- vzorec
- Euklidovská vzdialenosť v dvoch rozmeroch
- Neeuklidovské povrchy
- Euklidovská vzdialenosť v rozmeroch n
- Ako vypočítať euklidovskú vzdialenosť
- príklad
- Referencie
Euklidovská vzdialenosť je kladné číslo, ktoré udáva vzdialenosť medzi dvoma bodmi v priestore, ak sú splnené axiómy a vety geometrie Euclidovy.
Vzdialenosť medzi dvoma bodmi A a B v euklidovskom priestore je dĺžka vektora AB patriaceho k jedinej priamke, ktorá prechádza týmito bodmi.
Postava 1 . Jednorozmerný euklidovský priestor tvorený čiarou (OX). Na danom priestore je znázornených niekoľko bodov, ich súradnice a vzdialenosti. (Pripravil Ricardo Pérez).
Priestor, ktorý ľudia vnímajú a kam sa pohybujeme, je trojrozmerný (3-D) priestor, v ktorom sú splnené axiómy a vety Euklidovej geometrie. V tomto priestore sú obsiahnuté dvojrozmerné podpriestory (roviny) a jednorozmerné podpriestory (priamky).
Euklidovské priestory môžu byť jednorozmerné (1-D), dvojrozmerné (2-D), trojrozmerné (3-D) alebo n-rozmerné (nD).
Body v jednorozmernom priestore X sú tie, ktoré patria k orientovanej čiare (OX), smer od O do X je pozitívny smer. Na nájdenie bodov na tomto riadku sa používa karteziánsky systém, ktorý spočíva v priradení čísla každému bodu v rade.
vzorec
Euklidovská vzdialenosť d (A, B) medzi bodmi A a B, ktorá sa nachádza na priamke, je definovaná ako druhá odmocnina druhej mocniny rozdielov v ich súradniciach X:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Táto definícia zaručuje, že: vzdialenosť medzi dvoma bodmi je vždy kladné množstvo. A že vzdialenosť medzi A a B sa rovná vzdialenosti medzi B a A.
Obrázok 1 zobrazuje jednorozmerný euklidovský priestor tvorený čiarou (OX) a niekoľkými bodmi na tejto linke. Každý bod má súradnicu:
Bod A má súradnicu XA = 2,5, súradnicu bodu B XB = 4 a súradnicu bodu C XC = -2,5
d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5
d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5
d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0
Euklidovská vzdialenosť v dvoch rozmeroch
Dvojrozmerný euklidovský priestor je rovina. Body euklidovskej roviny spĺňajú axiómy euklidovskej geometrie, napríklad:
- Jeden riadok prechádza dvoma bodmi.
- Tri body v rovine tvoria trojuholník, ktorého vnútorné uhly sa vždy rovnajú 180 °.
- V pravom trojuholníku sa štvorec prepony rovná súčtu štvorcov jeho nôh.
V dvoch rozmeroch má bod súradnice X a Y.
Napríklad bod P má súradnice (XP, YP) a súradnice bodu Q (XQ, YQ).
Euklidovská vzdialenosť medzi bodmi P a Q je definovaná nasledujúcim vzorcom:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
Je potrebné poznamenať, že tento vzorec je ekvivalentom Pytagorovej vety, ako je znázornené na obrázku 2.
Obrázok 2. Vzdialenosť medzi dvoma bodmi P a Q v rovine spĺňa pythagorovu teóriu. (Pripravil Ricardo Pérez).
Neeuklidovské povrchy
Nie všetky dvojrozmerné priestory zodpovedajú euklidovskej geometrii. Povrch gule je dvojrozmerný priestor.
Uhly trojuholníka na sférickom povrchu sa sčítajú až do 180 °, a tým nie je splnená Pythagorova veta, preto sférický povrch nespĺňa Euclidove axiómy.
Euklidovská vzdialenosť v rozmeroch n
Koncept súradníc možno rozšíriť na väčšie rozmery:
- V bode 2 má súradnice P (XP, YP)
- V 3-D má bod Q súradnice (XQ, YQ, ZQ)
- V 4-D bude mať bod R súradnice (XR, YR, ZR, WR)
- V nD bude mať bod P súradnice (P1, P2, P3, ….., Pn)
Vzdialenosť medzi dvoma bodmi P a Q n-rozmerného euklidovského priestoru sa vypočíta podľa tohto vzorca:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …… .. + (Qn - Pn) ^ 2)
Miesto všetkých bodov Q v n-dimenzionálnom euklidovskom priestore vzdialenom od iného pevného bodu P (stred) tvorí n-rozmernú hypersféru.
Ako vypočítať euklidovskú vzdialenosť
Nasledujúci text ukazuje, ako sa počíta vzdialenosť medzi dvoma bodmi umiestnenými v euklidovskom trojrozmernom priestore.
Predpokladajme bod A karteziánskych súradníc x, y, z daný A :( 2, 3, 1) a bod B súradníc B :( -3, 2, 2).
Chceme určiť vzdialenosť medzi týmito bodmi, pri ktorých sa využíva všeobecný vzťah:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5 196
príklad
Existujú dva body P a Q. Bod P karteziánskych súradníc x, y, z daný P :( 2, 3, 1) a bod Q súradníc Q :( -3, 2, 1).
Požiada sa o nájdenie súradníc stredu M úseku spájajúceho dva body.
Predpokladá sa, že neznámy bod M má súradnice (X, Y, Z).
Pretože M je stred, musí platiť, že d (P, M) = d (Q, M), takže d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 musí tiež platiť:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Podobne ako v tomto prípade je tretí člen v oboch krajinách rovnaký, predchádzajúci výraz sa zjednodušuje takto:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Potom máme rovnicu s dvoma neznámymi X a Y. Na vyriešenie problému je potrebná iná rovnica.
Bod M patrí do priamky prechádzajúcej bodmi P a Q, ktoré môžeme vypočítať nasledovne:
Najprv nájdeme riadiaci vektor PQ línie: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.
Potom PM = OP + a PQ , kde OP je polohový vektor bodu P a je parameter, ktorý patrí k reálnym číslam.
Vyššie uvedená rovnica je známa ako vektorová rovnica priamky, ktorá má v karteziánskych súradniciach túto formu:
<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>
Rovnocujeme zodpovedajúce komponenty, ktoré máme:
X2 = 2-5 a; Y-3 = 3-a; Z - 1 = 0
To znamená, že X = 4 - 5a, Y = 6 - a, konečne Z = 1.
Je nahradený kvadratickým výrazom, ktorý sa vzťahuje na X k Y:
(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2
Zjednodušuje sa:
(2 - 5a) ^ 2 (3-a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2
Teraz sa rozvíja:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
Zjednodušuje sa a rušia rovnaké podmienky u oboch členov:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
Parameter a sa vymaže:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52, čo vedie k a = 1.
To znamená, že X = 4 - 5, Y = 6 - 1, nakoniec Z = 1.
Nakoniec dostaneme karteziánske súradnice stredu M segmentu:
M: (-1, 5, 1).
Referencie
- Lehmann C. (1972) Analytical Geometry. UTEHA.
- Superprof. Vzdialenosť medzi dvoma bodmi. Získané z: superprof.es
- UNAM. Vzdialenosť medzi afinskými sublineálnymi rozdeľovačmi. Získané z: prometeo.matem.unam.mx/
- wikipedia. Euklidovská vzdialenosť. Obnovené z: es.wikipedia.com
- wikipedia. Euklidovský priestor. Obnovené z: es.wikipedia.com