky, sa nemusí nevyhnutne zhodovať s veľkosťou celej populácie, hoci ak vzorka nie je ovplyvnená, hodnota musí byť blízko. Tento rozdiel medzi strednou hodnotou vzorky a priemerom celkovej populácie predstavuje chybu vo vzorke.

Obrázok 1. Pretože vzorka je podskupinou celkovej populácie, priemer vzorky má medzu chyby. Zdroj: F. Zapata.

Priemerná hodnota celkovej populácie nie je všeobecne známa, existujú však techniky na zníženie tejto chyby a vzorce na odhad rozpätia chybovosti pri výbere vzoriek, o ktorom sa bude hovoriť v tomto článku.

Vzorce a rovnice

Povedzme, že chceme poznať priemernú hodnotu určitej merateľnej charakteristiky x v populácii veľkosti N, ale keďže N je veľké množstvo, nie je možné vykonať štúdiu o celkovej populácii, potom pristúpime k odberu náhodnej vzorky veľkosť n <

Stredná hodnota vzorky je označená a stredná hodnota celkovej populácie sa označuje gréckym písmenom μ (read mu alebo miu).

Predpokladajme, že m vzorky sa odoberajú z celkovej populácie N, všetky rovnakej veľkosti n so strednými hodnotami 1>, 2> 3>, ….m>.

Tieto stredné hodnoty nebudú navzájom identické a budú sa pohybovať okolo priemernej hodnoty μ μ. Rozpätie chyby vzorkovania E označuje očakávané oddelenie stredných hodnôt relatívne k priemernej hodnote populácie μ v rámci stanoveného percenta nazývaného úroveň spoľahlivosti γ (gama).

Štandardná odchýlka chyby ε vzorky veľkosti n je:

ε = σ / √n

kde σ je štandardná odchýlka (druhá odmocnina rozptylu), ktorá sa vypočíta pomocou tohto vzorca:

σ = √

Význam štandardného chybového rozpätia ε je nasledujúci:

Priemerná hodnota získaná vzorkou veľkosti n je zahrnutá do intervalu ( - ε, + ε) s úrovňou spoľahlivosti 68,3%.

Ako vypočítať chybu vzorkovania

V predchádzajúcej časti bol uvedený vzorec na nájdenie štandardného chybového rozpätia vzorky s veľkosťou n, kde slovo štandard naznačuje, že ide o chybovú medzeru so spoľahlivosťou 68%.

To naznačuje, že ak sa odobralo veľa vzoriek rovnakej veľkosti n, 68% z nich poskytne stredné hodnoty v rozsahu.

Existuje jednoduché pravidlo, nazývané pravidlo 68-95-99.7, ktoré nám umožňuje ľahko nájsť chybovú hranicu vzorkovania E pre úrovne spoľahlivosti 68%, 95% a 99,7%, pretože táto hranica je 1⋅ ε, 2 ⋅ ε a 3⋅ ε.

Pre istotu

Ak hladina spoľahlivosti γ nepatrí medzi vyššie uvedené, potom je vzorkovacia chyba štandardná odchýlka σ vynásobená faktorom Zγ, ktorý sa získa nasledujúcim postupom:

1.- Najprv sa stanoví hladina významnosti α, ktorá sa vypočíta z úrovne spoľahlivosti γ pomocou tohto vzťahu: α = 1 - γ

2.- Potom musíme vypočítať hodnotu 1 - α / 2 = (1 + γ) / 2, ktorá zodpovedá akumulovanej normálnej frekvencii medzi -∞ a Zy, v normálnom alebo gaussovskom rozdelení typizovaného F (z), ktorého definícia je vidieť na obrázku 2.

3.- Rovnica F (Zγ) = 1 - α / 2 sa rieši pomocou tabuliek normálneho rozdelenia (kumulatívne) F alebo pomocou počítačovej aplikácie, ktorá má inverznú gaussovskú funkciu F ^-1 .

V druhom prípade máme:

Zy = G- ^l (1 - a / 2).

4.- Nakoniec sa tento vzorec uplatňuje na chybu vzorkovania s úrovňou spoľahlivosti γ:

E = Zγ ⋅ (σ / √n)

Obrázok 2. Tabuľka normálneho rozdelenia. Zdroj: Wikimedia Commons.

