KVADRATICKÉ POSTUPNOSTI: PRÍKLADY, PRAVIDLÁ A RIEŠENÉ CVIČENIA - MATEMATIKA - 2024

Tieto Kvadratické sledy , v matematickom zmysle, sa skladajú zo sekvencie čísiel, ktoré nasledujú určité pravidlo aritmetiky. Je zaujímavé poznať toto pravidlo, aby sa určil ktorýkoľvek z pojmov postupnosti.

Jedným zo spôsobov, ako to dosiahnuť, je zistiť rozdiel medzi dvoma po sebe nasledujúcimi výrazmi a zistiť, či sa získaná hodnota vždy opakuje. Ak je to tak, hovorí sa o pravidelnom slede.

Číselné sekvencie sú spôsobom usporiadania sekvencií čísel. Zdroj: pixabay.com

Ak sa však neopakuje, môžete skúsiť preskúmať rozdiel medzi rozdielmi a zistiť, či je táto hodnota konštantná. Ak áno, potom je to kvadratická postupnosť .

Príklady pravidelných a kvadratických sekvencií

Nasledujúce príklady pomáhajú objasniť, čo už bolo vysvetlené:

Príklad pravidelného nástupníctva

Nech sekvencia S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Táto sekvencia označená S je nekonečná množina čísel, v tomto prípade celých čísel.

Je zrejmé, že ide o pravidelnú postupnosť, pretože každý člen sa získa pripočítaním 3 k predchádzajúcemu termínu alebo prvku:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Inými slovami: táto postupnosť je pravidelná, pretože rozdiel medzi budúcim a predchádzajúcim je pevne stanovený. V uvedenom príklade je táto hodnota 3.

Pravidelné sekvencie, ktoré sa získajú pridaním stáleho množstva k predchádzajúcemu členu, sa tiež nazývajú aritmetické progresie. A rozdiel medzi jednotlivými výrazmi sa nazýva pomer a označuje sa ako R.

Príklad nepravidelnej a kvadratickej postupnosti

Pozrite si nasledujúcu postupnosť:

S = {2, 6, 12, 20, 30, ….}

Keď sa vypočítajú následné rozdiely, získajú sa tieto hodnoty:

6-2 = 4

12-6 = 6

20 - 12 = 8

30-20 = 10

Ich rozdiely nie sú konštantné, takže možno povedať, že nejde o pravidelný sled.

Ak však vezmeme do úvahy súbor rozdielov, máme inú postupnosť, ktorá bude označená ako S _diff :

S _dif = {4, 6, 8, 10, ….}

Táto nová sekvencia je skutočne pravidelnou sekvenciou, pretože každý člen sa získa pripočítaním pevnej hodnoty R = 2 k predchádzajúcej. Preto môžeme tvrdiť, že S je kvadratická postupnosť.

Všeobecné pravidlo na zostavenie kvadratickej postupnosti

Existuje všeobecný vzorec na zostavenie kvadratickej postupnosti:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

V tomto vzorci, T _n je termín v polohe n sekvencie. A, B a C sú pevné hodnoty, zatiaľ čo n sa mení jedna po druhej, tj 1, 2, 3, 4, …

V sekvencii S z predchádzajúceho príkladu A = 1, B = 1 a C = 0. Odtiaľ vyplýva, že vzorec, ktorý generuje všetky výrazy, je: T _n = n ² + n

To znamená:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Rozdiel medzi dvoma po sebe nasledujúcimi výrazmi kvadratickej postupnosti

T _{n + 1} - T _n = -

Vývoj výrazu prostredníctvom pozoruhodného produktu zostáva:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Zjednodušením získate:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ ∙ n + A + B

Toto je vzorec, ktorý udáva postupnosť rozdielov S _Dif, ktoré možno zapísať takto:

Rozdiel _n = A ∙ (2n + 1) + B

Tam, kde je nasledujúci termín jednoznačne 2 ∙ Niekedy predchádzajúci. To znamená, že pomer postupnosti rozdielov S _diff je: R = 2 ∙ A.

