Bolzano teorém hovorí, že v prípade, že funkcia je spojitá v každom bode uzavretom intervale a je presvedčený, že obraz "a" a "b" (podľa funkcie) majú opačné znamienka, potom bude aspoň jeden bod " c "v otvorenom intervale (a, b) takým spôsobom, že funkcia vyhodnotená v" c "bude rovná 0.
Túto vetu vyniesol filozof, teológ a matematik Bernard Bolzano v roku 1850. Tento vedec, narodený v súčasnej Českej republike, bol jedným z prvých matematikov v histórii, ktorý formálne dokázal vlastnosti spojitých funkcií.
vysvetlenie
Bolzanova veta je známa aj ako veta stredných hodnôt, ktorá pomáha pri určovaní konkrétnych hodnôt, najmä núl, určitých skutočných funkcií reálnej premennej.
V danej funkcii f (x) pokračuje - to znamená, že f (a) a f (b) sú spojené krivkou -, kde f (a) je pod osou x (je záporná) a f (b) pomocou nad osou x (je kladná) alebo naopak, graficky bude medzný bod na osi x, ktorý bude predstavovať strednú hodnotu „c“, ktorá bude medzi „a“ a „b“, a hodnotu f (c) sa bude rovnať 0.
Pri grafickej analýze Bolzanovej vety je zrejmé, že pre každú spojitú funkciu f definovanú v intervale, kde f (a) * f (b) je menšia ako 0, bude v rámci tejto funkcie existovať najmenej jeden koreň „c“ tejto funkcie intervalu (a, b).
Táto veta nestanovuje počet bodov v tomto otvorenom intervale, iba uvádza, že je najmenej 1 bod.
demonštrácie
Aby sa dokázala Bolzanoova veta, predpokladá sa, že f (a) <0 a f (b)> 0 bez straty všeobecnosti; teda môže existovať veľa hodnôt medzi „a“ a „b“, pre ktoré f (x) = 0, ale musí byť uvedená iba jedna.
Začneme vyhodnotením f v strede (a + b) / 2. Ak f ((a + b) / 2) = 0, potom tu končí dôkaz; inak je f ((a + b) / 2) kladné alebo záporné.
Jedna z polovíc intervalu je vybraná tak, že znaky funkcie vyhodnotenej pri extrémoch sú rôzne. Tento nový interval bude.
Teraz, ak f vyhodnotené v strede nie je nula, potom sa uskutoční rovnaká operácia ako predtým; to znamená, že je vybraná jedna polovica tohto intervalu, ktorá spĺňa stav označení. Nech je to nový interval.
Ak budete pokračovať v tomto procese, budete mať dve sekvencie {an} a {bn}, napríklad:
{an} sa zvyšuje a {bn} sa znižuje:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ a ≤…. ≤ …. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Ak vypočítate dĺžku každého intervalu, budete musieť:
bl-al = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
….
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
Preto je limit, keď sa n blíži k nekonečnu (bn-an), rovný 0.
Pomocou toho, že {an} sa zvyšuje a ohraničuje a {bn} klesá a ohraničuje, máme, že existuje hodnota «c» taká, že:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ a ≤…. <c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Limit an je „c“ a limit {bn} je tiež „c“. Preto, vzhľadom na akékoľvek δ> 0, vždy existuje „n“, takže interval je obsiahnutý v intervale (c-δ, c + δ).
Teraz sa musí preukázať, že f (c) = 0.
Ak je f (c)> 0, potom, keď je f kontinuálne, existuje ε> 0 tak, že f je kladné počas celého intervalu (c - ε, c + ε). Ako je však uvedené vyššie, existuje hodnota „n“ taká, že f sa zmení prihlásenie a navyše je obsiahnutá v (c - ε, c + ε), čo je protirečenie.
Ak f (c) <0, potom keďže f je spojité, existuje ε> 0 tak, že f je v celom intervale záporné (c - ε, c + ε); ale existuje hodnota „n“ taká, že f sa zmení. Ukazuje sa, že je obsiahnutý v (c - ε, c + ε), čo je tiež rozpor.
Preto f (c) = 0 a to sme chceli dokázať.
Načo to je?
Z jeho grafického výkladu sa Bolzanoho teoréma používa na nájdenie koreňov alebo núl v spojitej funkcii, cez bisekciu (aproximáciu), čo je metóda postupného vyhľadávania, ktorá vždy delí intervaly 2.
