ZÁKLADNÁ VETA ARITMETIKY: DÔKAZ, APLIKÁCIE, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2025

Základné teorém aritmetiky uvádza, že akýkoľvek prirodzené číslo väčšie ako 1, môže byť rozložený ako súčin prvočísel - niektoré môžu byť opakované - a táto forma je unikátny pre toto číslo, aj keď poradie faktorov môžu byť rôzne.

Pamätajte, že prvočíslo p je také, ktoré iba pripúšťa samé seba a 1. Pozitívne deliace čísla sú nasledujúce. Nasledujúce čísla sú prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13 atď., Pretože sú nekonečné. Číslo 1 sa nepovažuje za prvočíslo, pretože má iba jedného deliteľa.

Obrázok 1. Euklid (vľavo) preukázal základnú vetu aritmetiky vo svojej knihe Prvky (350 pnl) a prvý úplný dôkaz je spôsobený Carlom F. Gaussom (1777 - 1855) (vpravo). Zdroj: Wikimedia Commons.

Na druhej strane, čísla, ktoré nespĺňajú vyššie uvedené, sa nazývajú zložené čísla, ako napríklad 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 … Vezmime si napríklad číslo 10 a hneď vidíme, že sa môže rozkladať ako produkt 2 a 5:

10 = 2 x 5

2 aj 5 sú v skutočnosti prvočísla. Veta uvádza, že je to možné pre ľubovoľné číslo n:

Kde p ₁ , p ₂ , p ₃ … p _r sú prvočísla a k ₁ , k ₂ , k ₃ , … k _r sú prirodzené čísla. Prvočísla teda pôsobia ako stavebné bloky, z ktorých sa prostredníctvom násobenia vytvárajú prirodzené čísla.

Dôkaz o základnej vete aritmetiky

Začneme tým, že ukážeme, že každé číslo možno rozložiť na hlavné faktory. Dovoliť je prirodzené číslo n> 1, prvočíslo alebo zložené číslo.

Napríklad, ak n = 2, možno ho vyjadriť ako: 2 = 1 × 2, čo je prvočíslo. Rovnakým spôsobom pokračujte s nasledujúcimi číslami:

3 = 1 × 3

4 = 2 x 2

5 = 1 × 5

6 = 2 x 3

7 = 1 × 7

8 = 2 × 2 × 2

Pokračujeme takto, rozkladáme všetky prirodzené čísla, až kým nedosiahneme číslo n -1. Uvidíme, či to dokážeme s nasledujúcim číslom: n.

Ak je n prvočíslo, môžeme ho rozložiť ako n = 1 × n, ale predpokladajme, že n je zložené a má deliteľa d, logicky menšie ako n:

1 <d <n.

Ak n / d = p ₁ , s p ₁ prvočíslo, potom n sa zapíše ako:

n = p ₁ .d

Ak je d prvočíslo, už sa viac nedá robiť, ale ak to tak nie je, existuje číslo n _2, ktoré je deliteľom d a menšie ako toto: n ₂ <d, takže d môže byť napísané ako produkt n ₂ iným prvočíslo p ₂ :

d = p ₂ n ₂

To, že pri nahradení pôvodného čísla n by:

n = p ₁ .p _2. n ₂

Teraz predpokladajme, že n ₂ nie je prvočíslo buď a zapíšeme ju ako súčin prvočíslo p ₃ , jeho deliteľ n ₃ , taká, že n ₃ <n ₂ <n ₁ <n:

n ₂ = p ₃ n ₃ → n = p ₁ p ₂ p ₃ n ₃

Tento postup opakujeme niekoľkokrát, kým nezískame:

n = p ₁ .p ₂ .p ₃ … p _r

To znamená, že je možné rozložiť všetky celé čísla z 2 na číslo n ako súčin prvočísel.

Jedinečnosť prvotnej faktorizácie

Teraz si overme, že okrem poradia faktorov je tento rozklad jedinečný. Predpokladajme, že n možno písať dvoma spôsobmi:

n = p ₁ .P ₂ .P ₃ … p _r = q _1. q ₂ .q ₃ … ..q _s (s r ≤ y)

Samozrejme q ₁ , q ₂ , q ₃ … sú tiež prvočísla. Pretože p _{1 sa} delí (q _1. q ₂ .q ₃ … ..q _s ), potom sa p ₁ rovná ktorejkoľvek z „q“, nezáleží na tom, ktoré z nich je, takže môžeme povedať, že p ₁ = q ₁ . Delíme n p ₁ a získame:

p ₂ .p ₃ … p _r = _. q ₂ .q ₃ …..q _s

Postup opakujeme, až kým všetko nerozdelíme p _r , potom získame:

1 = q _{r + 1} … q _s

Nie je však možné dospieť k qr _{+ 1} … q _s = 1, keď r <s, iba ak r = s. Aj keď pripustením, že r = s, pripúšťa sa tiež, že "p" a "q" sú rovnaké. Preto je rozklad jedinečný.

aplikácia

Ako sme už povedali, prvočísla predstavujú, ak chcete, atómy čísel, ich základné zložky. Takže základná veta aritmetiky má početné aplikácie, najzreteľnejšie: s veľkými číslami môžeme ľahšie pracovať, ak ich vyjadríme ako produkt menších čísel.

