PARALLELEPIPED: VLASTNOSTI, TYPY, PLOCHA, OBJEM - MATEMATIKA - 2025

Kváder je geometrický telo tvorené šiestimi stranách, ktorých hlavným rysom je, že všetky jeho povrchov sú kvádre, a tiež to, že jej protiľahlé plochy sú vzájomne rovnobežné. Je to bežný mnohosten v našom každodennom živote, pretože ho nájdeme v krabiciach na topánky, v tvare tehly, v tvare mikrovlnnej rúry atď.

Ako polyhedron ohraničuje rovnobežnostena konečný objem a všetky jeho tváre sú rovné. Je súčasťou skupiny hranolov, čo sú polyhedry, v ktorých sú všetky jej vrcholy obsiahnuté v dvoch rovnobežných rovinách.

Prvky rovnobežnostena

tváre

Sú to všetky oblasti tvorené rovnobežníkmi, ktoré obmedzujú rovnobežnosť. Rovnobežka má šesť stien, pričom každá stena má štyri susedné steny a jednu protiľahlú. Každá tvár je rovnobežná so svojím protiľahlým povrchom.

hrany

Sú spoločnou stranou dvoch tvárí. Celkovo má rovnobežník tvar dvanásť hrán.

vrchol

Je spoločným bodom troch plôch, ktoré sú vedľa seba dve po dvoch. Rovnobežník má osem vrcholov.

uhlopriečka

Vzhľadom na dve tváre rovnobežnostena proti sebe, môžeme nakresliť úsečku, ktorá prechádza z vrcholu jednej tváre na opačný vrchol druhej.

Tento segment je známy ako uhlopriečka rovnobežníka. Každý rovnobežník má štyri uhlopriečky.

centrum

Je to bod, v ktorom sa protínajú všetky uhlopriečky.

Charakteristiky rovnobežnostena

Ako sme už uviedli, toto geometrické teleso má dvanásť hrán, šesť plôch a osem vrcholov.

V rovnobežnom tvare možno identifikovať tri sady tvorené štyrmi okrajmi, ktoré sú navzájom rovnobežné. Ďalej majú okraje uvedených súprav tú vlastnosť, že majú rovnakú dĺžku.

Ďalšou vlastnosťou, ktorú majú rovnobežné rúrky, je to, že sú konvexné, to znamená, že ak vezmeme nejaký pár bodov patriacich do vnútrajška rovnobežníka, segment určený danou dvojicou bodov bude tiež vo vnútri rovnobežníka.

Paralelné rúrky, ktoré sú konvexnými polyhedrami, navyše zodpovedajú Eulerovej vete pre polyhedru, ktorá nám dáva vzťah medzi počtom plôch, počtom hrán a počtom vrcholov. Tento vzťah je daný vo forme nasledujúcej rovnice:

C + V = A + 2

Táto vlastnosť sa nazýva Eulerova charakteristika.

Kde C je počet plôch, V počet vrcholov a A počet hrán.

druhy

Paralelné rúrky môžeme rozdeliť podľa ich tvárí do nasledujúcich typov:

Orthohedron

Sú to rovnobežné rúrky, ktorých tváre sú tvorené šiestimi obdĺžnikmi. Každý obdĺžnik je kolmý na tie, ktoré zdieľajú hranu. Sú to najbežnejšie v našom každodennom živote, čo je obvyklá forma krabičiek na obuv a tehál.

Pravidelná kocka alebo hexahedron

Toto je konkrétny prípad predchádzajúceho prípadu, kde každá zo stien je štvorcová.

Kocka je tiež súčasťou geometrických telies nazývaných platonické tuhé látky. Platonická tuhá látka je konvexný mnohosten, takže obe strany a vnútorné uhly sú si navzájom rovnaké.

Rhombohedron

Je to rovnobežníková s kosoštvorcami pre svoju tvár. Tieto kosoštvorce sú si navzájom rovnaké, pretože zdieľajú hrany.

Rhombohedron

Jeho šesť tvárí sú kosoštvorce. Spomeňte si, že kosoštvorec je mnohouholník so štyrmi stranami a štyrmi uhlami, ktoré sa rovnajú dvom až dvom. Rhomboidy sú rovnobežníky, ktoré nie sú ani štvorcami, ani obdĺžnikmi ani kosoštvorcami.

