ANTIDERIVATIVE: VZORCE A ROVNICE, PRÍKLADY, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2025

Primitívne F (x) funkcia f (x) je tiež nazývaný primitívne alebo jednoducho neurčitý integrál uvedené funkcie, ak je v danom intervale I, je splnená, že f '(x) = f (x)

Napríklad vezmime nasledujúcu funkciu:

f (x) = 4x ³

Antiderivátom tejto funkcie je F (x) = x ⁴ , pretože pri diferenciácii F (x) pomocou derivačného pravidla pre sily:

Získame presne f (x) = 4x ³ .

Je to však iba jeden z mnohých antiderivátov f (x), pretože táto ďalšia funkcia: G (x) = x ⁴ + 2 je tiež, pretože keď sa rozlišuje G (x) vzhľadom na x, získa sa to isté. späť f (x).

Pozrime sa na to:

Pamätajte, že derivácia konštanty je 0. Preto môžeme k termínu x ⁴ pridať ľubovoľnú konštantu a jej derivácia zostane 4x ³ .

Dospelo sa k záveru, že akákoľvek funkcia všeobecnej formy F (x) = x ⁴ + C, kde C je skutočná konštanta, slúži ako antiderivát f (x).

Ilustratívny príklad uvedený vyššie sa dá vyjadriť takto:

dF (x) = 4x ³ dx

Antiderivatívny alebo neurčitý integrál je vyjadrený symbolom ∫, preto:

F (x) = -4 x ³ dx = x ⁴ + C

Kde sa funkcia f (x) = 4x ³ nazýva integrand a C je konštanta integrácie.

Príklady antiderivátov

Obrázok 1. Antiderivát nie je nič iné ako neurčitý integrál. Zdroj: Pixabay.

Nájdenie antiderivátu funkcie je v niektorých prípadoch, keď sú deriváty dobre známe, jednoduché. Napríklad, nech funkcia f (x) = sin x, antiderivatívom pre ňu je ďalšia funkcia F (x), takže pri jej diferenciácii dostaneme f (x).

Táto funkcia môže byť:

F (x) = - cos x

Skontrolujte, či je to pravda:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

Preto môžeme napísať:

∫sen x dx = -cos x + C

Okrem poznania derivátov existuje niekoľko základných a jednoduchých integračných pravidiel na nájdenie antiderivatívneho alebo neurčitého integrálu.

Nech k je skutočná konštanta, potom:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Ak funkciu h (x) možno vyjadriť ako sčítanie alebo odčítanie dvoch funkcií, potom je jej neurčitý integrál:

3. - ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Toto je vlastnosť linearity.

Pravidlo právomoci pre integrály sa môže ustanoviť týmto spôsobom:

V prípade n = -1 sa použije toto pravidlo:

5 - ∫ x ^-1 dx = ln x + C

Je ľahké ukázať, že derivát ln x je presne x ^-1 .

Diferenciálne rovnice

Diferenciálna rovnica je rovnica, v ktorej sa neznáma nachádza ako derivát.

Z predchádzajúcej analýzy je teraz ľahké si uvedomiť, že inverzná operácia s derivátom je antiderivatívny alebo neurčitý integrál.

Nech f (x) = y´ (x), to je derivát určitej funkcie. Na označenie tohto derivátu môžeme použiť nasledujúci zápis:

Z toho okamžite vyplýva, že:

Neznámou diferenciálnou rovnicou je funkcia y (x), jej derivát je f (x). Na jeho vyriešenie je predchádzajúci výraz integrovaný na obidvoch stranách, čo je rovnocenné s použitím antiderivatíva:

Ľavý integrál je riešený integračným pravidlom 1, s k = 1, čím sa rieši požadovaný neznámy:

A keďže C je skutočná konštanta, aby sme vedeli, ktorá z nich je v každom prípade vhodná, musí vyhlásenie obsahovať dostatok dodatočných informácií na výpočet hodnoty C. Toto sa nazýva počiatočná podmienka.

Príklady uplatňovania tohto všetkého uvidíme v nasledujúcej časti.

Antiderivatívne cvičenia

- Cvičenie 1

Aplikujte integračné pravidlá na získanie nasledujúcich antiderivatív alebo neurčitých integrálov daných funkcií a čo najviac zjednodušte výsledky. Je vhodné overiť výsledok odvodením.

Obrázok 2. Cvičenia antiderivatív alebo určitých integrálov. Zdroj: Pixabay.

Riešenie

Najprv použijeme pravidlo 3, pretože integrand je súčtom dvoch výrazov:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Pre prvý integrál platí pravidlo výkonu:

∫ dx = (x ² /2) + C ₁

V druhom integrálnom pravidle 1 sa použije k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

A teraz sa výsledky pridávajú. Tieto dve konštanty sú zoskupené do jednej, všeobecne nazývanej C:

∫ (x + 7) dx = (x ² /2) + 7x + C

Riešenie b

Linearitou sa tento integrál rozloží na tri jednoduchšie integrály, na ktoré sa bude uplatňovať pravidlo moci:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Všimnite si, že konštanta integrácie sa objavuje pre každý integrál, ale stretávajú sa v jednej výzve C.

Riešenie c

V tomto prípade je vhodné vyvinúť distribučnú vlastnosť násobenia na rozvoj integrandu. Potom sa pravidlo moci použije na nájdenie každého integrálu osobitne, ako v predchádzajúcom cvičení.

∫ (x + 1) (3 x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

Pozorný čitateľ si všimne, že dva centrálne pojmy sú podobné, preto sa pred integráciou znížia:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

Riešenie e

Jedným zo spôsobov, ako vyriešiť integrál, by bolo vyvinúť silu, ako sa to urobilo v príklade d. Keďže je však exponent vyšší, bolo by vhodné zmeniť túto premennú, aby sa nemusel robiť taký dlhý vývoj.

Zmena ukazovateľa je nasledovná:

u = x + 7

Odvodenie tohto výrazu na obe strany:

du = dx

Integrál je transformovaný na jednoduchší s novou premennou, ktorá je riešená pomocou mocenského pravidla:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

Nakoniec sa zmena vráti na návrat k pôvodnej premennej:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- Cvičenie 2

Častica je spočiatku v pokoji a pohybuje sa pozdĺž osi x. Jeho zrýchlenie pre t> 0 je dané funkciou a (t) = cos t. Je známe, že v čase t = 0 je pozícia x = 3, všetko v jednotkách medzinárodného systému. Požiada sa o nájdenie rýchlosti v (t) a polohy x (t) častice.

Riešenie

Pretože zrýchlenie je prvou deriváciou rýchlosti vzhľadom na čas, máme nasledujúcu diferenciálnu rovnicu:

a (t) = v´ (t) = cos t

Z toho vyplýva, že:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

Na druhej strane vieme, že rýchlosť je zase derivátom polohy, preto sa znova integrujeme:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁ ) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

Konštanty integrácie sú určené z informácií uvedených vo vyhlásení. Po prvé, hovorí, že častice boli spočiatku v pokoji, preto v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

Potom máme x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

Funkcie rýchlosti a polohy sú určite takéto:

v (t) = hriech t

x (t) = - cos t + 4

Referencie

1. Engler, A. 2019. Integrálny počet. Národná univerzita v Litorale.
2. Larson, R. 2010. Výpočet premennej. 9 .. Vydanie. McGraw Hill.
3. Matematické texty zadarmo. Primitívne funkcie. Obnovené z: math.liibretexts.org.
4. Wikipedia. Primitívne. Obnovené z: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Neurčitá integrácia. Obnovené z: es.wikipedia.org.