CENTRÁLNA SYMETRIA: VLASTNOSTI, PRÍKLADY A CVIČENIA - MATEMATIKA - 2024

Dva body A a A 'majú centrálnu symetriu vzhľadom na bod O, keď ňou prechádza segment AA' a je tiež stredom AA '. Bod O sa nazýva stred symetrie.

Centrálna symetria trojuholníka ABC vzhľadom na bod O je ďalším trojuholníkom A'B'C ', ktorý má tieto vlastnosti:

- Hemologické segmenty majú rovnakú dĺžku

- Ich príslušné uhly majú rovnakú mieru.

Obrázok 1. ABC trojuholník a jeho symetrický A'B'C '. Zdroj: F. Zapata.

Obrázok 1 zobrazuje trojuholník ABC (červený) a jeho stredovú symetriu A'B'C '(zelený), vzhľadom na stred symetrie O.

Na tomto rovnakom obrázku by si pozorný pozorovateľ uvedomil, že ten istý výsledok sa dosiahne aplikáciou rotácie pôvodného trojuholníka, pokiaľ je 180 ° a je vystredený na O.

Centrálna symetria je preto ekvivalentná otočeniu o 180 ° vzhľadom na stred symetrie.

Vlastnosti centrálnej symetrie

Centrálna symetria má nasledujúce vlastnosti:

- Stred symetrie je stredom segmentu, ktorý spája bod so symetriou.

- Symetrický bod druhého bodu, ktorý sa nachádza v strede symetrie, sa zhoduje so stredom symetrie.

- Centrálna symetria trojuholníka je zhodný trojuholník (rovný) originálu.

- Obrázok centrálnej symetrie kruhu je ďalším kruhom s rovnakým polomerom.

- Obvod má centrálnu symetriu vzhľadom na svoje vlastné centrum.

Obrázok 2. Dizajn so strednou symetriou. Zdroj: Pixabay.

- elipsa má centrálnu symetriu vzhľadom na jej stred.

- Segment má centrálnu symetriu vzhľadom na jeho stred.

- Rovnostranný trojuholník nemá centrálnu symetriu vzhľadom na jeho stred, pretože jeho symetria, hoci sa zhoduje s prvým, dáva rotovaný rovnostranný trojuholník.

- Štvorce majú centrálnu symetriu vzhľadom na ich stred.

- Pentagón nemá centrálnu symetriu vzhľadom na jeho stred.

- Pravidelné polygóny majú centrálnu symetriu, ak majú párny počet strán.

Príklady

Kritériá symetrie majú veľa aplikácií vo vede a technike. V prírode je prítomná centrálna symetria, napríklad ľadové kryštály a pavučiny majú tento druh symetrie.

Okrem toho sa mnohé problémy dajú ľahko vyriešiť, keď sa využíva existencia centrálnej symetrie a iných druhov symetrie. Preto je vhodné rýchlo zistiť, kedy k tomu dôjde.

Obrázok 3. Ľadové kryštály majú centrálnu symetriu. Zdroj: Pixabay.

Príklad 1

Vzhľadom na bod P súradníc (a, b) musíme nájsť súradnice jeho symetrického P 'vzhľadom na pôvod O súradníc (0, 0).

Prvá vec je zostrojiť bod P ', pre ktorý je nakreslená čiara, ktorá prechádza východiskovým bodom O a bodom P. Rovnica tejto priamky je y = (b / a) x.

Teraz zavolajte (a ', b') súradnice symetrického bodu P '. Bod P 'musí ležať na priamke prechádzajúcej cez O, a preto platí: b' = (b / a) a '. Ďalej, vzdialenosť OP sa musí rovnať OP ', ktorá je v analytickej forme napísaná takto:

√ (a ² + b ² ) = √ (a ' ² + b' ² )

Nasledujúci text má nahradiť b '= v predchádzajúcom výraze a zaokrúhliť obe strany rovnosti tak, aby sa eliminovala druhá odmocnina: (a ² + b ² ) =

Extrakciou spoločného faktora a zjednodušením dostaneme, že ' ² = a ² . Táto rovnica má dve skutočné riešenia: a '= + a alebo' = -a.

Na získanie b 'znova použijeme b' = (b / a) a '. Ak je nahradené pozitívne riešenie a ', dostaneme sa k tomu b' = b. A keď je negatívne riešenie nahradené, potom b '= -b.

