ĽADOVÝ TROJUHOLNÍK: CHARAKTERISTIKY, VZOREC A OBLASTI, VÝPOČET - MATEMATIKA - 2025

Scalene trojuholník je mnohouholník s tromi stranami, z ktorých všetky majú rôzne opatrenia alebo dĺžky; Z tohto dôvodu je uvedené meno scalene, čo v latinčine znamená lezenie.

Trojuholníky sú mnohouholníky považované za najjednoduchšie v geometrii, pretože sa skladajú z troch strán, troch uhlov a troch vrcholov. V prípade škvrnitého trojuholníka znamená, že všetky strany sú rôzne, to znamená, že jeho tri uhly budú tiež.

Charakteristiky kalených trojuholníkov

Scalene trojuholníky sú jednoduché polygóny, pretože žiadna z ich bočných strán alebo uhlov nemá na rozdiel od rovnoramenných a rovnostranných trojuholníkov rovnaké rozmery.

Pretože všetky ich strany a uhly majú rôzne miery, tieto trojuholníky sa považujú za nepravidelné konvexné polygóny.

Na základe amplitúdy vnútorných uhlov sa skalénové trojuholníky klasifikujú ako:

• Scalene pravouhlý trojuholník : všetky strany sú rôzne. Jeden z jeho uhlov je pravý (90 ^alebo ) a ostatné sú ostré as rôznymi mierkami.
• Vyhladený skalný trojuholník : všetky strany sú rôzne a jeden z jeho uhlov je tupý (> 90 ^alebo ).
• Scalene ostrý trojuholník : všetky strany sú rôzne. Všetky uhly sú ostré (<90 ^alebo ) s rôznymi mierkami.

Ďalšou charakteristikou škvrnitých trojuholníkov je to, že kvôli nejednotnosti svojich bočných strán a uhlov nemajú os symetrie.

súčasti

Medián : je to čiara, ktorá začína v strede jednej strany a dosahuje protiľahlý vrchol. Traja stredníci sa stretávajú v bode nazývanom barycenter alebo centroid.

Deliaca čiara : je to lúč, ktorý rozdeľuje každý uhol do dvoch rovnakých uhlov. Obočí trojuholníka sa stretávajú v bode nazývanom stimulátor.

Deliaca čiara : je to úsek kolmý na stranu trojuholníka, ktorý má svoj pôvod v strede. V trojuholníku sú tri križovatky a stretávajú sa v bode nazývanom circumcenter.

Výška : je to čiara, ktorá vedie z vrcholu na stranu, ktorá je opačná, a tiež táto čiara je kolmá na túto stranu. Všetky trojuholníky majú tri výšky, ktoré sa zhodujú v bode nazývanom ortocenter.

vlastnosti

Scalene trojuholníky sú definované alebo identifikované, pretože majú niekoľko vlastností, ktoré ich reprezentujú, pochádzajúce z teorémov navrhnutých veľkými matematikmi. Oni sú:

Vnútorné uhly

Súčet vnútorných uhlov sa vždy rovná 180 ^° .

Súčet strán

Súčet mier na oboch stranách musí byť vždy väčší ako mier na tretej strane, a + b> c.

Nezlučiteľné strany

Všetky strany scalene trojuholníkov majú rôzne rozmery alebo dĺžky; to znamená, že sú nevhodné.

Nezlučiteľné uhly

Pretože všetky strany škvrnitého trojuholníka sú rôzne, jeho uhly tiež zostanú. Súčet vnútorných uhlov sa však vždy bude rovnať 180 ° av niektorých prípadoch môže byť jeden z jeho uhlov tupý alebo pravý, zatiaľ čo v iných sú všetky jeho uhly ostré.

Výška, medián, čiara a čiara nie sú náhodné

Rovnako ako akýkoľvek trojuholník, aj Scalene má rôzne úsečky, ktoré ju tvoria, ako napríklad: výška, stredná hodnota, deliaca čiara a deliaca čiara.

Vzhľadom na osobitosť svojich strán sa v tomto type trojuholníka žiadna z týchto čiar nebude zhodovať v jednu.

