- Ako sa vypočíta uhlová rýchlosť?
- Vzťah medzi lineárnou a uhlovou rýchlosťou
- Rovnomerný rotačný pohyb
- Riešené problémy uhlovej rýchlosti
- Cvičenie 1
- Cvičenie 2
- Cvičenie 3
- Cvičenie 4
- Referencie
Uhlová rýchlosť je meradlom pre rýchlosť otáčania, a je definovaný ako uhol, ktorý sa otáča na vektor pozície rotujúceho predmetu, za jednotku času. Je to veľkosť, ktorá veľmi dobre popisuje pohyb veľkého množstva objektov, ktoré sa neustále otáčajú všade: CD, kolesá automobilov, stroje, Zem a mnoho ďalších.
Schéma «London Eye» je na nasledujúcom obrázku. Predstavuje pohyb cestujúceho predstavovaného bodom P, ktorý sleduje kruhovú cestu nazývanú c:
Schematické znázornenie okružnej cesty, po ktorej nasleduje cestujúci z „londýnskeho oka“. Zdroj: vlastný.
Cestujúci zaujíma polohu P v okamihu ta uhlová poloha zodpovedajúca tomuto okamihu je ϕ.
Od okamihu t uplynie časové obdobie Δt. V tomto období je nová poloha presného cestujúceho P 'a uhlová poloha sa zväčšila o uhol Δϕ.
Ako sa vypočíta uhlová rýchlosť?
Čo sa týka rotačných množstiev, grécke listy sa často používajú na ich odlíšenie od lineárnych množstiev. Priemerná uhlová rýchlosť co m je teda spočiatku definovaná ako uhol ubehnutý v danom časovom období.
Potom kvocient Δϕ / Δt bude predstavovať strednú uhlovú rýchlosť co m medzi okamihami t a t + Δt.
Ak chcete vypočítať uhlovú rýchlosť práve v okamihu t, musíte vypočítať pomer Δϕ / Δt, keď Δt ➡0:
Vzťah medzi lineárnou a uhlovou rýchlosťou
Lineárna rýchlosť v je kvocient medzi ubehnutou vzdialenosťou a časom potrebným na jej prekonanie.
Na obrázku vyššie je prejdeným oblúkom As. Tento oblúk je však úmerný prejdenému uhlu a polomeru, pričom je splnený nasledujúci vzťah, ktorý platí, pokiaľ sa Δϕ meria v radiánoch:
Δs = r ・ Δϕ
Ak vydelíme predchádzajúci výraz časovým odstupom Δt a vezmeme limit, keď Δt ➡0, dostaneme:
v = r ・ ω
Rovnomerný rotačný pohyb
Na snímke je známe „londýnske oko“, 135 m vysoké točiace koleso, ktoré sa pomaly otáča, aby si ľudia mohli nalodiť do kajút na svojej základni a vychutnať si londýnsku scenériu. Zdroj: Pixabay.
Rotačný pohyb je rovnomerný, ak je v ktoromkoľvek pozorovanom okamihu uhol uhol rovnaký v rovnakom časovom období.
Ak je rotácia rovnomerná, uhlová rýchlosť sa v každom okamihu zhoduje so strednou uhlovou rýchlosťou.
Ďalej, keď sa vykoná úplné zatáčanie, uhol prejdeného uhla je 2π (ekvivalent 360 °). Preto sa pri rovnomernom otáčaní uhlová rýchlosť co vzťahuje na periódu T podľa tohto vzorca:
f = 1 / T
To znamená, že pri rovnomernom otáčaní je uhlová rýchlosť spojená s frekvenciou:
ω = 2π ・ f
Riešené problémy uhlovej rýchlosti
Cvičenie 1
Kabíny veľkého točivého kolesa známeho ako „London Eye“ sa pohybujú pomaly. Rýchlosť kabíny je 26 cm / sa koleso má priemer 135 m.
Pomocou týchto údajov vypočítajte:
i) uhlová rýchlosť kolesa
ii) Frekvencia rotácie
iii) Čas potrebný na úplné otočenie kabíny.
odpovede:
i) Rýchlosť v v m / s je: v = 26 cm / s = 0,26 m / s.
