CELÉ ČÍSLA: VLASTNOSTI, PRÍKLADY, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Na celé čísla predstavujú sadu užitočných čísel počítať objekty kompletnú majetných a nemajú. Tiež sa počíta tých, ktorí sú na jednej strane a na druhej strane určitého referenčného miesta.

S celými číslami môžete tiež odpočítať alebo rozdiel medzi číslom a iným číslom väčším ako je výsledok, napríklad výsledok sa vyrovná ako dlh. Rozdiel medzi príjmami a dlhmi sa rozlišuje znakmi + a -.

Obrázok 1. Číselný riadok pre celé čísla. Zdroj: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Sada celých čísel preto obsahuje:

-Pozitívne celé čísla, ktoré sú napísané pred znamienkom + alebo jednoducho bez znamienka, pretože sa tiež rozumie, že sú pozitívne. Napríklad: +1, +2, + 3 … atď.

- 0, v ktorom označenie nie je relevantné, pretože nezáleží na jeho pridaní, aby sa odpočítalo od určitého množstva. Ale 0 je veľmi dôležité, pretože je to odkaz na celé čísla: na jednej strane sú klady a iné zápory, ako vidíme na obrázku 1.

- Nepriame celé čísla, ktorým musí byť vždy napísané toto znamienko -, pretože u nich sa rozlišujú sumy, ako sú dlhy a všetky sumy, ktoré sú na druhej strane odkazu. Príklady negatívnych celých čísel sú: -1, -2, -3… a potom.

Ako sú zastúpené celé čísla?

Na začiatku reprezentujeme celé čísla so stanovenou notáciou: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, to znamená, zoznamy a organizovaný. Veľmi užitočným príkladom je však ten, ktorý používa číselný riadok. Vyžaduje si to nakreslenie čiary, ktorá je vo všeobecnosti vodorovná, na ktorej je 0 a je rozdelená do rovnakých častí:

Obrázok 2. Reprezentácia celých čísel na číselnom riadku. Od 0 doprava sú kladné celé čísla a od 0 doľava záporné čísla. Zdroj: F. Zapata.

Negatívy idú doľava od 0 a pozitívy idú doprava. Šípky na číselnom riadku symbolizujú, že čísla idú do nekonečna. Vzhľadom na akékoľvek celé číslo je vždy možné nájsť ten, ktorý je väčší alebo iný, ktorý je menší.

Absolútna hodnota celého čísla

Absolútna hodnota celého čísla je vzdialenosť medzi číslom a 0. A vzdialenosti sú vždy kladné. Preto absolútna hodnota záporného celého čísla je číslo bez znamienka mínus.

Napríklad absolútna hodnota -5 je 5. Absolútna hodnota je označená čiarami takto:

-5 = 5

Na vizualizáciu to spočítajte iba medzery na číselnom riadku od -5 do 0. Zatiaľ čo absolútna hodnota kladného celého čísla je rovnaké číslo, napríklad - + 3- = 3, pretože jeho vzdialenosť od 0 je s 3 medzerami:

Obrázok 3. Absolútna hodnota celého čísla je vždy kladné množstvo. Zdroj: F. Zapata.

vlastnosti

- Súbor celých čísel je označený ako Z a obsahuje množinu prirodzených čísel N, ktorých prvky sú nekonečné.

- Celé číslo a číslo, ktoré nasleduje (alebo číslo, ktoré mu predchádza) sú vždy rozlíšené jednotne. Napríklad po 5 príde 6, pričom 1 je rozdiel medzi nimi.

-Každé celé číslo má predchodcu a nástupcu.

- Každé kladné celé číslo je väčšie ako 0.

- Záporné celé číslo je vždy menšie ako 0 a akékoľvek kladné číslo. Zoberme si napríklad číslo -100, to je menej ako 2, ako 10 a ako 50. Ale je tiež nižšie ako -10, -20 a -99 a je vyššie ako -200.

- 0 nemá znamienkové úvahy, pretože nie je ani negatívne, ani pozitívne.

- S celými číslami môžete vykonávať rovnaké operácie, aké sa vykonávajú s prirodzenými číslami, konkrétne: sčítanie, odčítanie, násobenie, splnomocnenie a ďalšie.

- Celé číslo oproti určitému celému číslu x je –x a súčet celého čísla s jeho opakom je 0:

x + (-x) = 0.

Operácie s celými číslami

- Sum

- Ak majú čísla, ktoré sa majú pridať, rovnaké znamienko, pridajú sa ich absolútne hodnoty a výsledok sa umiestni so znamienkom, ktoré majú aditíva. Tu je niekoľko príkladov:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

- Ak čísla majú odlišné znamienko, absolútne hodnoty sa odpočítajú (najvyššia od najnižšej) a výsledok sa umiestni so znamienkom čísla s najvyššou absolútnou hodnotou takto:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Vlastnosti súčtu celých čísel

- Suma je komutatívna, preto poradie dodatkov ju nemení. Nech a a b sú dve celé čísla, je pravda, že a + b = b + a

- 0 je neutrálny prvok súčtu celých čísel: a + 0 = a

- Každé celé číslo pridané k jeho opaku je 0. Opak + a je –a a naopak opak –a je + a. Preto: (+ a) + (-a) = 0.

Obrázok 2. Pravidlo znakov na pridávanie celých čísel. Zdroj: Wikimedia Commons.

- Odčítanie

Na odčítanie celých čísel je potrebné sa riadiť týmto pravidlom: odčítanie je ekvivalentné sčítaním čísla jeho opakom. Nech a a b sú dve čísla, potom:

a - b = a + (-b)

Predpokladajme napríklad, že musíte vykonať nasledujúcu operáciu: (-3) - (+7), potom:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Násobenie

Násobenie celých čísel sa riadi určitými pravidlami pre značky:

- Produkt dvoch čísel s rovnakým znakom je vždy pozitívny.

