REÁLNE ČÍSLA: HISTÓRIA, PRÍKLADY, VLASTNOSTI, OPERÁCIE - MATEMATIKA - 2026

Na reálnych čísel tvoria číselný rad, ktorá obsahuje prirodzené čísla, celé čísla, racionálne a iracionálne. Označujú sa symbolom ℝ alebo jednoducho R a ich rozsah vo vede, technike a ekonómii je taký, že keď hovoríme o „čísle“, je takmer samozrejmé, že ide o skutočné číslo.

Skutočné čísla sa používajú už od pradávna, hoci ich meno nebolo uvedené. Od doby, keď Pythagoras vyvinul svoju slávnu vetu, vynorili sa čísla, ktoré nebolo možné získať ako kvocienty prirodzených čísel alebo celých čísel.

Obrázok 1. Venn diagram znázorňujúci, ako množina reálnych čísel obsahuje ostatné množiny čísel. Zdroj> Wikimedia Commons.

Príklady čísel sú √2, √3 a π. Tieto čísla sa nazývajú iracionálne, na rozdiel od racionálnych čísel, ktoré pochádzajú z kvocientov celých čísel. Bolo preto potrebné číselnú množinu, ktorá zahŕňa obidve triedy čísel.

Termín „skutočné číslo“ bol vytvorený veľkým matematikom René Descartesom (1596 - 1650), aby sa rozlíšili dva druhy koreňov, ktoré môžu vyplynúť z riešenia polynómovej rovnice.

Niektoré z týchto koreňov môžu byť dokonca koreňmi záporných čísel, Descartes ich nazval „imaginárnymi číslami“ a tie, ktoré neboli, boli skutočnými číslami.

Názov v priebehu času pretrvával, čo viedlo k vzniku dvoch veľkých číselných množín: reálnych čísel a komplexných čísel, väčšieho súboru, ktorý obsahuje reálne čísla, imaginárnych čísel a tých, ktoré sú čiastočne reálne a čiastočne imaginárne.

Vývoj reálnych čísel pokračoval až do roku 1872, matematik Richard Dedekind (1831-1936) formálne definoval množinu reálnych čísel pomocou tzv. Syntéza jeho práce bola publikovaná v článku, ktorý videl svetlo toho istého roku.

Príklady reálnych čísel

V nasledujúcej tabuľke sú uvedené príklady skutočných čísel. Táto množina má ako podmnožiny prirodzené čísla, celé čísla, racionálne a iracionálne. Akýkoľvek počet týchto súborov je sám o sebe skutočné číslo.

Preto 0, zápory, klady, zlomky a desatinné čísla sú skutočné čísla.

Obrázok 2. Príklady reálnych čísel sú prirodzené, celé číslo, racionálne, iracionálne a transcendentné. Zdroj: F. Zapata.

Reprezentácia reálnych čísel v reálnom riadku

Reálne čísla môžu byť znázornené na reálnej línii R , ako je to znázornené na obrázku. Nie je potrebné, aby 0 bolo vždy prítomné, je však vhodné vedieť, že negatívne skutočnosti sú vľavo a pozitívne vpravo. Preto je to vynikajúci referenčný bod.

Na skutočnom riadku sa urobí stupnica, v ktorej sa nachádzajú celé čísla:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. Šípka označuje, že sa linka rozširuje do nekonečna. To však nie je všetko, v každom uvažovanom intervale vždy nájdeme nekonečné skutočné čísla.

Reálne čísla sú zobrazené v poradí. Na začiatku je poradie celých čísel, v ktorých sú kladné hodnoty vždy väčšie ako 0, zatiaľ čo záporné hodnoty sú menšie.

Táto objednávka je v reálnych číslach. Ako príklad sú uvedené tieto nerovnosti:

a) -1/2 <-2

b) e <π

c) π> -1/2

Obrázok 3. - Skutočná čiara. Zdroj: Wikimedia Commons.

Vlastnosti reálnych čísel

-Realistické čísla zahŕňajú prirodzené čísla, celé čísla, racionálne čísla a iracionálne čísla.