Príklady

- Príklad 1

Vypočítajte štandardnú chybovú maržu v priemernej hmotnosti vzorky 100 novorodencov. Výpočet priemernej hmotnosti bol= 3 100 kg so štandardnou odchýlkou ​​σ = 1 500 kg.

Riešenie

Štandardná hranica chyby je ε = σ / √n = (1 500 kg) / 100 = 0,15 kg. To znamená, že na základe týchto údajov možno odvodiť, že hmotnosť 68% novorodencov je medzi 2 950 kg a 3,25 kg.

- Príklad 2

Ak je priemerná hmotnosť 3 100 kg pri štandardnej odchýlke σ = 1 500 kg, stanovte rozpätie chyby E a hmotnostný rozsah 100 novorodencov s 95% hladinou spoľahlivosti.

Riešenie

Ak sa uplatňuje pravidlo 68; 95; 99,7 → 1⋅ ε; 2 ε; 3 ε, máme:

E = 2⋅ε = 2–0,15 kg = 0,30 kg

Inými slovami, 95% novorodencov bude mať hmotnosť medzi 2 800 kg a 3 400 kg.

- Príklad 3

Stanovte rozsah hmotností novorodencov v príklade 1 s 99,7% hranicou spoľahlivosti.

Riešenie

Chyba vzorkovania s 99,7% spoľahlivosťou je 3 σ / √n, čo je v našom prípade E = 3 * 0,15 kg = 0,45 kg. Odtiaľ vyplýva, že 99,7% novorodencov bude mať hmotnosť medzi 2 650 kg a 3 550 kg.

- Príklad 4

Stanovte faktor Zγ pre hladinu spoľahlivosti 75%. Určite rozpätie chyby vzorkovania s touto úrovňou spoľahlivosti v prípade uvedenom v príklade 1.

Riešenie

Úroveň spoľahlivosti je γ = 75% = 0,75, ktorá súvisí s hladinou významnosti α prostredníctvom vzťahu γ = (1 - α), takže hladina významnosti je α = 1 - 0,75 = 0 25.

To znamená, že kumulatívna normálna pravdepodobnosť medzi -∞ a Zγ je:

P (Z <Zy) = 1 - 0,125 = 0,875

Čo zodpovedá hodnote Zγ 1,1503, ako je znázornené na obrázku 3.

Obrázok 3. Stanovenie faktoru Zγ, ktoré zodpovedá úrovni spoľahlivosti 75%. Zdroj: F. Zapata cez Geogebra.

Inými slovami, vzorkovacia chyba je E = Zy ⋅ (σ / √n) = 1,15 ⋅ (σ / √n).

Pri použití na údaje z príkladu 1 dáva chybu:

E = 1,15 x 0,15 kg = 0,17 kg

S úrovňou spoľahlivosti 75%.

- Cvičenie 5

Aká je úroveň spoľahlivosti, ak Z _{α / 2} = 2,4?

Riešenie

P (Z <Z _{a / 2} ) = 1 - a / 2

P (Z ≤ 2,4) = 1 - a / 2 = 0,9918 → a / 2 = 1 - 0,9918 = 0,0082 → a = 0,0164

Úroveň významnosti je:

a = 0,0164 = 1,64%

A nakoniec, úroveň dôveryhodnosti zostáva:

1- α = 1 - 0,0164 = 100% - 1,64% = 98,36%

Referencie

1. Canavos, G. 1988. Pravdepodobnosť a štatistika: Aplikácie a metódy. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Pravdepodobnosť a štatistika pre techniku ​​a vedu. 8 .. Vydanie. ABI.
3. Levin, R. 1988. Štatistika pre správcov. 2 .. Vydanie. Prentice Hall.
4. Sudman, S. 1982. Kladenie otázok: Praktický sprievodca navrhovaním dotazníkov. San Francisco. Jossey Bass.
5. Walpole, R. 2007. Pravdepodobnosť a štatistika pre strojárstvo a vedy. Pearson.
6. Wonnacott, TH a RJ Wonnacott. 1990. Úvodná štatistika. 5. vydanie, Wiley
7. Wikipedia. Chyba vzorkovania. Obnovené z: en.wikipedia.com
8. Wikipedia. Rozpätie chyby. Obnovené z: en.wikipedia.com