VETA MILETUS TALES: PRVÝ, DRUHÝ A PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Prvá a druhá veta Thalesa Miléta sú založené na určovaní trojuholníkov z podobných (prvá veta) alebo z kruhov (druhá veta). Boli veľmi užitočné v rôznych oblastiach. Napríklad prvá veta bola veľmi užitočná na meranie veľkých štruktúr, keď neexistovali sofistikované meracie prístroje.

Thales of Miletus bol grécky matematik, ktorý poskytoval veľké príspevky k geometrii, z ktorej vynikajú tieto dve vety (v niektorých textoch sa píše aj ako Thales) a ich užitočné aplikácie. Tieto výsledky boli použité v celej histórii a umožnili vyriešiť celý rad geometrických problémov.

Thales of Miletus

Thalesova prvá veta

Thalesova prvá veta je veľmi užitočným nástrojom, ktorý okrem iného umožňuje konštrukciu podobného trojuholníka, aký bol predtým známy. Odtiaľ sú odvodené rôzne verzie vety, ktoré môžu byť aplikované vo viacerých kontextoch.

Predtým, ako poskytnete svoje vyhlásenie, pripomeňme si niektoré pojmy podobnosti trojuholníkov. Dva trojuholníky sú v zásade podobné, ak ich uhly sú zhodné (majú rovnaké rozmery). To vedie k tomu, že ak sú dva trojuholníky podobné, ich zodpovedajúce (alebo homologické) strany sú úmerné.

Thalesova prvá veta uvádza, že ak je čiara nakreslená rovnobežne s ktoroukoľvek z jej strán v danom trojuholníku, získaný nový trojuholník bude podobný počiatočnému trojuholníku.

Získa sa tiež vzťah medzi vytvorenými uhlami, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku.

prihláška

Medzi jeho mnohými aplikáciami vyniká jeden zo zvláštnych záujmov a súvisí s jedným zo spôsobov, akými sa uskutočňovali merania veľkých štruktúr v staroveku, v čase, keď Thales žil a v ktorých neexistovali žiadne moderné meracie zariadenia, ktoré teraz existujú.

Hovorí sa, že takto sa Thalesovi podarilo zmerať najvyššiu pyramídu v Egypte, Cheops. Thales preto predpokladal, že odrazy slnečných lúčov sa dotýkali zeme a tvorili rovnobežné čiary. Za tohto predpokladu pritlačil palicu alebo palicu vertikálne do zeme.

Potom použil podobnosť dvoch výsledných trojuholníkov, jedného vytvoreného podľa dĺžky tieňa pyramídy (ktorá sa dá ľahko vypočítať) a výšky pyramídy (neznámeho) a druhého tvoreného dĺžkou tieňa. a výška tyče (ktorá sa dá tiež ľahko vypočítať).

Použitím proporcionality medzi týmito dĺžkami môže byť výška pyramídy vyriešená a známa.

Aj keď táto metóda merania môže spôsobiť významnú chybu pri aproximácii vzhľadom na presnosť výšky a závisí od rovnobežnosti slnečných lúčov (ktorá zase závisí od presného času), je potrebné uznať, že ide o veľmi dômyselný nápad. a že poskytla dobrú alternatívu merania.

Príklady

V každom prípade vyhľadajte hodnotu x:

Thalesova druhá veta

Druhá Thorova veta určuje pravouhlý trojuholník vpísaný do kruhu v každom jeho bode.

Trojuholník vpísaný na obvod je trojuholník, ktorého vrcholy sú na obvode a zostávajú v ňom obsiahnuté.

Konkrétne Thalesova druhá veta uvádza toto: vzhľadom na kružnicu so stredom O a priemerom AC určuje každý bod B na obvode (iný ako A a C) pravý trojuholník ABC s pravým uhlom

Na odôvodnenie si všimneme, že OA aj OB a OC zodpovedajú polomeru kruhu; preto sú ich merania rovnaké. Z toho vyplýva, že trojuholníky OAB a OCB sú rovnoramenné, kde

Je známe, že súčet uhlov trojuholníka sa rovná 180 °. Pomocou tohto trojuholníka ABC máme:

2b + 2a = 180 °.

Ekvivalentne máme, že b + a = 90 ° a b + a =

Všimnite si, že pravouhlý trojuholník, ktorý poskytuje druhá Thalesova veta, je presne ten, ktorého prepona sa rovná priemeru obvodu. Preto je úplne určený polkruhom, ktorý obsahuje body trojuholníka; v tomto prípade horný polkruh.

