MULTIPLIKAČNÝ PRINCÍP: POČÍTACIE TECHNIKY A PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Multiplikatívnej princíp je technika používaná k riešeniu problémov počítanie nájsť riešenie, aby bolo nutné uviesť jej prvky. Je tiež známa ako základný princíp kombinatorickej analýzy; je založený na postupnom násobení, aby sa určilo, ako sa môže udalosť vyskytnúť.

Tento princíp uvádza, že ak rozhodnutie (d ₁ ) môžu byť vyrobené v n spôsoby a ďalšie rozhodnutia (d ₂ ) možno vykonať m spôsoby, celkový počet spôsobov, ktorými rozhodnutie d ₁ a d ₂ môže byť vyrobený sa bude rovnať vynásobiť od n _* m. Podľa zásady sa každé rozhodnutie prijíma jeden po druhom: počet spôsobov = N _{1 *} N ₂ … _* N _x spôsobov.

Príklady

Príklad 1

Paula plánuje ísť so svojimi priateľmi do kina a vybrať si oblečenie, ktoré bude nosiť, oddelím 3 blúzky a 2 sukne. Koľko spôsobov sa môže Paula obliecť?

Riešenie

V takom prípade musí Paula urobiť dve rozhodnutia:

d ₁ = Vyberte si medzi 3 blúzkami = n

d ₂ = Vyberte si medzi 2 sukňami = m

Týmto spôsobom má Paula n _* m rozhodnutia, alebo rôzne spôsoby obliekania.

n _* m = 3 _* 2 = 6 rozhodnutí.

Multiplikačný princíp sa rodí z techniky stromového diagramu, čo je diagram, ktorý sa týka všetkých možných výsledkov, takže každý z nich sa môže vyskytnúť v konečnom počte opakovaní.

Príklad 2

Mario bol veľmi smädný, a tak išiel do pekárne kúpiť šťavu. Luis sa o neho stará a hovorí mu, že má dve veľkosti: veľkú a malú; a štyri príchute: jablko, pomaranč, citrón a hrozno. Koľko spôsobov môže Mario zvoliť šťavu?

Riešenie

Na diagrame je vidieť, že Mario má 8 rôznych spôsobov, ako zvoliť šťavu, a že, ako v multiplikačnom princípe, tento výsledok sa získa vynásobením n _* m. Jediným rozdielom je, že pomocou tohto diagramu vidíte, aké sú spôsoby, ako si Mario vyberie šťavu.

Na druhej strane, keď je počet možných výsledkov veľmi vysoký, je praktickejšie použiť multiplikačný princíp.

Techniky počítania

Techniky počítania sú metódy používané na priame počítanie, a teda poznať počet možných usporiadaní, ktoré môžu mať prvky danej množiny. Tieto techniky sú založené na niekoľkých zásadách:

Zásada pridávania

Táto zásada uvádza, že ak sa nemôžu vyskytnúť dve udalosti m a n súčasne, počet spôsobov, ako sa môže vyskytnúť prvá alebo druhá udalosť, bude súčet m + n:

Počet tvarov = m + n … + x rôznych tvarov.

príklad

Antonio chce podniknúť výlet, ale nerozhoduje sa, do ktorého cieľa; v južnej agentúre cestovného ruchu vám ponúkajú propagačnú cestu do New Yorku alebo Las Vegas, zatiaľ čo východná agentúra cestovného ruchu odporúča cestovať do Francúzska, Talianska alebo Španielska. Koľko rôznych cestovných alternatív vám Antonio ponúka?

Riešenie

S agentúrou pre južný cestovný ruch má Antonio dve alternatívy (New York alebo Las Vegas), zatiaľ čo s agentúrou pre východný cestovný ruch má 3 možnosti (Francúzsko, Taliansko alebo Španielsko). Počet rôznych alternatív je:

Počet alternatív = m + n = 2 + 3 = 5 alternatív.

Zásada permutácie

Ide o konkrétne usporiadanie všetkých alebo niektorých prvkov, ktoré tvoria súpravu, aby sa uľahčilo počítanie všetkých možných usporiadaní, ktoré je možné s prvkami urobiť.

