KONŠTANTA INTEGRÁCIE: VÝZNAM, VÝPOČET A PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2024

Integračná konštanta je pridanou hodnotou pre výpočet primitívne alebo integrálov, slúži k predstavujú riešenie, ktoré tvoria primitívne funkcie. Vyjadruje neodmysliteľnú nejednoznačnosť, keď má niektorá funkcia nekonečný počet primitívov.

Napríklad, ak vezmeme funkciu: f (x) = 2x + 1 a dostaneme jej antiderivatívum:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C ; Kde C je konštanta integrácie a graficky predstavuje vertikálny preklad medzi nekonečnými možnosťami primitíva. Je správne povedať, že (x ² + x) je jedným z primitívov f (x).

Zdroj: autor

Podobne môžeme definovať (x ² + x + C ) ako primitív f (x).

Reverzné vlastníctvo

Je potrebné poznamenať, že pri odvodení výrazu (x ² + x) sa získa funkcia f (x) = 2x + 1. Je to kvôli inverznej vlastnosti existujúcej medzi deriváciou a integráciou funkcií. Táto vlastnosť umožňuje získať integračné vzorce začínajúce diferenciáciou. Ktorý umožňuje overenie integrálov pomocou rovnakých derivátov.

Zdroj: autor

(X ² + x) však nie je jedinou funkciou, ktorej derivát sa rovná (2x + 1).

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C ) / dx = 2x + 1

Kde 1, 2, 3 a 4 predstavujú konkrétne primitívy f (x) = 2x + 1. Kým 5 predstavuje neurčitý alebo primitívny integrál f (x) = 2x + 1.

Zdroj: autor

Primitívy funkcie sa dosahujú antiderivačným alebo integrálnym procesom. Kde F bude primitívom f, ak je pravdivé nasledujúce

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = konštanta integrácie
• F '(x) = f (x)

Je vidieť, že funkcia má jediný derivát, na rozdiel od svojich nekonečných primitív vyplývajúcich z integrácie.

Neurčitý integrál

∫ f (x) dx = F (x) + C

Zodpovedá rodine kriviek s rovnakým vzorom, pri ktorých dochádza k nezhode v hodnote snímok každého bodu (x, y). Každá funkcia, ktorá spĺňa tento vzor, ​​bude individuálna primitíva a množina všetkých funkcií sa nazýva neurčitý integrál.

Hodnota konštanty integrácie bude tá, ktorá rozlišuje každú funkciu v praxi.

Integračná konštanta naznačuje zvislý posun vo všetkých grafoch predstavujúce primitíva funkcie. Tam, kde je pozorovaná paralelita medzi nimi a skutočnosť, že C je hodnota posunu.

Podľa bežných postupov je konštanta integrácie označená písmenom „C“ za doplnkom, hoci v praxi nezáleží na tom, či je konštanta pridaná alebo odčítaná. Jeho skutočnú hodnotu možno nájsť rôznymi spôsobmi za rôznych počiatočných podmienok .

Iné významy konštanty integrácie

Už sa diskutovalo o tom, ako sa používa konštanta integrácie v odbore integrálneho počtu ; Predstavuje rodinu kriviek, ktoré definujú neurčitý integrál. Mnoho ďalších vied a odborov však pridelilo veľmi zaujímavé a praktické hodnoty konštanty integrácie, ktoré uľahčili rozvoj viacerých štúdií.

Vo fyzike môže konštanta integrácie mať viac hodnôt v závislosti od povahy údajov. Veľmi častým príkladom je znalosť funkcie V (t), ktorá predstavuje rýchlosť častice verzus čas t. Je známe, že pri výpočte primitívu V (t) sa získa funkcia R (t), ktorá predstavuje polohu častice v závislosti na čase.

Integračná konštanta bude predstavovať hodnotu počiatočnej polohy, to znamená v čase t = 0.