Orthocenter, barycenter, stimulátor a circumcenter nie sú náhodné

Keďže výška, stred, deliaca čiara a deliaca čiara sú reprezentované rôznymi úsečkami, v stretchovom trojuholníku sa stretávacie body - orthocenter, stimulátor a circumcenter - nachádzajú na rôznych miestach (nezhodujú sa).

V závislosti od toho, či je trojuholník ostrý, pravý alebo šupinatý, má ortocenter rôzne polohy:

k. Ak je trojuholník ostrý, ortocenter bude vnútri trojuholníka.

b. Ak je trojuholník pravý, orthocenter sa bude zhodovať s vrcholom pravej strany.

c. Ak je trojuholník tupý, orthocenter bude na vonkajšej strane trojuholníka.

Relatívne výšky

Výšky sú relatívne k stranám.

V prípade skaleného trojuholníka budú mať tieto výšky rôzne rozmery. Každý trojuholník má tri relatívne výšky a Heronov vzorec sa používa na ich výpočet.

Ako vypočítať obvod?

Obvod polygónu sa vypočíta spočítaním strán.

Pretože v tomto prípade má scalene trojuholník všetky svoje strany s rôznymi mierami, jeho obvod bude:

P = strana a + strana b + strana c.

Ako vypočítať oblasť?

Plocha trojuholníkov sa vždy počíta s rovnakým vzorcom vynásobením základných časov a výšky a vydelením dvoma:

Plocha = (základ _* h) ÷ 2

V niektorých prípadoch nie je známa výška škvrnitého trojuholníka, existuje však vzorec, ktorý navrhol matematik Herón na výpočet plochy, ktorá pozná mieru troch strán trojuholníka.

Kde:

• a, b a c predstavujú strany trojuholníka.
• sp, zodpovedá polovičnému priemeru trojuholníka, to znamená polovici obvodu:

sp = (a + b + c) + 2

V prípade, že máme iba rozmer dvoch strán trojuholníka a uhol medzi nimi, oblasť sa dá vypočítať pomocou trigonometrických pomerov. Takže musíte:

Plocha = (strana _* h) ÷ 2

Ak je výška (h) súčin jednej strany a sínus opačného uhla. Napríklad pre každú stranu bude táto oblasť:

• Plocha = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Plocha = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Plocha = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Ako vypočítať výšku?

Pretože všetky strany mierneho trojuholníka sú rôzne, nie je možné vypočítať výšku pomocou Pythagorovej vety.

Z Heronovho vzorca, ktorý je založený na meraniach troch strán trojuholníka, je možné vypočítať plochu.

Výška sa dá vyčistiť zo všeobecného vzorca oblasti:

Strana je nahradená mierkou strany a, b alebo c.

Ďalším spôsobom, ako vypočítať výšku, keď je známa hodnota jedného z uhlov, je použitie trigonometrických pomerov, kde výška bude predstavovať vetvu trojuholníka.

Napríklad, keď je známy uhol opačný k výške, určí sa sínus:

Ako vypočítať strany?

Ak máte mieru dvoch strán a uhol je oproti nim, je možné určiť tretiu stranu pomocou teórie kosinusu.

Napríklad v trojuholníku AB je vynesená výška vzhľadom na segment AC. Týmto spôsobom sa trojuholník delí na dva pravé trojuholníky.

Na výpočet strany c (segment AB) použite pre každý trojuholník Pythagorovu vetu:

• Pre modrý trojuholník máme:

c ² = H ² + m ²

Pretože m = b - n, nahrádzame:

c ² = H ² + b ² (b - n) ²

c ² = H ² + b ² - 2 miliardy + n ² .

• Pre ružový trojuholník musíte:

h ² = a ² - n ²

Nahrádza sa v predchádzajúcej rovnici:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2 miliardy + n ²

c ² = a ² + b ² - 2 mld.

S vedomím, že n = a _* cos C, je nahradený v predchádzajúcej rovnici a získa sa hodnota strany c:

c ² = a ² + b ² - 2b _{* *} cos C.

Podľa zákona o kozmetike sa strany dajú vypočítať ako:

• a ² = b ² + c ² - ² b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _{* *} cos C.

Existujú prípady, keď nie sú známe rozmery strán trojuholníka, ale skôr ich výška a uhly, ktoré sa tvoria v vrcholoch. Na určenie plochy v týchto prípadoch je potrebné použiť trigonometrické pomery.