Riešené problémy kvadratických sekvencií

Cvičenie 1

Nech sekvencia S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Zistite, či:

i) Je to pravidelné alebo nie

ii) Je kvadratická alebo nie

iii) Bolo to kvadratické, sled rozdielov a ich pomer

odpovede

i) Vypočítajme rozdiel medzi nasledujúcimi a predchádzajúcimi výrazmi:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Môžeme potvrdiť, že postupnosť S nie je pravidelná, pretože rozdiel medzi po sebe nasledujúcimi výrazmi nie je konštantný.

ii) Sled rozdielov je pravidelný, pretože rozdiel medzi jeho pojmami je konštantná hodnota 2. Pôvodná postupnosť S je preto kvadratická.

iii) Už sme zistili, že S je kvadratický, sekvencia rozdielov je:

S _dif = {2, 4, 6, 8, …} a jeho pomer je R = 2.

Cvičenie 2

Nechajte sekvenciu S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} z predchádzajúceho príkladu, kde sa overilo, že je kvadratická. určenie:

i) Vzorec, ktorý určuje všeobecný pojem T _n.

ii) Skontrolujte tretí a piaty termín.

iii) Hodnota desiateho funkčného obdobia.

odpovede

i) Všeobecný vzorec _Tn je A ∙ n ² + B ∙ n + C. Potom zostáva poznať hodnoty A, B a C.

Sekvencia rozdielov má pomer 2. Ďalej, pre každú kvadratickú sekvenciu je pomer R 2 ∙ A, ako je uvedené v predchádzajúcich oddieloch.

R = 2 ∙ A = 2, čo nás vedie k záveru, že A = 1.

Prvý _člen sledu rozdielov S _Dif je 2 a musí spĺňať A ∙ (2n + 1) + B, kde n = 1 a A = 1, to znamená:

2 = 1 (2 + 1 + 1) + B

riešenie pre B dostaneme: B = -1

Potom prvý člen S (n = 1) má hodnotu 1, to znamená: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. Ako už vieme, že A = 1 a B = -1, nahradzujeme:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

Pri riešení pre C získame jeho hodnotu: C = 1.

V súhrne:

A = 1, B = -1 a C = 1

Potom bude n-tý člen predstavovať T _n = n ² - n + 1

ii) Tretí termín T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 a je overená. Piaty T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21, ktorý je tiež overená.

iii) Desiaty termín bude T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Cvičenie 3

Postupnosť oblastí pre cvičenie 3. Zdroj: vlastné vypracovanie.

Obrázok ukazuje postupnosť piatich obrázkov. Mriežka predstavuje jednotku dĺžky.

i) Určite postupnosť pre oblasť obrázkov.

ii) Dokážte, že ide o kvadratickú postupnosť.

iii) Nájdite oblasť na obrázku č. 10 (nezobrazené).

odpovede

i) Poradie S zodpovedajúce oblasti postupnosti obrázkov je:

S = {0, 2, 6, 12, 20 ,. , , , , }

ii) Poradie zodpovedajúce po sebe idúcim rozdielom podmienok S je:

S _diff = {2, 4, 6, 8 ,. , , , , }

Pretože rozdiel medzi po sebe nasledujúcimi podmienkami nie je konštantný, potom S nie je pravidelná postupnosť. Zostáva vedieť, či je kvadratický, pre ktorý opäť robíme postupnosť rozdielov a získame:

{2, 2, 2, …….}

Pretože sa opakujú všetky termíny sekvencie, je potvrdené, že S je kvadratická sekvencia.

iii) Sekvencia S _dif je pravidelná a jej pomer R je 2. Pri použití rovnice uvedenej vyššie R = 2 ∙ A zostáva:

2 = 2 ∙ A, z čoho vyplýva, že A = 1.

Druhý _člen sledu rozdielov S _Dif je 4 a n-tý _člen S _Dif je

A ∙ (2n + 1) + B.

Druhý člen má n = 2. Okrem toho už bolo stanovené, že A = 1, takže pomocou predchádzajúcej rovnice a substitúcie máme:

4 = 1 (2 + 2 + 1) + B

Pri riešení pre B dostaneme: B = -1.

Je známe, že druhý člen S má hodnotu 2 a že musí spĺňať všeobecný vzorec s n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

To znamená

2 = 1 - 2 ² - 1 - 2 + C

Dospelo sa k záveru, že C = 0, to znamená, že vzorec, ktorý dáva všeobecný pojem sekvencie S, je:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n 0 = n ² - n

Teraz sa overuje piate funkčné obdobie:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) Obrázok č. 10, ktorý tu nebol nakreslený, bude mať plochu zodpovedajúcu desiatemu členu sekvencie S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Referencie

1. https://www.geogebra.org