Počet permutácií n rôznych prvkov, braných naraz, je vyjadrený ako:

_n P _n = n!

príklad

Štyria priatelia chcú vyfotiť a chcú vedieť, koľko rôznych spôsobov ich usporiadania.

Riešenie

Chcete poznať súbor všetkých možných spôsobov, ako môžu byť 4 osoby umiestnené na nasnímanie obrázka. Preto musíte:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 rôznych tvarov.

Ak počet permutácií n dostupných prvkov je daný časťami súboru, ktorý je tvorený prvkami r, predstavuje sa ako:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

príklad

V triede je 10 miest. Ak 4 študentov navštevujú túto triedu, koľko rôznych spôsobov môže študent obsadzovať svoje pozície?

Riešenie

Máme to, že celkový počet súprav stoličiek je 10, z ktorých sa použije iba 4. Na určenie počtu permutácií sa použije tento vzorec:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 spôsoby vypĺňanie pozícií.

Existujú prípady, keď sa niektoré z dostupných prvkov množiny opakujú (sú rovnaké). Na výpočet počtu polí, ktoré berú súčasne všetky prvky, sa používa tento vzorec:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

príklad

Koľko rôznych štvorpísmenných slov možno vytvoriť zo slova „vlk“?

Riešenie

V tomto prípade existujú 4 prvky (písmená), z ktorých dva sú úplne rovnaké. Použitím daného vzorca je známe, koľko rôznych slov vedie:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ P2 _{, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P2 _{, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P2 _{, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 rôznych slov.

Princíp kombinovania

Ide o usporiadanie všetkých alebo niektorých prvkov, ktoré tvoria súpravu bez špecifického poradia. Napríklad, ak máte usporiadanie XYZ, bude medzi iným totožné s usporiadaním ZXY, YZX, ZYX; je to tak preto, že aj keď nie sú v rovnakom poradí, prvky každého usporiadania sú rovnaké.

Ak sú niektoré prvky (r) prevzaté zo súboru (n), princíp kombinácie je daný nasledujúcim vzorcom:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

príklad

V obchode predávajú 5 rôznych druhov čokolády. Koľko rôznych spôsobov si môžete vybrať?

Riešenie

V tomto prípade je potrebné zvoliť 4 čokolády z 5 druhov, ktoré predávajú v obchode. Poradie, v ktorom sa vyberú, nezáleží a okrem toho druh čokolády sa môže vybrať viac ako dvakrát. Pri použití vzorca musíte:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 rôznych spôsobov, ako si vybrať 4 čokolády.

Ak sa vezmú všetky prvky (r) množiny (n), princíp kombinácie sa získa podľa tohto vzorca:

_n C _{n =} n!

Riešené cvičenia

Cvičenie 1

K dispozícii je baseballový tím so 14 členmi. Koľko spôsobov môže byť hra priradených 5 pozíciám?

Riešenie

Sada pozostáva zo 14 prvkov a chcete priradiť 5 konkrétnych pozícií; to znamená, na veciach záleží. Permutačný vzorec sa používa tam, kde n dostupné prvky sú prevzaté časťami súboru tvoreného r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Kde n = 14 a r = 5. Nahrádza sa vo vzorci:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 spôsobov, ako priradiť 9 herných pozícií.

Cvičenie 2

Ak sa rodina z deviatich rokov vydá na výlet a kúpi si lístky s po sebe nasledujúcimi sedadlami, koľko rôznych spôsobov si môže sadnúť?

Riešenie

Je to asi 9 prvkov, ktoré budú obsadzovať 9 miest postupne.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 rôznych spôsobov sedenia.

Referencie

1. Hopkins, B. (2009). Zdroje pre výučbu diskrétnej matematiky: Projekty v triedach, historické moduly a články.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskrétna matematika. Pearson Education,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Riešenie konečných a diskrétnych matematických problémov. Redaktori Asociácie pre výskum a vzdelávanie.
4. Padró, FC (2001). Diskrétna matematika. Politec. z Catalunya.
5. Steiner, E. (2005). Matematika pre aplikované vedy. Reverte.