Poznáme uhol jedného z jeho vrcholov, nohy sa identifikujú a použije sa zodpovedajúci trigonometrický pomer:

Napríklad, rameno AB bude opačné pre uhol C, ale bude susediť s uhlom A. V závislosti od strany alebo nohy zodpovedajúcej výške sa druhá strana vyčistí, aby sa získala jej hodnota.

cvičenie

Prvé cvičenie

Vypočítajte plochu a výšku škvrnitého trojuholníka ABC s vedomím, že jeho strany sú:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Riešenie

Ako údaje sú uvedené merania troch strán škvrnitého trojuholníka.

Pretože hodnota výšky nie je k dispozícii, oblasť sa dá určiť pomocou Heronovho vzorca.

Najprv sa vypočíta semiperimeter:

sp = (a + b + c) + 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) - 2

sp = 36 cm x 2

sp = 18 cm.

Teraz sú hodnoty nahradené Heronovým vzorcom:

Pri znalosti oblasti je možné vypočítať výšku vzhľadom na stranu b. Zo všeobecného vzorca, ktorý to zúčtujeme, máme:

Plocha = (strana _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* h) ÷ 2

h = (2 _* 46,47 cm ² ) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Druhé cvičenie

Vzhľadom na škvrnitý trojuholník ABC, ktorého opatrenia sú:

• Segment AB = 25 m.
• Segment BC = 15 m.

Vo vrchole B sa vytvára uhol 50 °. Vypočítajte výšku vzhľadom na stranu c, obvod a plochu tohto trojuholníka.

Riešenie

V tomto prípade máme merania z dvoch strán. Na stanovenie výšky je potrebné vypočítať meranie tretej strany.

Pretože uhol opačný k daným stranám je daný, je možné na určenie miery boku AC (b) použiť zákon kosinov:

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Kde:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ^o .

Údaje sa nahrádzajú:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482,025)

b ² = 367,985

b = 367 985

b = 19,18 m.

Pretože už máme hodnotu troch strán, vypočíta sa obvod tohto trojuholníka:

P = strana a + strana b + strana c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Teraz je možné určiť plochu pomocou Heronovho vzorca, ale najprv sa musí vypočítať semiperimeter:

sp = P = 2

sp = 59,18 m2

sp = 29,59 m.

Merania strán a semiperimetra sa nahrádzajú Heronovým vzorcom:

Na základe znalosti oblasti je možné vypočítať výšku vzhľadom na stranu c. Z všeobecného vzorca, zúčtovanie musíte:

Plocha = (strana _* h) ÷ 2

143.63 m ² = (25 m _* h) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 m ² ) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Tretie cvičenie

Na scalene trojuholníku ABC strana b je 40 cm, strana c je 22 cm a vrchol A, uhol 90 je formovaný ^alebo . Vypočítajte plochu tohto trojuholníka.

Riešenie

V tomto prípade sú uvedené rozmery dvoch strán škvrnitého trojuholníka ABC, ako aj uhol, ktorý sa tvorí vo vrchole A.

Na určenie plochy nie je potrebné počítať mieru strany a, pretože pomocou trigonometrických pomerov sa na jej nájdenie použije uhol.

Pretože je známy uhol opačný voči výške, bude určený súčinom jednej strany a sínusom uhla.

Nahradenie vo vzorci oblasti máme:

• Plocha = (strana _* h) ÷ 2
• h = c _* hriech A

Plocha = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Plocha = (40 cm _x 22 cm _x sin 90) _x 2

Plocha = (40 cm _* 22 cm _* 1) - 2

Plocha = 880 cm ² ÷ 2

Plocha = 440 cm ² .

Referencie

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Technická výkres: aktivita zápisník.
2. Ángel Ruiz, HB (2006). Geometria. CR technológia ,.
3. Angel, AR (2007). Elementárna algebra. Pearson Education,.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultúra.
5. Barbosa, JL (2006). Rovinná euklidovská geometria. Rio de Janeiro,.
6. Coxeter, H. (1971). Základy geometrie. Mexiko: Limusa-Wiley.
7. Daniel C. Alexander, GM (2014). Elementárna geometria pre študentov vysokých škôl. Cengage Learning.
8. Harpe, P. d. (2000). Témy z teórie geometrických skupín. University of Chicago Press.