VÝKONOVÉ RADY: PRÍKLADY A CVIČENIA - MATEMATIKA - 2024

Sila séria sa skladá z súčtu podmienok vo forme právomocí premennej x, alebo všeobecnejšie XC, kde c je konštanta reálne číslo. V zápise sčítania je rad právomocí vyjadrený takto:

Ak sú koeficienty a _o , a ₁ , a ₂ … reálne čísla a séria začína na n = 0.

Obrázok 1. Definícia výkonového radu. Zdroj: F. Zapata.

Táto séria je zameraná na konštantnú hodnotu c, ale môžete si vybrať, že c sa rovná 0, v takom prípade sa výkonový rad zjednoduší na:

Séria začína znakom a _alebo (xc) ⁰ a a _alebo x ⁰ . Ale my vieme, že:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Preto _o (XC) ⁰ = a _alebo x ⁰ = a _o (nezávisle termín)

Dobrá vec na výkonových radoch je, že funkcie je možné s nimi vyjadriť, a to má mnoho výhod, najmä ak chcete pracovať s komplikovanou funkciou.

Ak je to tak, namiesto priameho použitia funkcie použite rozšírenie výkonových radov, ktoré možno ľahšie odvodiť, integrovať alebo pracovať číselne.

Všetko je samozrejme podmienené zbližovaním série. Séria sa zbližuje, keď pridaním určitého počtu výrazov získate pevnú hodnotu. A ak ešte pridáme ďalšie podmienky, získame túto hodnotu.

Funkcie ako výkonové rady

Ako príklad funkcie vyjadrenej ako mocninový rad vezmeme f (x) = e ^x .

Táto funkcia sa dá vyjadriť ako súbor právomocí takto:

a ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (x ³ /3!) + (x ⁴ /4!) + (x ⁵ /5!) + …

Kde! = n. (N-1). (N-2). (n-3)… a trvá 0! = 1.

Hodláme skontrolovať pomocou kalkulačky, či sa séria skutočne zhoduje s výslovne uvedenou funkciou. Napríklad začnime tým, že x = 0.

Vieme, že e ⁰ = 1. Pozrime sa, čo séria robí:

a ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5!) + … = 1

A teraz skúsme x = 1. Kalkulačka vráti e ¹ = 2,71828 a potom sa porovnáme so sériou:

a ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5!) + … = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167

Len s piatimi podmienkami už máme presnú zhodu v e ≈ 2,71. Naša séria má ešte o niečo viac, ale keď sa pridajú ďalšie podmienky, séria sa určite zbližuje s presnou hodnotou e. Reprezentácia je presná, keď n → ∞.

Ak sa predchádzajúca analýza opakuje pre n = 2, získajú sa veľmi podobné výsledky.

Týmto spôsobom sme si istí, že exponenciálna funkcia f (x) = e ^x môže byť reprezentovaná touto radou mocností:

Obrázok 2. V tejto animácii vidíme, ako sa výkonové rady priblíži k exponenciálnej funkcii, keď sa vezmú ďalšie termíny. Zdroj: Wikimedia Commons.

Geometrická séria síl

Funkcia f (x) = e ^x nie je jedinou funkciou, ktorá podporuje znázornenie výkonových radov. Napríklad funkcia f (x) = 1/1 - x vyzerá podobne ako dobre známe konvergentné geometrické rady:

Stačí urobiť a = 1 a r = x, aby sme získali sériu vhodnú pre túto funkciu, ktorá je centrovaná na c = 0:

Je však známe, že táto séria je konvergentná pre │r│ <1, preto je reprezentácia platná iba v intervale (-1,1), hoci funkcia je platná pre všetky x, s výnimkou x = 1.

Ak chcete definovať túto funkciu v inom rozsahu, jednoducho sa zamerajte na vhodnú hodnotu a ste hotoví.