Pozrime sa tiež na to, že v pravom trojuholníku získanom Thalesovou druhou vetou je prepona rozdelená na dve rovnaké časti pomocou OA a OC (polomer). Toto opatrenie sa zase rovná segmentu OB (tiež polomeru), ktorý zodpovedá mediánu trojuholníka ABC od B.

Inými slovami, dĺžka mediánu pravouhlého trojuholníka ABC zodpovedajúca vrcholu B je úplne určená polovicou prepony. Pripomeňme, že medián trojuholníka je segment z jedného z vrcholov do stredu opačnej strany; v tomto prípade segment BO.

Zakrúžkovaný obvod

Ďalším spôsobom, ako sa pozerať na Thalesovu druhú vetu, je obvod ohraničený pravouhlým trojuholníkom.

Obvod ohraničený polygónom sa spravidla skladá z obvodu, ktorý prechádza každým z jeho vrcholov, kedykoľvek je možné ho nakresliť.

Použitím Thalesovej druhej vety, vzhľadom na pravouhlý trojuholník, môžeme vždy skonštruovať obvod, ktorý je k nemu ohraničený, s polomerom rovným polovici prepony a obvodom (stredom obvodu) rovným stredu prepony.

prihláška

Veľmi dôležitou aplikáciou druhej Thalesovej vety, a možno najčastejšie používanou, je nájsť dotyčnice k danému kruhu, cez bod P, ktorý je mimo neho (známy).

Všimnite si, že vzhľadom na kružnicu (nakreslenú modrou farbou na obrázku nižšie) a vonkajší bod P existujú dve priamky dotýkajúce sa kruhu, ktoré prechádzajú cez P. Nech T a T 'sú dotykové body, r polomer kružnice a Alebo centrum.

Je známe, že úsek, ktorý prechádza od stredu kružnice k bodu dotyku, je kolmý na túto dotyčnicu. Takže uhol OTP je pravý.

Z toho, čo sme videli predtým v Thalesovej prvej vete a jej rôznych verziách, vidíme, že je možné vpísať OTP trojuholník do iného kruhu (červene).

Podobne sa získa, že trojuholník OT'P sa dá vpísať na rovnakom predchádzajúcom obvode.

Thalesovou druhou vetou tiež zistíme, že priemer tohto nového obvodu je presne prepona trojuholníka OTP (čo sa rovná preponu trojuholníka OT'P) a stred je stredom tejto prepony.

Na výpočet stredu nového obvodu stačí vypočítať stred medzi stredom - povedzme M - počiatočného obvodu (ktorý už poznáme) a bodom P (ktorý tiež poznáme). Polomer bude potom vzdialenosť medzi týmto bodom M a P.

S polomerom a stredom červeného kruhu nájdeme jeho karteziánsku rovnicu, ktorú si pamätáme, je daná (xh) ² + (yk) ² = c ² , kde c je polomer a bod (h, k) je stred obvodu.

Poznáme teraz rovnice oboch kruhov, môžeme ich pretínať vyriešením systému nimi vytvorených rovníc, a tak získať body dotyku T a T '. Nakoniec, aby sme poznali požadované dotyčnice, stačí nájsť rovnicu čiar, ktoré prechádzajú cez T a P a cez T 'a P.

príklad

Zvážte obvod priemeru AC, stredu O a polomeru 1 cm. Nech B je bod na obvode taký, že AB = AC. Aký vysoký je AB?

Riešenie

Podľa Thalesovej druhej vety sa uvádza, že trojuholník ABC má pravdu a prepona zodpovedá priemeru, ktorý v tomto prípade meria 2 cm (polomer je 1 cm). Potom podľa Pythagorovej vety:

Referencie

1. Ana Lira, PJ (2006). Geometria a trigonometria. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
2. Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Education.
3. Gutiérrez, Á. TO. (2004). Metodika a aplikácie matematiky na ministerstve školstva ESO.
4. Iger. (2014). Matematika 2. semester Zaculeu. Guatemala: IGER.
5. José Jiménez, LJ (2006). Matematika 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
6. M., S. (1997). Trigonometria a analytická geometria. Pearson Education.
7. Pérez, MA (2009). Dejiny matematiky: Výzvy a výdobytky prostredníctvom svojich postáv. Editorial Vision Libros.
8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Analytická geometria roviny. Editorial Venezolana CA