Polomer je polovicou priemeru: r = (135 m) / 2 = 67,5 m
v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 m / s) / (67,5 m) = 0,00385 rad / s
ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x 10-4 otáčok / s
f = 6,13 x 10-4 otáčok / s = 0,0368 otáčok / min = 2,21 otáčok / hodinu.
iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 kolo / hodina = 0,455311 hodina = 27 min 11 sek
Cvičenie 2
Autíčko sa pohybuje po kruhovej dráhe s polomerom 2 m. V 0 s je jeho uhlová poloha 0 rad, ale po čase t je jeho uhlová poloha daná:
φ (t) = 2 ・ t
určenie:
i) uhlová rýchlosť
ii) lineárna rýchlosť v každom okamihu.
odpovede:
i) Uhlová rýchlosť je odvodením uhlovej polohy: ω = φ '(t) = 2.
Inými slovami, autíčko má konštantnú uhlovú rýchlosť rovnú 2 rad / s.
ii) Lineárna rýchlosť vozidla je: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14,4 km / h
Cvičenie 3
Rovnaké auto z predchádzajúceho cvičenia sa zastaví. Jeho uhlová poloha ako funkcia času je daná nasledujúcim výrazom:
φ (t) = 2 · t - 0,5 · t 2
určenie:
i) uhlová rýchlosť v každom okamihu
ii) lineárna rýchlosť v každom okamihu
iii) Čas potrebný na zastavenie od okamihu, keď sa začne spomaľovať
iv) Uhol ubehnutý
v) ubehnutá vzdialenosť
odpovede:
i) Uhlová rýchlosť je odvodením uhlovej polohy: ω = φ '(t)
ω (t) = φ '(t) = (2 · t - 0,5 · t 2 )' = 2 - t
ii) Lineárna rýchlosť vozidla v každom okamihu je daná:
v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t
iii) Čas potrebný na zastavenie od okamihu, keď sa začne spomaľovať, je určený poznaním okamihu, v ktorom sa rýchlosť v (t) stane nulovou.
v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2
To znamená, že sa zastaví na 2 s po začatí brzdenia.
iv) V priebehu 2 s, od momentu, keď začne brzdiť, až kým sa nezastaví, ubehne uhol daný φ (2):
φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 stupňa
v) V priebehu 2 s od začiatku brzdenia po zastavenie prejde vzdialenosť s danú:
s = r ・ φ = 2 m ・ 2 rad = 4 m
Cvičenie 4
Kolesá automobilu majú priemer 80 cm. Ak auto ide rýchlosťou 100 km / h. Nájdite: i) uhlovú rýchlosť otáčania kolies, ii) frekvenciu otáčania kolies, iii) počet otáčok, ktoré koleso urobí za jednu hodinu jazdy.
odpovede:
i) Najprv sa chystáme previesť rýchlosť vozidla z Km / h na h / s
v = 100 km / h = (100 / 3,6) m / s = 27,78 m / s
Uhlová rýchlosť otáčania kolies je daná:
co = v / r = (27,78 m / s) / (0,4 m) = 69,44 rad / s
ii) Frekvencia rotácie kolies je daná:
f = co / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 otáčok / s
Frekvencia rotácie je obvykle vyjadrená v otáčkach za minútu
f = 11,05 otáčok / s = 11,05 otáčok / (1/60) min = 663,15 ot / min
iii) Počet kôl, ktoré koleso urobí pri jednej hodinovej jazde, sa vypočíta s vedomím, že 1 hodina = 60 min a že frekvencia je počet kôl N vydelený časom, za ktorý sa tieto N kôl vykonajú.
f = N / t => N = f = t = 663,15 (otáčky / min.) x 60 minút = 39788,7 otáčok.
Referencie
- Giancoli, D. Physics. Princípy s aplikáciami. 6. vydanie. Prentice Hall. 106-108.
- Resnick, R. (1999). Fyzický. Zväzok 1. Tretie vydanie v španielčine. Mexiko. Compañía Editorial Continental SA de CV 67-69.
- Serway, R., Jewett, J. (2008). Fyzika pre vedu a techniku. Zväzok 1. 7.. Vydanie. Mexiko. Editori výučby cengage. 84-85.
- geogebra.org