Rovnakým spôsobom je známa funkcia A (t), ktorá predstavuje zrýchlenie častice v závislosti na čase. Primitívne z A (t) bude mať za následok funkcie V (t), kde je integračná konštanta bude hodnota počiatočnou rýchlosťou V ₀ .

V ekonómii tým, že integráciou získa primitív nákladovej funkcie. Integračná konštanta bude reprezentovať fixných nákladov. A toľko ďalších aplikácií, ktoré si zaslúžia diferenciálny a integrálny počet.

Ako sa počíta konštanta integrácie?

Na výpočet konštanty integrácie je vždy potrebné poznať počiatočné podmienky . Ktoré sú zodpovedné za definovanie toho, ktorý z možných primitívov je ten zodpovedajúci.

V mnohých aplikáciách sa považuje za nezávislú premennú v čase (t), kde konštanta C berie hodnoty, ktoré definujú počiatočné podmienky konkrétneho prípadu.

Ak vezmeme počiatočný príklad: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

Platnou úvodnou podmienkou môže byť podmienka, že graf prechádza konkrétnou súradnicou. Napríklad vieme, že primitív (x ² + x + C) prechádza bodom (1, 2)

F (x) = x ² + x + C; toto je všeobecné riešenie

F (1) = 2

V tejto rovnosti nahrádzame všeobecné riešenie

F (1) = (1) ² + (1) + C = 2

Z toho ľahko vyplýva, že C = 0

Týmto spôsobom je zodpovedajúcim primitívom pre tento prípad F (x) = x ² + x

Existuje niekoľko typov numerických cvičení, ktoré pracujú s konštantami integrácie . V skutočnosti sa diferenciálny a integrálny počet neprestáva uplatňovať v súčasných vyšetrovaniach. Na rôznych akademických úrovniach ich možno nájsť; od počiatočného výpočtu, cez fyziku, chémiu, biológiu, ekonómiu.

Oceňuje sa tiež pri štúdiu diferenciálnych rovníc , kde integračná konštanta môže mať rôzne hodnoty a riešenia, čo je dôsledkom mnohých derivácií a integrácií, ktoré sa v tejto veci vykonávajú.

Príklady

Príklad 1

1. Kanón s výškou 30 metrov vystrelí projektil zvisle nahor. Počiatočná rýchlosť projektilu je známa ako 25 m / s. rozhodnúť:

• Funkcia, ktorá definuje polohu projektilu z hľadiska času.
• Čas letu alebo okamih, keď častice dopadnú na zem.

Je známe, že pri priamočiarom pohybe rovnomerne menenom je zrýchlenie konštantnou hodnotou. Toto je prípad spustenia strely, kde zrýchlenie bude gravitáciou

g = - 10 m / s ²

Je tiež známe, že zrýchlenie je druhou deriváciou polohy, ktorá naznačuje dvojitú integráciu v rozlíšení cvičenia, čím sa získajú dve integračné konštanty.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10 t) dt = -10 t + C ₁

Počiatočné Podmienky výkonu ukazujú, že počiatočná rýchlosť je V ₀ = 25 m / s. To je rýchlosť v okamihu t = 0. Týmto spôsobom je uspokojené, že:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ a C ₁ = 25

S definovanou funkciou rýchlosti

V (t) = -10t + 25; Podobnosť možno pozorovať s MRUV vzorca (V _f = V ₀ + AXT)

Homológnym spôsobom pokračujeme v integrácii funkcie rýchlosti, aby sme získali výraz, ktorý definuje pozíciu:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10 t + 25), dt = -5 t ² + 25 t + C ₂

R (t) = -5 t ² + 25 t + C ₂ (poloha primitívne)

Počiatočná poloha R (0) = 30 m je známa. Potom sa vypočíta konkrétna primitíva projektilu.