Pozitívne riešenie poskytuje pre P 'rovnaký bod P, takže je vyradený. Negatívne riešenie určite udáva súradnice symetrického bodu:

P ': (-a, -b)

Príklad 2

Je potrebné preukázať, že segment AB a jeho stredná symetrická A'B 'majú rovnakú dĺžku.

Počnúc súradnicami bodu A, ktoré sú (Ax, Ay) a súradnicami bodu B: (Bx, By), dĺžka úseku AB je daná:

d (AB) = √ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² )

Analogicky bude mať symetrický segment A'B 'dĺžku danú:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (By' - Ay ') ² )

Súradnice symetrického bodu A 'sú Ax' = -Ax a Ay '= -Ay. Podobne sú tie z B 'Bx' = -Bx a By '= -By. Ak sú tieto súradnice nahradené v rovnici vzdialenosti d (A'B '), máme:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ² ), čo zodpovedá:

√ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² ) = d (AB)

Je teda ukázané, že oba segmenty majú rovnakú dĺžku.

Riešené cvičenia

- Cvičenie 1

Analyticky ukážte, že stredný symetrický O kružnice s polomerom R a stredom O je rovnaký pôvodný kruh.

Riešenie

Rovnica kruhu s polomerom R a stredom O (0,0) je:

x ² + y ² = R ² (rovnica obvodu C)

Ak je v každom bode P obvodu y súradníc (x, y) nájdený jeho symetrický P 'súradníc (x', y '), je rovnica symetrického obvodu:

x ' ² + y' ² = R ² (rovnica symetrického kruhu C,)

Teraz sa odvolávame na výsledok príkladu 1, v ktorom sa dospelo k záveru, že súradnice bodu P ', symetrického k P a so súradnicami (a, b), sú (-a, -b).

Ale v tomto cvičení má bod P súradnice (x, y), takže jeho symetrický P 'bude mať súradnice x' = -xe y '= -y. Nahradením to v rovnici symetrického kruhu máme:

(-X) ² + (-y) ² = R ²

Čo je ekvivalentné: x ² + y ² = R ² , k záveru, že centrálna symetrické kruhu vzhľadom k jeho strede je samotný kruh.

- Cvičenie 2

V geometrickej podobe ukážte, že stredná symetria zachováva uhly.

Riešenie

Obrázok 4. Konštrukcia symetrických bodov na cvičenie 2. Zdroj: F. Zapata.

Na rovine sú tri body A, B a C. Jeho symetria A ', B' a C 'sú skonštruované s ohľadom na stred symetrie O, ako je znázornené na obrázku 4.

Teraz musíme preukázať, že uhol ∡ABC = β má rovnaké rozmery ako uhol ∡A'B'C '= β'.

Pretože C a C 'sú symetrické, potom OC = OC'. Podobne OB = OB 'a OA = OA'. Na druhej strane uhol ∡BOC = ∡B'OC ', pretože sú proti nim vrcholy.

Preto sú trojuholníky BOC a B'OC 'zhodné, pretože majú rovnaký uhol medzi dvoma rovnakými stranami.

Pretože BOC je zhodný s B'OC ', uhly γ a γ' sú rovnaké. Ale tieto uhly, okrem splnenia γ = γ ', sú vnútornými náhradníkmi medzi čiarami BC a B'C', čo znamená, že línia BC je rovnobežná s B'C '.

Podobne BOA je zhodná s B'OA ', z ktorej vyplýva, že a = α'. Ale a a 'sú alternatívne vnútorné uhly medzi čiarami BA a B'A', z čoho sa usudzuje, že priamka BA je rovnobežná s B'A '.

Pretože uhol ∡ABC = β má svoje strany rovnobežné s uhlom ∡A'B'C '= β' a obidve sú ostré, dospelo sa k záveru, že:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Týmto spôsobom sa zabezpečí, že stredná symetria zachováva mieru uhlov.

Referencie

1. Baldor, JA 1973. Rovinná a priestorová geometria. Stredoamerický kultúrny.
2. Matematické zákony a vzorce. Systémy na meranie uhlu. Obnovené z: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Získané z: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Centrálna symetria. Obnovené z: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Dopravník. Obnovené z: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Spojte vnútorné a vonkajšie uhly. Získané z: lifeder.com