Na druhej strane šikmé rovnobežné rúrky sú tie, v ktorých aspoň jedna výška nesúhlasí s ich okrajom. Do tejto klasifikácie môžeme zaradiť rhombohedru a rhombohedru.

Výpočet uhlopriečok

Pre výpočet uhlopriečky z orthohedron môžeme použiť Pytagorovej vety pre R ³ .

Pripomeňme, že ortoped má charakteristiku, že každá strana je kolmá na strany, ktoré zdieľajú hranu. Z tejto skutočnosti môžeme odvodiť, že každá hrana je kolmá na hrany, ktoré zdieľajú vrchol.

Pri výpočte dĺžky uhlopriečky ortopeda postupujeme nasledovne:

1. Vypočítame uhlopriečku jednej z tvárí, ktorú položíme ako základ. Na tento účel používame Pythagorovu vetu. Pomenujme túto uhlopriečku d _b .

2. Potom pomocou d _b môžeme vytvoriť nový pravouhlý trojuholník, takže prepona uvedeného trojuholníka je diagonála D, ktorú hľadáme.

3. Znovu používame pytagorovskú vetu a máme dĺžku tejto uhlopriečky:

Ďalším spôsobom, ako vypočítať diagonály grafickejším spôsobom, je pridanie voľných vektorov.

Pripomeňme, že dva voľné vektory A a B sa pridajú umiestnením chvosta vektora B špičkou vektora A.

Vektor (A + B) je ten, ktorý začína na konci A a končí na špičke B.

Uvažujme o rovnobežníku, pre ktorý chceme vypočítať diagonálu.

Hrany identifikujeme vhodne orientovanými vektormi.

Potom pridáme tieto vektory a výsledný vektor bude uhlopriečkou rovnobežníka.

rozloha

Plocha rovnobežníka je daná súčtom každej z oblastí jeho tvárí.

Ak určíme jednu zo strán ako základňu,

A _L + 2A _B = celková plocha

V prípade, že _L je rovná súčtu plôch všetkých strán priľahlých k základni, sa nazýva bočné plochy, a A _B je plocha základne.

V závislosti od typu rovnobežnostena, s ktorým pracujeme, môžeme tento vzorec prepísať.

Plocha ortopedu

Je to dané vzorcom

A = 2 (ab + bc + ca).

Príklad 1

Vzhľadom na nasledujúci ortopedón so stranami a = 6 cm, b = 8 cm ac = 10 cm sa vypočíta plocha rovnobežníka a dĺžka jeho uhlopriečky.

Pomocou vzorca pre oblasť ortopedu to máme

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ² .

Všimnite si, že keďže sa jedná o ortoped, dĺžka ktorejkoľvek zo štyroch uhlopriečok je rovnaká.

Používame Pythagorovu vetu pre vesmír

D = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Plocha kocky

Pretože každá hrana má rovnakú dĺžku, máme a = b a a = c. Nahradenie v predchádzajúcom vzorci máme

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ² ) = 6 a ²

A = 6a ²

Príklad 2

Krabica hernej konzoly má tvar kocky. Ak chceme zabaliť túto škatuľu baliacim papierom, koľko papiera by sme strávili s vedomím, že dĺžka okrajov kocky je 45 cm?

Získame vzorec pre oblasť kocky

A = 6 (45 cm), ² = 6 (2025 cm ² ) = 12150 cm ²

Plocha kosoštvorca

Pretože všetky ich tváre sú rovnaké, vypočítajte iba plochu jednej z nich a vynásobte ju šiestimi.

Máme, že plocha kosoštvorca sa dá vypočítať pomocou jeho uhlopriečok s nasledujúcim vzorcom

A _R = (Dd) / 2

Z tohto vzorca vyplýva, že celková plocha kosoštvorca je

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Príklad 3

Tváre nasledujúceho rhombohedronu sú tvorené kosoštvorcom, ktorého uhlopriečky sú D = 7 cm a d = 4 cm. Vaša oblasť bude

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm ² .

Plocha kosoštvorca

Na výpočet plochy kosoštvorcov musíme vypočítať plochu kosoštvorcov, ktoré ju tvoria. Pretože rovnobežné rúrky plnia vlastnosť, že protiľahlé strany majú rovnakú plochu, môžeme ich spojiť do troch párov.

Týmto spôsobom budeme mať vašu oblasť

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Kde b _i sú bázy spojené so stranami a h _i ich relatívna výška zodpovedajúca týmto základniam.