Potom sa urobí interval alebo keď dôjde k zmene znamienka a proces sa opakuje, až kým nie je interval menší a menší, aby bolo možné priblížiť sa k požadovanej hodnote; to znamená, že hodnota robí 0.
Stručne povedané, na uplatnenie Bolzanovej vety, a teda na nájdenie koreňov, obmedzenie núl funkcie alebo poskytnutie riešenia rovnice, sa vykonávajú tieto kroky:
- Overuje sa, či je f spojitá funkcia intervalu.
- Ak nie je uvedený interval, musí sa nájsť, kde je funkcia nepretržitá.
- Je overené, či extrémy intervalu dávajú opačné znaky, keď sa hodnotia v bode f.
- Ak sa nezískajú opačné znaky, interval sa musí rozdeliť na dva podintervaly pomocou stredu.
- Vyhodnotiť funkciu v strede a overiť, či bola splnená hypotéza Bolzana, kde f (a) * f (b) <0.
- V závislosti od znamienka (kladného alebo záporného) nájdenej hodnoty sa postup opakuje s novým podintervalom, kým sa nespĺňa uvedená hypotéza.
Riešené cvičenia
Cvičenie 1
Určite, či funkcia f (x) = x 2 - 2 má v intervale aspoň jedno skutočné riešenie.
Riešenie
Máme funkciu f (x) = x 2 - 2. Pretože je polynóm, znamená to, že je spojitá v akomkoľvek intervale.
Je potrebné zistiť, či má v intervale skutočné riešenie, takže teraz je potrebné len nahradiť extrémy intervalu vo funkcii, aby sme poznali svoje znamenie a vedeli, či spĺňajú podmienku odlišnosti:
f (x) = x 2 - 2
f (1) = 1 2 - 2 = -1 (záporné)
f (2) = 2 2 - 2 = 2 (pozitívne)
Preto znamienko f (1) ≠ znamienko f (2).
To zaisťuje, že existuje najmenej jeden bod „c“, ktorý patrí do intervalu, v ktorom f (c) = 0.
V tomto prípade možno hodnotu „c“ ľahko vypočítať takto:
x 2 - 2 = 0
x = ± -2.
Teda √2 ≈ 1,4 patrí do intervalu a spĺňa, že f (√2) = 0.
Cvičenie 2
Ukážte, že rovnica x 5 + x + 1 = 0 má aspoň jedno skutočné riešenie.
Riešenie
Najprv povedzme, že f (x) = x 5 + x + 1 je polynomická funkcia, čo znamená, že je spojitá na všetkých reálnych číslach.
V tomto prípade nie je uvedený žiadny interval, takže hodnoty sa musia vyberať intuitívne, pokiaľ možno blízko 0, aby sa vyhodnotila funkcia a našli zmeny znamienka:
Ak použijete interval, musíte:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (0) = 0,5 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 15 + 1 + 1 = 3> 0.
Pretože nedochádza k žiadnej zmene znamienka, proces sa opakuje s ďalším intervalom.
Ak použijete interval, musíte:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 0,5 + 0 + 1 = 1> 0.
V tomto intervale dôjde k zmene znamienka: znamienka f (-1) ≠ znamienka f (0), čo znamená, že funkcia f (x) = x 5 + x + 1 má aspoň jeden skutočný koreň «c» v intervale tak, že f (c) = 0. Inými slovami, je pravda, že x 5 + x + 1 = 0 má skutočné riešenie v intervale.
Referencie
- Bronshtein I, SK (1988). Manuál matematiky pre inžinierov a študentov. , Redakčné MIR.
- George, A. (1994). Matematika a myseľ. Oxford University Press.
- Ilín V, PE (1991). Matematická analýza. V troch zväzkoch. ,
- Jesús Gómez, FG (2003). Učitelia stredoškolského vzdelávania. Zväzok II. ŠIALENÝ.
- Mateos, ML (2013). Základné vlastnosti analýzy v R. Editores, 20. decembra.
- Piskunov, N. (1980). Diferenciálny a integrálny počet. ,
- Sydsaeter K, HP (2005). Matematika pre ekonomickú analýzu. Felix Varela.
- William H. Barker, RH (nd). Nepretržitá symetria: od Euklidu po Kleina. American Mathematical Soc.