Rovnakým spôsobom nájdeme najväčší spoločný násobok (LCM) a najväčší spoločný deliteľ (GCF), postup, ktorý nám pomáha robiť ľahšie pridávanie zlomkov, nájsť korene veľkého počtu alebo pracovať s radikálmi, racionalizovať a riešiť aplikačné problémy veľmi rôznorodej povahy.

Okrem toho prvočísla sú mimoriadne záhadné. Vzor v nich ešte nie je rozpoznaný a nie je možné vedieť, ktorý bude nasledujúci. Najväčší doteraz boli nájdené počítače a má 24 862 048 číslic, aj keď nové prvočísla sa objavujú vždy menej.

Prvočísla v prírode

Cikády, cikádidá alebo cikády, ktoré žijú na severovýchode Spojených štátov, sa objavujú v cykloch 13 alebo 17 rokov. Obaja sú prvočísla.

Týmto spôsobom sa cikáda nevyskytujú súčasne s predátormi alebo konkurentmi, ktorí majú iné obdobia narodenia, ani si navzájom nekonkurujú rôzne odrody cikády, pretože sa nezhodujú počas toho istého roku.

Obrázok 2. Magicicada cicada východných Spojených štátov sa objavuje každých 13 až 17 rokov. Zdroj: Pxfuel.

Prvočísla a online nakupovanie

Prvé čísla sa v kryptografii používajú na utajenie podrobností o kreditnej karte pri nákupoch cez internet. Týmto spôsobom sa údaje, ktoré kupujúci dostane do obchodu presne bez toho, aby sa stratili alebo padli do rúk bezohľadných ľudí.

Ako? Dáta na kartách sú kódované číslom N, ktoré možno vyjadriť ako súčin prvočísel. Tieto prvočísla sú kľúčom, ktorý údaje odhaľujú, ale nie sú verejnosti známe, môžu byť dekódované iba na webe, na ktorý sú smerované.

Rozklad čísla na faktory je ľahká úloha, ak sú čísla malé (pozri vyriešené cvičenia), ale v tomto prípade sa ako kľúč používa prvočíslo 100 číslic, ktoré pri ich znásobení dávajú oveľa väčšie čísla, ktorých podrobný rozklad zahŕňa veľkú úlohu. ,

Riešené cvičenia

- Cvičenie 1

Rozdeľte 1029 na hlavné faktory.

Riešenie

1029 je deliteľné číslom 3. Je známe, že pri sčítaní jeho číslic je súčet násobkom 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Pretože poradie faktorov nemení produkt, môžeme tam začať:

1029 3

343

1029 = 3 × 343

Na druhej strane 343 = 7 ³ , potom:

1029 = 3 x 7 ³ = 3 x 7 × 7 × 7

A keďže obe čísla 3 a 7 sú prvočísla, ide o rozklad 1029.

- Cvičenie 2

Faktor trinomiálny x ² + 42x + 432.

Riešenie

Trinomiál sa prepíše vo forme (x + a). (x + b) a musíme nájsť hodnoty aab, aby:

a + b = 42; ab = 432

Číslo 432 sa rozloží na hlavné faktory a odtiaľ sa vhodnou kombináciou vyberie pokus a omyl, takže pridané faktory poskytnú 42.

432 = 2 ⁴ × 3 ³ = 2 × 3 ³ × 2 ³ = 2 ⁴ × 3 ² × 3 =…

Odtiaľto existuje niekoľko možností, ako napísať 432:

432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….

A všetky je možné nájsť kombináciou produktov medzi hlavnými faktormi, ale na vyriešenie navrhovaného cvičenia je jediná vhodná kombinácia: 432 = 24 × 18 od 24 + 18 = 42, potom:

x ² + 42 x + 432 = (x + 24). (x +18)

Referencie

1. Baldor, A. 1986. Teoretická praktická aritmetika. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
2. BBC World. Skrytý prírodný zákon. Obnovené z: bbc.com.
3. De Leon, Manuel, prvočísla: strážcovia internetu. Obnovené z: blogs.20minutos.es.
4. UNAM. Teória čísel I: Základná aritmetická veta. Obnovené z: teoriadenumeros.wikidot.com.
5. Wikipedia. Základná veta aritmetiky. Obnovené z: es.wikipedia.org.