VÝSLEDNÝ VEKTOR: VÝPOČET, PRÍKLADY, CVIČENIA - FYZICKÝ - 2025

Výsledný vektor je ten, získaný operácie s vektormi, ktorých výsledkom je tiež vektor. Normálne je táto operácia súčtom dvoch alebo viacerých vektorov, pomocou ktorých sa získa vektor, ktorého účinok je ekvivalentný.

Týmto spôsobom sa získajú vektory, ako napríklad výsledná rýchlosť, zrýchlenie alebo sila. Napríklad keď niekoľko síl F ₁ , F ₂ , F ₃ , … pôsobí na telo . vektorový súčet všetkých týchto síl sa rovná čistej sile (výsledná), ktorá je matematicky vyjadrená takto:

F ₁ + F ₂ + F ₃ + … = F _R alebo F _N

Obrázok 1. Hmotnosť snehu je rozložená na streche a jej pôsobenie môže byť nahradené jedinou výslednou silou pôsobiacou na príslušnom mieste. Zdroj: Pixabay.

Výsledný vektor, či už je to sila alebo akákoľvek iná veľkosť vektora, sa zistí uplatnením pravidiel pridávania vektorov. Pretože vektory majú smer a zmysel, ako aj číselnú hodnotu, nestačí pridať moduly na získanie výsledného vektora.

To platí iba v prípade, keď sú príslušné vektory v rovnakom smere (pozri príklady). Inak je potrebné použiť metódy vektorového súčtu, ktoré môžu byť v závislosti od prípadu geometrické alebo analytické.

Príklady

Geometrické metódy na nájdenie výsledného vektora sú metóda posuvu a metóda rovnobežníka.

Pokiaľ ide o analytické metódy, existuje zložková metóda, pomocou ktorej je možné nájsť vektor pochádzajúci z ľubovoľného systému vektorov za predpokladu, že máme jeho karteziánske zložky.

Geometrické metódy na pridanie dvoch vektorov

Predpokladajme, že vektory u a v (označíme ich tučným písmom, aby sme ich od skalárov rozlíšili). Na obrázku 2a) ich umiestnime v rovine. Na obrázku 2 b) bol preložený do vektora v takým spôsobom, že jeho pôvod sa zhoduje s koncom u . Výsledný vektor ide od začiatku prvého ( u ) po koniec posledného ( v ):

Obrázok 2. Výsledný vektor z grafického súčtu vektorov. Zdroj: vlastný.

Výsledná hodnota je v tomto prípade trojuholník (trojuholník je trojstranný mnohouholník). Ak máme dva vektory v rovnakom smere, postup je rovnaký: umiestnite jeden z vektorov za druhý a nakreslite ten, ktorý ide od začiatku alebo konca prvého až po koniec alebo koniec posledného.

Všimnite si, že poradie, v ktorom sa postupuje, nezáleží, pretože súčet vektorov je komutatívny.

Tiež si všimnite, že v tomto prípade je modul (dĺžka alebo veľkosť) výsledného vektora súčet modulov pridaných vektorov, na rozdiel od predchádzajúceho prípadu, v ktorom je modul výsledného vektora menší ako súčet účastnícke moduly.

Parallelogramová metóda

Táto metóda je veľmi vhodná, keď potrebujete pridať dva vektory, ktorých počiatočné body sa zhodujú, napríklad s pôvodom xy súradnicového systému. Predpokladajme, že je to prípad našich vektorov u a v (obrázok 3a):

Obrázok 3. Súčet dvoch vektorov pomocou metódy rovnobežníka s výsledným vektorom v tyrkysovej modrej. Zdroj: vlastný.

Na obrázku 3b) sa vytvoril rovnobežník pomocou prerušovaných čiar rovnobežných s u a v . Výsledný vektor má svoj pôvod na O a jeho koniec v bode, kde sa bodkované čiary pretínajú. Tento postup je úplne rovnocenný postupu opísanému v predchádzajúcej časti.

cvičenie

- Cvičenie 1

Vzhľadom k nasledujúcim vektorom nájdite výsledný vektor pomocou metódy posuvu.