- Komutatívna vlastnosť sčítania je splnená: poradie dodatkov nemení sumu. Ak a a b sú dve skutočné čísla, je vždy pravda, že:

a + b = b + a

- 0 je neutrálny prvok súčtu: a + 0 = a

- Za sumu, ktorú je asociatívny majetok splnený. Ak a, b a c sú skutočné čísla: (a + b) + c = a + (b + c).

- Opak oproti skutočnému číslu je -a.

- Odčítanie sa definuje ako súčet opaku: a - b = a + (-b).

- Komutatívna vlastnosť výrobku je splnená: poradie faktorov nemení produkt: ab = ba

- Vo výrobku sa použije asociatívna vlastnosť: (ab) .c = a. (Bc)

- 1 je neutrálny prvok násobenia: a.1 = a

- Distribučná vlastnosť násobenia je platná s ohľadom na sčítanie: a. (b + c) = ab + ac

- Rozlíšenie 0 nie je definované.

-Každé skutočné číslo a, s výnimkou 0, má multiplikatívnu inverziu ^-1 , takže aa ^-1 = 1.

-Ak je skutočné číslo: ⁰ = 1 a ¹ = a.

- Absolútna hodnota alebo modul reálneho čísla je vzdialenosť medzi uvedeným číslom a 0.

Operácie so skutočnými číslami

So skutočnými číslami môžete vykonávať operácie, ktoré sa vykonávajú s ostatnými množinami čísel, vrátane sčítania, odčítania, násobenia, delenia, oprávnenia, radiácie, logaritmov a ďalších.

Ako vždy, delenie 0 nie je definované, nie sú ani záporné logaritmy čísiel ani 0, hoci je pravda, že log 1 = 0 a logaritmy čísel medzi 0 a 1 sú záporné.

aplikácia

Aplikácia reálnych čísel na všetky druhy situácií je veľmi rôznorodá. Reálne čísla sa objavujú ako odpovede na mnohé problémy v oblasti presnej vedy, informatiky, strojárstva, ekonómie a spoločenských vied.

Všetky druhy veľkostí a veličín, ako sú vzdialenosti, časy, sily, intenzita zvuku, peniaze a mnoho ďalších, sa vyjadrujú v reálnych číslach.

Prenos telefónnych signálov, obrazu a zvuku videa, teploty klimatizačného zariadenia, ohrievača alebo chladničky je možné regulovať digitálne, čo znamená transformáciu fyzikálnych veličín na numerické sekvencie.

To isté sa stane pri uskutočňovaní bankových transakcií cez internet alebo pri konzultácii okamžitých správ. Skutočné čísla sú všade.

Cvičenie bolo vyriešené

Na cvičeniach sa pozrieme, ako tieto čísla fungujú v bežných situáciách, s ktorými sa stretávame každý deň.

Cvičenie 1

Pošta akceptuje iba zásielky, ktorých dĺžka plus meranie obvodu nepresahuje 108 palcov. Preto, aby sa zobrazený balík prijal, musí sa splniť, že:

L + 2 (x + y) <108

a) Dokáže to balík, ktorý je široký 6 palcov, vysoký 8 palcov a 5 metrov?

b) A čo ten, ktorý meria 2 x 2 x 4 ft ³ ?

c) Aká je najvyššia prijateľná výška balenia, ktorého základňa je štvorcová a má rozmery 9 x 9 palcov ² ?

Odpoveď na

L = 5 stôp = 60 palcov

x = 6 palcov

y = 8 palcov

Riešením je:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) palcov = 60 + 2 x 14 palcov = 60 + 28 palcov = 88 palcov

Balík je prijatý.

Odpoveď b

Rozmery tohto paketu sú menšie ako paket a), takže ho obe prechádzajú.

Odpoveď c

V tomto balíku:

x = L = 9 palcov

Je potrebné poznamenať, že:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2r <108

2y ≤ 81

a ≤ 40,5 palca

Referencie

1. Carena, M. 2019. Preduniverzitná matematická príručka. Národná univerzita v Litorale.
2. Diego, A. Reálne čísla a ich vlastnosti. Obnovené z: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 9.. Stupeň. Vydania CO-BO.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 .. Vydanie. Cengage Learning.