ČO SÚ ŠIKMÉ TROJUHOLNÍKY? (S CVIČENÍM) - MATEMATIKA - 2025

Tieto šikmé trojuholníky sú tie trojuholníky, ktoré nie sú obdĺžniky. Inými slovami, trojuholníky také, že žiadny z ich uhlov nie je pravý uhol (ich miera je 90 °).

Pretože nemajú pravý uhol, potom sa na tieto trojuholníky nemôže použiť pythagorova veta.

Preto, aby sme poznali údaje v šikmom trojuholníku, je potrebné použiť iné vzorce.

Vzorce potrebné na vyriešenie šikmého trojuholníka sú tzv. Zákony sínusov a kosínov, ktoré budú opísané neskôr.

Okrem týchto zákonov sa dá vždy použiť skutočnosť, že súčet vnútorných uhlov trojuholníka sa rovná 180 °.

Šikmé trojuholníky

Ako bolo uvedené na začiatku, šikmý trojuholník je trojuholník tak, že žiadny z jeho uhlov nemeria 90 °.

Problém zistenia dĺžok strán šikmého trojuholníka, ako aj zistenie mierok jeho uhlov, sa nazýva „riešenie šikmých trojuholníkov“.

Pri práci s trojuholníkmi je dôležitá skutočnosť, že súčet troch vnútorných uhlov trojuholníka sa rovná 180 °. Toto je všeobecný výsledok, preto ho možno použiť aj pre šikmé trojuholníky.

Zákony o sine a kosíne

Vzhľadom na trojuholník ABC so stranami dĺžky „a“, „b“ a „c“:

- Zákon o sine hovorí, že a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), kde A, B a C sú opačné uhly ako «a», «b» a «c »Respektíve.

- Zákon o kozinoch uvádza, že: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Ekvivalentne sa môžu použiť nasledujúce vzorce:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) alebo a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Pomocou týchto vzorcov je možné vypočítať údaje pre šikmý trojuholník.

cvičenie

Ďalej uvádzame niektoré cviky, pri ktorých sa musia nájsť chýbajúce údaje daných trojuholníkov na základe určitých dodaných údajov.

Prvé cvičenie

Pri trojuholníku ABC tak, že A = 45 °, B = 60 ° a a = 12 cm, vypočítajte ďalšie údaje trojuholníka.

Riešenie

S použitím tohto súčtu sa vnútorné uhly trojuholníka rovnajú 180 °

C = 180 ° - 45 ° - 60 ° = 75 °.

Tieto tri uhly sú už známe. Zákon sínus sa potom používa na výpočet dvoch chýbajúcich strán.

Rovnice, ktoré vzniknú, sú 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Od prvej rovnosti môžeme vyriešiť písmeno „b“ a získať to

b = 12 * hriech (60 °) / hriech (45 °) = 6,66 × 14,696 cm.

Môžeme tiež vyriešiť otázku «c» a získať ju

c = 12 * hriech (75 °) / hriech (45 °) = 6 (1 + -3) ≈ 16,392 cm.

Druhé cvičenie

Pri danom trojuholníku ABC tak, že A = 60 °, C = 75 ° a b = 10 cm, vypočítajte ďalšie údaje trojuholníka.

Riešenie

Rovnako ako v predchádzajúcom cvičení, B = 180 ° - 60 ° - 75 ° = 45 °. Ďalej podľa zákona sínusov máme to, že a / hriech (60 °) = 10 / hriech (45 °) = c / hriech (75 °), z ktorého sa získa, že a = 10 * hriech (60 °) / hriech (45 °) = 5,66 x 12,247 cm a c = 10 x hriech (75 °) / hriech (45 °) = 5 (1 + 3) ≈ 13,660 cm.

Tretie cvičenie

Pri danom trojuholníku ABC tak, že a = 10 cm, b = 15 cm a C = 80 °, vypočítajte ďalšie údaje trojuholníka.

Riešenie

V tomto cvičení je známy iba jeden uhol, preto ho nemožno začať ako v predchádzajúcich dvoch cvičeniach. Zákon sínusov nemožno uplatniť, pretože sa nedala vyriešiť žiadna rovnica.

Preto pristupujeme k uplatňovaniu zákona kosínusov. To je potom to

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80 °) = 325 - 300 * 0,173 × 272,905 cm,

takže c = 16,51 cm. Teraz, keď poznáme 3 strany, používa sa zákon o sine a to sa získa

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / sin (80 °).

Výsledkom riešenia B je teda sin (B) = 15x sin (80º) / 16,51 × 0,894, čo znamená, že B = 63,38 °.

Teraz môžeme získať, že A = 180 ° - 80 ° - 63,38 ° ≈ 36,62 °.

Štvrté cvičenie

Strany šikmého trojuholníka sú a = 5 cm, b = 3 cm a c = 7 cm. Nájdite uhly trojuholníka.

Riešenie

Zákon sínusov nemožno opäť použiť priamo, pretože žiadna rovnica by neslúžila na získanie hodnoty uhlov.

Podľa kosínskeho zákona máme, že c² = a² + b² - 2ab cos (C), z ktorého pri riešení máme ten cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2, a preto C = 120 °.

Ak teda môžeme uplatniť zákon sínusov, a teda získať 5 / hriech (A) = 3 / hriech (B) = 7 / hriech (120º), odkiaľ môžeme vyriešiť B a získať tento hriech (B) = 3 * sin (120 °) / 7 = 0,371, takže B = 21,79 °.

Nakoniec sa posledný uhol vypočíta pomocou tohto A = 180 ° - 120 ° - 21,79 ° = 38,21 °.

Referencie

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometria (opakovaná tlač). Progress.
2. Leake, D. (2006). Trojuholníky (ilustrované vydanie). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometria. CR technológia.
5. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometria a analytická geometria. Pearson Education.