Príklad 4

Zvážte nasledujúce rovnobežné potrubie,

kde strana A a strana A '(jej protiľahlá strana) majú základňu b = 10 a výšku h = 6. Označená plocha bude mať hodnotu

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B a B 'majú b = 4 a h = 6

₂ = 2 (4), (6) = 48

YC a C 'majú teda b = 10 a h = 5

₃ = 2 (10) (5) = 100

Konečne je oblasť kosoštvorca

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Objem rovnobežnostena

Vzorec, ktorý nám dáva objem rovnobežníka, je súčinom plochy jednej z jeho plôch s výškou zodpovedajúcou tejto tvári.

V = A _C h _C

V závislosti od typu rovnobežnostena je možné tento vzorec zjednodušiť.

Máme teda napríklad to, že objem ortopedu bude daný

V = abc.

Kde a, b a c predstavujú dĺžku okrajov ortoredónu.

A v konkrétnom prípade kocka je

V = a ³

Príklad 1

Existujú tri rôzne modely pre súbory cookie a chcete vedieť, v ktorom z týchto modelov môžete uložiť viac súborov cookie, to znamená, ktorý z nich má najväčší objem.

Prvou je kocka, ktorej okraj má dĺžku a = 10 cm

Jej veľkosť je V = 1000 cm ³

Druhá má hrany b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

A teda jeho objem je V = 765 cm ³

A tretí má e = 9 cm, f = 9 cm a g = 13 cm

A jeho objem je V = 1053 cm ³

Preto je box s najväčším objemom tretí.

Inou metódou na získanie objemu rovnobežnostena je použitie vektorovej algebry. Najmä produkt s tromi bodkami.

Jednou z geometrických interpretácií, ktoré má trojitý skalárny produkt, je objem rovnobežnostena, ktorého hrany sú tri vektory, ktoré zdieľajú rovnaký vrchol ako počiatočný bod.

Týmto spôsobom, ak máme rovnobežník a chceme vedieť, aký je jeho objem, stačí ho reprezentovať v súradnicovom systéme v R3 ^tak, že jeden z jeho vrcholov sa zhoduje s pôvodom.

Potom reprezentujeme okraje, ktoré sa zhodujú na začiatku s vektormi, ako je to znázornené na obrázku.

A týmto spôsobom máme, že objem uvedeného rovnobežnostena je daný

V = - AxB ∙ C-

Alebo rovnocenným spôsobom je objem determinantom matice 3 x 3 tvorenej zložkami okrajových vektorov.

Príklad 2

Pri predstavuje nasledujúce rovnobežnostena v R ³ je vidieť, že vektory, ktoré ich určujú, sú nasledujúce

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) a w = (-0,25, -4, 4)

Používame trojitý skalárny produkt, ktorý máme

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Z toho sme dospeli k záveru, že V = 60

Uvažujme teraz nasledujúci rovnobežník v R3, ktorého hrany sú určené vektormi

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) a C = (3, 4, 4)

Použitie determinantov nám to dáva

Máme teda objem uvedeného rovnobežnostena 112.

Oba spôsoby sú ekvivalentným spôsobom výpočtu objemu.

Perfektný rovnobežník

Ortoped je známy ako Eulerova tehla (alebo Eulerov blok), ktorá spĺňa vlastnosť, že tak dĺžka jej hrán, ako aj dĺžka uhlopriečok každej z jej stien sú celé čísla.

Aj keď Euler nebol prvým vedcom, ktorý študoval ortohedru, ktorá spĺňa túto vlastnosť, našiel o nich zaujímavé výsledky.

Najmenšiu tehlu Euler objavil Paul Halcke a jej okraje sú a = 44, b = 117 a c = 240.

Otvorený problém v teórii čísel je nasledujúci

Existujú perfektné ortohedry?

V súčasnosti táto otázka nebola zodpovedaná, pretože nebolo možné dokázať, že takéto orgány neexistujú, ale ani sa nenašli.

Doteraz sa ukázalo, že existujú dokonalé rovnobežné rúrky. Prvý, ktorý sa objaví, má dĺžku svojich hrán hodnoty 103, 106 a 271.

Bibliografia

1. Guy, R. (1981). Nevyriešené problémy v teórii čísel. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometria. Progress.
3. Leithold, L. (1992). Výpočet s analytickou geometriou. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Technická kresba: Kniha aktivít 3 2. Bachillerato. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Mexico: Continental.