- Ak sa vynásobia dve čísla s rôznymi znamienkami, výsledok je vždy negatívny.

- Hodnota produktu sa rovná vynásobeniu príslušných absolútnych hodnôt.

Okamžite niekoľko príkladov, ktoré objasňujú vyššie uvedené:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Vlastnosti množenia celých čísel

- Viacnásobné použitie je komutatívne. Nech a a b sú dve celé čísla, je pravda, že: ab = ba, ktoré možno vyjadriť aj ako:

- Neutrálny prvok násobenia je 1. Nech je a celé číslo, preto a.1 = 1

- Každé celé číslo vynásobené 0 sa rovná 0: a.0 = 0

Distribučná vlastnosť

Násobenie je v súlade s distribučnou vlastnosťou, čo sa týka pridávania. Ak a, b a c sú celé čísla, potom:

a. (b + c) = ab + ac

Tu je príklad, ako uplatniť túto vlastnosť:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3) .11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Empowerment

- Ak je základňa pozitívna, výsledok operácie je vždy pozitívny.

- Ak je báza negatívna, ak je exponent rovný, výsledok je pozitívny. a ak je exponent nepárny, výsledok je negatívny.

- Divízia

Rovnaké pravidlá označovania platia pri delení ako pri násobení:

- Ak rozdelíme dve celé čísla toho istého znamienka, výsledok je vždy pozitívny.

- Ak sú dve celé čísla s rôznymi znamienkami rozdelené, kvocient je záporný.

Napríklad:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Dôležité : delenie nie je komutatívne, inými slovami a ÷ b ≠ b ÷ a a vždy je delenie 0 zakázané.

- Posilnenie

Nech je a celé číslo a my ho chceme povýšiť na exponent n, potom musíme násobiť a sami n krát, ako je uvedené nižšie:

a ⁿ = aaaa ….. .a

Zvážte tiež nasledujúce skutočnosti, berúc do úvahy, že n je prirodzené číslo:

- Ak je a záporné a n je párne, výsledok je pozitívny.

- Ak je a záporné a n je nepárne, výsledkom je záporné číslo.

- Ak je a kladné a n je párne alebo nepárne, vždy sa získa kladné celé číslo.

- Každé celé číslo zvýšené na 0 sa rovná 1: ⁰ = 1

- Každé číslo zvýšené na 1 sa rovná číslu: a ¹ = a

Povedzme, že chceme nájsť (–3) ⁴ , aby sme tak násobili (-3) štyrikrát sami, takto: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Ďalším príkladom je tiež záporné celé číslo:

(-2) ³ = (-2). (-2). (-2) = -8

Výsledok právomocí rovnakej základne

Predpokladajme dve sily rovnakej bázy, ak ich vynásobíme, získame ďalšiu silu s rovnakou bázou, ktorej exponent je súčet daných exponentov:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Rovnaký základný výkon

Pri delení síl rovnakej bázy je výsledkom sila s rovnakou bázou, ktorej exponentom je odpočítanie daných exponentov:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Tu sú dva príklady, ktoré objasňujú tieto body:

(-2) ^3, (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Príklady

Pozrime sa na jednoduché príklady uplatňovania týchto pravidiel, nezabúdajte, že v prípade kladných celých čísel je možné upustiť od označenia:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = -16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8

Riešené cvičenia

- Cvičenie 1

Mravec sa pohybuje pozdĺž číselnej čiary na obrázku 1. Počnúc bodom x = +3 vykoná tieto pohyby:

-Meses 7 jednotiek napravo

- Teraz vrátite 5 jednotiek doľava

- Prejdite ďalšie 3 jednotky vľavo.

-Vráti sa a posunie 4 jednotky doprava.

V akom okamihu je mravec na konci turné?

Riešenie

Zavolajme vysídlenia D. Ak sú vpravo, dostanú kladné znamenie a keď sú vľavo záporné znamenie. Týmto spôsobom a od x = +3 máme:

-Prvé D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Sekunda D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Príloha D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Room D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Keď mravec dokončí chôdzu, je v polohe x = +6. To znamená, že je to 6 jednotiek napravo od 0 na číselnom riadku.

- Cvičenie 2

Vyriešte nasledujúcu operáciu:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Riešenie

Táto operácia obsahuje zoskupovacie znaky, ktorými sú zátvorky, hranaté zátvorky a zátvorky. Pri riešení musíte najskôr zátvorky, potom zátvorky a nakoniec zátvorky. Inými slovami, musíte pracovať zvnútra von.

V tomto cvičení bod predstavuje násobenie, ale ak niet bodu medzi číslom a zátvorkou alebo iným symbolom, rozumie sa to aj ako produkt.

Pod rozlíšením krok za krokom slúžia farby ako vodítko na sledovanie výsledku zúženia zátvoriek, ktoré sú najvnútornejšími zoskupovacími symbolmi:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} = =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1-4]} = {52}. {- 3} = -156

- Cvičenie 3

Vyriešte rovnicu prvého stupňa:

12 + x = 30 + 3x

Riešenie

Termíny sú zoskupené s neznámym vľavo od rovnosti a číselné termíny vpravo:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Referencie

1. Carena, M. 2019. Preduniverzitná matematická príručka. Národná univerzita v Litorale.
2. Figuera, J. 2000. 7. stupeň matematiky. Vydania CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Výber tém z matematiky. Publikácie Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Celé čísla. Získané z: Cimanet.uoc.edu.