Ako nájsť sériové rozšírenie právomocí funkcie

Akákoľvek funkcia môže byť vyvinutá v sérii moci zameranej na c, pokiaľ má deriváty všetkých objednávok na x = c. Postup využíva nasledujúcu vetu nazývanú Taylorova veta:

Nech f (x) je funkcia s derivátmi poriadku n, označenými ako f ⁽ⁿ⁾ , ktorá pripúšťa sériové rozšírenie právomocí v intervale I. Jeho sériový vývoj Taylora je:

Takže:

Kde R _n , ktoré je deviatym rokom série, sa nazýva zvyšok:

Ak je c = 0, séria sa nazýva Maclaurinová séria.

Táto séria, ktorá je tu uvedená, je totožná so sériami uvedenými na začiatku, až teraz máme spôsob, ako explicitne nájsť koeficienty každého termínu, dané:

Musíme však zabezpečiť, aby sa séria zblížila s funkciou, ktorá má byť zastúpená. Stáva sa, že nie každá Taylorova séria nevyhnutne konverguje k f (x), ktoré sa malo zohľadniť pri výpočte koeficientov na _n .

To sa deje preto, že možno deriváty funkcie, hodnotené pri x = c, sa zhodujú s rovnakou hodnotou derivátov inej, tiež pri x = c. V tomto prípade by koeficienty boli rovnaké, ale vývoj by bol nejednoznačný, pretože nie je jasné, ktorej funkcii zodpovedá.

Našťastie existuje spôsob, ako to zistiť:

Konvergenčné kritérium

Aby sa predišlo nejasnostiam, ak R _n → 0 ako n → ∞ pre všetky x v intervale I, séria konverguje na f (x).

cvičenie

- Cvičenie vyriešené 1

Nájdite geometrický výkonový rad pre funkciu f (x) = 1/2 - x vycentrované na c = 0.

Riešenie

Daná funkcia musí byť vyjadrená tak, aby sa čo najviac zhodovala s 1 / 1- x, ktorého séria je známa. Prepíšme čitateľa a menovateľa bez zmeny pôvodného výrazu:

1/2 - x = (1/2) /

Pretože ½ je konštantná, vychádza zo súčtu a je napísaná ako nová premenná x / 2:

Všimnite si, že x = 2 nepatrí do oblasti funkcie a podľa kritéria konvergencie uvedeného v časti Geometrické energetické rady je expanzia platná pre │x / 2│ <1 alebo ekvivalentne -2 <x <2.

- Cvičenie vyriešené 2

Nájdite prvých 5 výrazov rozšírenia funkcie Maclaurinovej funkcie f (x) = sin x.

Riešenie

Krok 1

Najprv sú to deriváty:

-Derivát poriadku 0: je to rovnaká funkcia f (x) = sin x

-Prvé derivácie: (sin x) ´ = cos x

- Druhá derivácia: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

- Tretí derivát: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

- Štvrtá derivácia: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Krok 2

Potom je každý derivát vyhodnotený pri x = c, rovnako ako expanzia maklaurínu, c = 0:

hriech 0 = 0; cos 0 = 1; - hriech 0 = 0; -coo = = 1; hriech 0 = 0

Krok 3

_{Sú zostrojené} koeficienty a _n ;

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3!; a ₄ = 0/4! = 0

Krok 4

Nakoniec je séria zostavená podľa:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0. x ² - (1/3!) x ³ + 0,x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

Potrebuje čitateľ viac pojmov? O koľko viac je séria bližšie k funkcii.

Všimnite si, že existuje koeficient v koeficientoch, nasledujúci nenulový člen je ₅ a všetky tie, ktoré majú nepárny index, sa tiež líšia od 0, pričom sa striedajú značky, takže:

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Ako kontrola sa skontroluje, či sa konvergenčné kritérium môže použiť ako kvocientové kritérium.

Referencie

1. Nadácia CK-12. Power Series: reprezentácia funkcií a operácií. Obnovené z: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Integrálny počet. Národná univerzita v Litorale.
3. Larson, R. 2010. Výpočet premennej. 9 .. Vydanie. McGraw Hill.
4. Matematické texty zadarmo. Výkonové rady. Obnovené z: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Výkonové rady. Obnovené z: es.wikipedia.org.