SARRUSOVO PRAVIDLO: Z ČOHO POZOSTÁVA A DRUHY DETERMINANTOV - KULTÚRNY SLOVNÍK - 2026

Na výpočet výsledku 3 × 3 determinantov sa používa pravidlo Sarrus . Tieto sa používajú na riešenie lineárnych rovníc a zisťovanie, či sú kompatibilné.

Kompatibilné systémy uľahčujú získanie riešenia. Používajú sa tiež na určenie, či sú súbory vektorov lineárne nezávislé a tvoria základ vektorového priestoru.

Tieto aplikácie sú založené na invertibilite matíc. Ak je matica pravidelná, jej determinant sa líši od 0. Ak je singulárna, jej determinant sa rovná 0. Determinanty sa dajú vypočítať iba v štvorcových maticiach.

Na výpočet matíc ľubovoľného rádu sa môže použiť Laplaceova veta. Táto veta nám umožňuje zjednodušiť matice vysokých dimenzií v súčtoch malých determinantov, ktoré rozložíme z hlavnej matice.

Uvádza sa v ňom, že determinant matice sa rovná súčtu produktov každého riadku alebo stĺpca, násobok determinantu jej susednej matice.

To redukuje determinanty tak, že determinant stupňa n sa stáva n determinantami n-1. Ak použijeme toto pravidlo postupne, môžeme získať determinanty rozmeru 2 (2 × 2) alebo 3 (3 × 3), kde je jeho výpočet oveľa jednoduchší.

Sarrusova vláda

Pierre Frederic Sarrus bol francúzsky matematik 19. storočia. Väčšina jeho matematických pojednaní je založená na metódach riešenia rovníc a na počte variácií v rámci numerických rovníc.

V jednom zo svojich pojednaní vyriešil jednu z najkomplexnejších hádaniek v mechanike. Na vyriešenie problémov s kĺbovými dielmi zaviedla Sarrus transformáciu alternatívnych priamočiarych pohybov rovnomernými kruhovými pohybmi. Tento nový systém sa nazýva Sarrusov mechanizmus.

Výskum, ktorý dal tomuto matematikovi najviac slávy, bol v tom, že predstavil novú metódu výpočtu determinantov v článku „Nová metóda riešenia rovníc“, ktorá bola uverejnená v rok 1833. Tento spôsob riešenia lineárnych rovníc sa nazýva Sarrusovo pravidlo.

Sarrusovo pravidlo umožňuje vypočítať determinant matice 3 × 3 bez toho, aby bolo potrebné používať Laplaceovu teóriu, čím sa zavádza omnoho jednoduchšia a intuitívnejšia metóda. Aby sme skontrolovali hodnotu Sarrusovho pravidla, berieme akúkoľvek maticu dimenzie 3:

Výpočet jej determinantu by sa mal vykonať pomocou súčtu jeho hlavných uhlopriečok, odčítaním súčinu inverzných uhlopriečok. Bolo by to takto:

Sarrusovo pravidlo nám umožňuje získať oveľa jednoduchší výhľad pri výpočte uhlopriečok determinantu. Zjednodušilo by sa to pridaním prvých dvoch stĺpcov k zadnej časti matice. Týmto spôsobom je zreteľnejšie vidieť, ktoré sú jeho hlavné uhlopriečky a ktoré sú inverzné pre výpočet produktu.

Na tomto obrázku vidíme aplikáciu Sarrusovho pravidla, riadok 1 a 2 zahrnujeme pod grafické znázornenie počiatočnej matice. Týmto spôsobom sú hlavné uhlopriečky tri uhlopriečky, ktoré sa objavia ako prvé.

Tri zadné uhlopriečky sú zase tie, ktoré sa objavujú ako prvé vzadu.

Týmto spôsobom sa diagonály javia vizuálnejším spôsobom bez komplikovania rozlíšenia determinantu a snažia sa zistiť, ktoré prvky matice patria do každej diagonály.

Ako sa zobrazuje na obrázku, vyberieme uhlopriečky a vypočítame výsledný produkt každej funkcie. Diagonály, ktoré sa objavujú modrou farbou, sa sčítajú. K súčtu týchto hodnôt odpočítame hodnotu uhlopriečok, ktoré sa zobrazujú červenou farbou.

Na uľahčenie kompresie môžeme použiť numerický príklad namiesto použitia algebraických výrazov a subteriem.

Ak vezmeme napríklad maticu 3 × 3, napríklad:

Aby sme aplikovali Sarrusovo pravidlo a vyriešili ho vizuálnejším spôsobom, mali by sme zahrnúť riadok 1 a 2 ako riadok 4 a 5. Je dôležité udržiavať riadok 1 na 4. pozícii a riadok 2 na piatej pozícii. Ak ich vymeníme, Sarrusovské pravidlo nebude účinné.

Na výpočet determinantu by naša matica bola takáto:

Aby sme mohli pokračovať vo výpočte, vynásobíme prvky hlavných uhlopriečok. Potomkovia začínajúci zľava budú mať pozitívne znamenie; zatiaľ čo inverzné uhlopriečky, ktoré začínajú sprava, majú negatívny znak.

V tomto príklade by modré znamenalo pozitívne znamenie a červené s negatívnym znamením. Konečný výpočet Sarrusovho pravidla bude vyzerať takto:

Druhy determinantov

Determinant rozmeru 1

Ak je rozmer matice 1, matica vyzerá takto: A = (a)

Jej určujúcim činiteľom by preto bolo: det (A) = -A- = a

V súhrne je determinant matice A rovný absolútnej hodnote matice A, ktorá je v tomto prípade a.

Determinant rozmeru 2

Ak prejdeme na matice dimenzie 2, dostaneme matice typu:

Ak je jej determinant definovaný ako:

Rozlíšenie tohto determinantu je založené na znásobení jeho hlavnej diagonály, odčítania súčinu jeho inverznej diagonály.

Ako mnemotechniku ​​si môžeme pomocou nasledujúceho diagramu pamätať na jej determinant:

Determinant rozmeru 3

Ak je rozmer matice 3, výsledná matica by bola tohto typu:

Determinant tejto matice by sa vyriešil pomocou Sarrusovho pravidla takto:

Referencie

1. Jenny Olive (1998) Maths: Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
2. Richard J. Brown (2012) 30-sekundová matematika: 50 najrozšírenejších teórií rozširujúcich myseľ v matematike. Ivy Press Limited.
3. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
4. Awol Assen (2013) Štúdia o výpočte determinantov matice 3 × 3. Lap Lambert Academic Publishing.
5. Anthony Nicolaides (1994) Determinanty a matice. Pass publikácie.
6. Jesse Russell (2012) Rule of Sarrus.
7. M. Casteleiro Villalba (2004) Úvod do lineárnej algebry. ESIC Editorial.