TROJUHOLNÍKOVÁ NEROVNOSŤ: DÔKAZ, PRÍKLADY, VYRIEŠENÉ CVIČENIA - MATEMATIKA - 2025

Nazýva sa to nerovnaká trojuholníková vlastnosť, ktorá spĺňa dve reálne čísla pozostávajúce z absolútnej hodnoty ich súčtu, ktorá je vždy menšia alebo rovná súčtu ich absolútnych hodnôt. Táto vlastnosť sa tiež nazýva Minkowského nerovnosť alebo trojuholníková nerovnosť.

Táto vlastnosť čísel sa nazýva trojuholníková nerovnosť, pretože v trojuholníkoch sa stáva, že dĺžka jednej strany je vždy menšia alebo rovná súčtu ostatných dvoch, aj keď táto nerovnosť sa vždy neuplatňuje v oblasti trojuholníkov.

Obrázok 1. Absolútna hodnota súčtu dvoch čísel je vždy menšia alebo rovná súčtu ich absolútnych hodnôt. (Pripravil R. Pérez)

Existuje niekoľko dôkazov o trojuholníkovej nerovnosti v reálnych číslach, ale v tomto prípade si vyberieme jeden na základe vlastností absolútnej hodnoty a binomického štvorca.

Veta: Pre každú dvojicu čísel aab patriacich k skutočným číslam máme:

- a + b - ≤ - a - + - b -

demonštrácie

Začneme tým, že uvážime prvého člena nerovnosti, ktorý bude na druhej:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (rov. 1)

V predchádzajúcom kroku sme použili vlastnosť, že akékoľvek číslo na druhú mocninu sa rovná absolútnej hodnote uvedeného počtu na druhú mocninu, tj: -x- ^ 2 = x ^ 2. Bola tiež použitá štvorcová binomická expanzia.

Každé číslo x je menšie alebo sa rovná absolútnej hodnote. Ak je číslo kladné, je rovnaké, ale ak je záporné, vždy bude menšie ako kladné číslo. V tomto prípade je to jeho absolútna hodnota, to znamená, že x ≤ - x -.

Produkt (ab) je číslo, preto platí, že (ab) ≤ - ab -. Keď je táto vlastnosť aplikovaná na (Rov. 1), máme:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (rov. 2)

Berúc do úvahy, že - ab - = - a - b - la (rov. 2) možno písať takto:

- a + b - ^ 2 <a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (rov. 3)

Ale keďže sme už predtým povedali, že druhá mocnina čísla sa rovná absolútnej hodnote druhej mocniny čísla, rovnicu 3 je možné prepísať takto:

- a + b - ^ 2 <-a ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (rov. 4)

V prípade druhého člena nerovnosti sa uznáva pozoruhodný produkt, ktorý pri aplikácii vedie k:

- a + b - ^ 2 <(-a- + -b -) ^ 2 (rov. 5)

V predchádzajúcom výraze treba poznamenať, že hodnoty, ktoré sa majú vyjadriť na druhú stranu u oboch členov nerovnosti, sú pozitívne, a preto sa musí tiež ubezpečiť, že:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (rov. 6)

Predchádzajúci výraz je presne to, čo ste chceli demonštrovať.

Príklady

Ďalej skontrolujeme trojuholníkovú nerovnosť pomocou niekoľkých príkladov.

Príklad 1

Berieme hodnotu a = 2 a hodnotu b = 5, to znamená kladné čísla a skontrolujeme, či je nerovnosť uspokojená alebo nie.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Rovnosť je overená, preto bola splnená veta o trojuholníku o nerovnosti.

Príklad 2

Vyberú sa nasledujúce hodnoty a = 2 a b = -5, tj kladné číslo a ďalšie záporné číslo, skontrolujeme, či je nerovnosť uspokojená.

- 2 - 5 - ≤ -2- + - 5-

- -3 - ≤ -2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Nerovnosť je uspokojená, a preto bola overená trojuholníková veta o nerovnosti.

Príklad 3

Berieme hodnotu a = -2 a hodnotu b = 5, to znamená záporné číslo a ďalšie kladné, overíme, či je nerovnosť uspokojená.

- -2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 3 - ≤ -2-2 + -5-

3 ≤ 2 + 5

Nerovnosť sa overuje, preto sa veta splnila.

Príklad 4

Vyberú sa nasledujúce hodnoty a = -2 a b = -5, to znamená záporné čísla a skontrolujeme, či je nerovnosť uspokojená.

- -2 - 5 - ≤ -2-2 +5-

- -7 - ≤ -2-2 +5-

7 ≤ 2+ 5

Rovnosť je overená, a preto bola splnená Minkowského veta o nerovnosti.

Príklad 5

Berieme hodnotu a = 0 a hodnotu b = 5, tj číslo nula a ďalšie kladné, potom skontrolujeme, či je nerovnosť uspokojená alebo nie.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Rovnosť je splnená, a preto bola overená veta o trojuholníku.

Príklad 6

Berieme hodnotu a = 0 a hodnotu b = -7, to znamená číslo nula a ďalšie kladné, potom skontrolujeme, či je nerovnosť uspokojená alebo nie.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Rovnosť je overená, preto bola splnená trojuholníková veta o nerovnosti.

Riešené cvičenia

V nasledujúcich cvičeniach reprezentujte geometricky nerovnosť trojuholníka alebo Minkowského nerovnosť pre čísla aab.

Číslo a bude reprezentované ako segment na osi X, jeho začiatok O sa zhoduje s nulou osi X a druhý koniec segmentu (v bode P) bude v kladnom smere (napravo) osi X, ak > 0, ale ak <0, bude to smerom k zápornému smeru osi X, toľko jednotiek, koľko ich absolútna hodnota naznačuje.

Podobne bude číslo b predstavované ako segment, ktorého pôvod je v bode P. Ďalší extrém, tj bod Q bude vpravo od P, ak b je kladné (b> 0) a bod Q bude -b - jednotky naľavo od P, ak b <0.

Cvičenie 1

Graf nerovnosti trojuholníka pre a = 5 ab = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, kde c = a + b.

Cvičenie 2

Zostrojte trojuholníkovú nerovnosť pre a = 5 ab = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, kde c = a + b.

Cvičenie 3

Graficky znázornite nerovnosť trojuholníka pre a = -5 ab = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, kde c = a + b.

Cvičenie 4

Graficky skonštruujte trojuholníkovú nerovnosť pre a = -5 a b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, kde c = a + b.

Referencie

1. E. Whitesitt. (1980), Boolean Algebra a jej aplikácie. Redakčná spoločnosť Continental CA
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Prvky abstraktnej analýzy. , Katedra matematiky. Univerzitná univerzita v Dubline, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) Matematika a inžinierstvo v informatike. Ústav počítačových vied a technológií. Národný úrad pre normy. Washington, DC 20234
4. Eric Lehman. Matematika pre informatiku. Google Inc.
5. F Thomson Leighton (1980). Kalkul. Katedra matematiky a informatiky a laboratórium AI, Massachussettsov technologický inštitút.
6. Khan Academy. Veta trojuholníka o nerovnosti. Obnovené z: khanacademy.org
7. Wikipedia. Trojuholníková nerovnosť. Získané z: es. wikipedia.com