R (0) = 30 m = -5 (0) ² + 25 (0) + C ₂ . V prípade C ₂ = 30

Príklad 2

1. Nájdite primitívne písmeno f (x), ktoré spĺňa počiatočné podmienky:

• f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

S informáciou o druhej derivácii f '' (x) = 4 sa začína proces antiderivácie

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Potom, poznajúc podmienku f '(2) = 2, pokračujeme:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 a f, (x) = 4x - 8

Rovnakým spôsobom postupujeme aj pre druhú konštantu integrácie

f (x) = ∫f, (x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + C ₂

Počiatočná podmienka f (0) = 7 je známa a pokračujeme:

2 (0) ² - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 a f (x) = 2x ² - 8x + 7

• f '' (x) = x ² ; f '(0) = 6; f (0) = 3

Podobne ako pri predchádzajúcom probléme definujeme prvé deriváty a pôvodnú funkciu z počiatočných podmienok.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x ² ) dx = (x ³ /3) + C ₁

Pri podmienke f '(0) = 6 postupujeme:

(0 ^3/3 ) + C ₁ = 6; Kde C ₁ = 6 a f, (x) = (x ³ /3) + 6

Potom druhá konštanta integrácie

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ dx = (x ⁴ /12) + 6x + C ₂

Počiatočná podmienka f (0) = 3 je známa a pokračujeme:

+ 6 (0) + C ₂ = 3; V prípade C ₂ = 3

Získame teda primitívnu zvláštnosť

f (x) = (x ⁴ /12) + 6x + 3

Príklad 3

1. Definujte primitívne funkcie s ohľadom na deriváty a bod v grafe:

• dy / dx = 2x - 2, ktorý prechádza bodom (3, 2)

Je dôležité si uvedomiť, že deriváty sa vzťahujú na sklon priamky dotýkajúci sa krivky v danom bode. Ak nie je správne predpokladať, že sa graf derivátu dotýka označeného bodu, pretože to patrí do grafu primitívnej funkcie.

Týmto spôsobom vyjadríme diferenciálnu rovnicu takto:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

Uplatnenie pôvodnej podmienky:

2 = (3) ² - 2 (3) + C

C = -1

Získa sa: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ² - 1, ktorý prechádza bodom (0, 2)

Diferenčnú rovnicu vyjadrujeme takto:

Uplatnenie pôvodnej podmienky:

2 = (0) ² - 2 (0) + C

C = 2

Získame: f (x) = x ³ - x + 2

Navrhované cvičenia

Cvičenie 1

1. Nájdite primitívne písmeno f (x), ktoré spĺňa počiatočné podmienky:

• f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Cvičenie 2

1. Balón stúpajúci rýchlosťou 16 ft / s spadne vrece piesku z výšky 64 ft nad úrovňou zeme.

• Definujte čas letu
• Čo sa vektor V _{f byť} ak to dopadne na zem?

Cvičenie 3

1. Obrázok ukazuje graf doby zrýchlenia automobilu, ktorý sa pohybuje v kladnom smere osi x. Auto jazdilo konštantnou rýchlosťou 54 km / h, keď vodič zabrzdil brzdením do 10 sekúnd. určenie:

• Počiatočné zrýchlenie vozidla
• Rýchlosť vozidla pri t = 5 s
• Posun vozidla počas brzdenia

Zdroj: autor

Cvičenie 4

1. Definujte primitívne funkcie s ohľadom na deriváty a bod v grafe:

• dy / dx = x, ktoré prechádza bodom (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1, ktorý prechádza bodom (0, 0)
• dy / dx = -x + 1, ktoré prechádza bodom (-2, 2)

Referencie

1. Integrálny počet. Neurčité integračné a integračné metódy. Wilson, Velásquez Bastidas. Univerzita Magdalena 2014
2. Stewart, J. (2001). Výpočet premennej. Prví transcendentáli. Mexiko: Thomson Learning.
3. Jiménez, R. (2011). Matematika VI. Integrálny počet. Mexiko: Pearson Education.
4. Fyzika I. Mc Graw