Obrázok 4. Vektory na nájdenie svojich výsledných pomocou polygonálnej metódy. Cvičenie 1. Zdroj: vlastné spracovanie.

Riešenie

Metóda posuvu je prvá z videných metód. Pamätajte, že súčet vektorov je komutatívny (poradie aditív nemení súčet), takže môžete začať akýmkoľvek z vektorov, napríklad u (obrázok 5a) alebo r (obrázok 5b):

Obrázok 5. Súčet vektorov pomocou polygonálnej metódy. Zdroj: vlastný.

Obrázok získaný je polygón a výsledný vektor (modro) sa nazýva R . Ak začnete s iným vektorom, vytvorený tvar sa môže líšiť, ako je to zobrazené v príklade, ale výsledný vektor je rovnaký.

Cvičenie 2

Na nasledujúcom obrázku vieme, že moduly vektorov u a v sú u = 3 ľubovoľné jednotky a v = 1,8 ľubovoľné jednotky. Uhol, ktorý u tvorí s kladnou osou x, je 45 °, zatiaľ čo v predstavuje 60 ° s osou y, ako je vidieť na obrázku. Nájdite výsledný vektor, veľkosť a smer.

Riešenie

V predchádzajúcej časti bol výsledný vektor nájdený použitím metódy rovnobežníka (na obrázku tyrkysovo).

Jednoduchým spôsobom, ako analyticky nájsť výsledný vektor, je vyjadriť adičné vektory z hľadiska ich karteziánskych súčastí, čo je ľahká úloha, keď sú známe moduly a uhol, ako napríklad vektory v tomto príklade:

u _x = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2,12; u _y = u. sin 45º = 3x sin 45º = 2,12

v _x = v. sin 60 ° = 1,8 x sin 60 ° = 1,56; v _y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

Vektory u a v sú vektory patriace do roviny, a preto každý z nich má dve zložky. Vektor u je v prvom kvadrante a jeho komponenty sú pozitívne, zatiaľ čo vektor v je v štvrtom kvadrante; jeho zložka x je kladná, ale jej projekcia na vertikálnej osi padá na zápornú os y.

Výpočet karteziánskych zložiek výsledného vektora

Výsledný vektor sa nájde algebraickým pridaním príslušných zložiek xay na získanie ich karteziánskych zložiek:

R _x = 2,12 + 1,56 = 3,68

R _y = 2,12 + (-0,9) = 1,22

Po špecifikácii karteziánskych komponentov je vektor úplne známy. Výsledný vektor môže byť vyjadrený zápisom v zátvorkách:

R = <3,68; 1.22> ľubovoľné jednotky

Zápis v zátvorkách sa používa na rozlíšenie vektora od bodu v rovine (alebo v priestore). Ďalším spôsobom, ako analyticky vyjadriť výsledný vektor, je použitie jednotkových vektorov i a j v rovine ( i , j a k v priestore):

R = 3,68 i + 1,22 j ľubovoľné jednotky

Pretože obidve zložky výsledného vektora sú pozitívne, vektor R patrí do prvého kvadrantu, ktorý už bol graficky videný.

Veľkosť a smer výsledného vektora

S vedomím karteziánske zložky, veľkosť R sa vypočíta pomocou Pytagorovej vety, pretože výsledný vektor R , spolu s jeho zložiek R _x a R _a tvoria pravouhlý trojuholník:

Veľkosť alebo modul: R = (3,68 ² + 1,22 ² ) ^½ = 3,88

Smeru Q pričom pozitívne os X ako referencie: q = arctan (R _y / R _x ) = arctg (1,22 /3.68) = 18,3 º

Referencie

1. Pridávanie vektorov a pravidiel. Zdroj: newt.phys.unsw.edu.au
2. Figueroa, D. Séria: Fyzika pre vedu a techniku. Zväzok 1. Kinematika 31-68.
3. Fyzický. Modul 8: Vektory. Získané z: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanika pre inžinierov. statický 6. vydanie. Spoločnosť Continental Publishing. 15-53.
5. Kalkulačka sčítania vektorov. Zdroj: www.1728.org