- Pozoruhodné výrobky a príklady
- Binomická druhá mocnina
- Produkt konjugovaných binomických materiálov
- Produkt z dvoch binomických materiálov s bežným názvom
- Štvorcový polynóm
- Binomické kocky
- Kocka trinomiálnej
- Riešené cvičenia významných výrobkov
- Cvičenie 1
- Riešenie
- Cvičenie 2
- Riešenie
- Referencie
Medzi významné produkty sú algebraické operácie, v ktorých sú vyjadrené násobenie polynómov, ktoré nepotrebujú byť vyriešený tradične, ale s pomocou určitých pravidiel je možné nájsť výsledky rovnaké.
Polynomy sa vynásobia áno, preto je možné, že majú veľké množstvo výrazov a premenných. Aby sa proces skrátil, používajú sa pozoruhodné pravidlá pre výrobky, ktoré umožňujú množenie bez toho, aby sa museli časovo obmedzovať.
Pozoruhodné výrobky a príklady
Každý pozoruhodný produkt je vzorec, ktorý je výsledkom faktorizácie pozostávajúcej z polynomov niekoľkých výrazov, ako sú binomické alebo trinomiálne látky, ktoré sa nazývajú faktory.
Faktory sú základom sily a majú exponentu. Ak sa faktory vynásobia, musia sa pridať exponenty.
Existuje niekoľko pozoruhodných vzorcov výrobkov, niektoré sa používajú viac ako iné, v závislosti od polynómov, a sú to tieto:
Binomická druhá mocnina
Ide o množenie binomického bodu vyjadreného ako mocnina, kde sa výrazy sčítavajú alebo odčítavajú:
k. Štvorcová súčet binomická: rovná sa štvorcu prvého funkčného obdobia plus dvojnásobok súčinu výrazov plus druhému štvorcu. Vyjadruje sa takto:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
Na nasledujúcom obrázku môžete vidieť, ako sa produkt vyvíja podľa vyššie uvedeného pravidla. Výsledok sa nazýva trojica dokonalého štvorca.
Príklad 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Príklad 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8AB) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .
b. Binomické kvadratické odpočítanie: platí rovnaké pravidlo pre binomické súčty, iba v tomto prípade je druhý člen negatívny. Jeho vzorec je nasledujúci:
(a - b) 2 = 2
(a - b) 2 = a2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(A - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 .
Príklad 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
Produkt konjugovaných binomických materiálov
Dva dvojhviezdy sú združené, keď majú druhé členy každého z nich rôzne príznaky, to znamená, že prvý je pozitívny a druhý negatívny alebo naopak. Vyrieši sa štvorcovaním každého monoméru a odpočítaním. Jeho vzorec je nasledujúci:
(a + b) * (a - b)
Na nasledujúcom obrázku je rozvinutý produkt dvoch konjugovaných binomómov, kde je pozorované, že výsledkom je rozdiel štvorcov.
Príklad 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2 )
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2 .
Produkt z dvoch binomických materiálov s bežným názvom
Je to jeden z najkomplexnejších a zriedka používaných pozoruhodných výrobkov, pretože je to násobok dvoch binárnych čísel, ktoré majú spoločný názov. Pravidlo uvádza toto:
- Štvorec spoločného termínu.
- Plus súčet podmienok, ktoré nie sú bežné, a potom ich vynásobte spoločným pojmom.
- Plus súčet násobku výrazov, ktoré nie sú bežné.
Je reprezentovaná vzorcom: (x + a) * (x + b) a je vyvinutá tak, ako je to znázornené na obrázku. Výsledkom je nie dokonalý štvorcový trojhran.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15 x + 54.
Existuje možnosť, že druhý člen (odlišný pojem) je negatívny a jeho vzorec je nasledujúci: (x + a) * (x - b).
Príklad 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
Môže sa tiež stať, že oba rozdielne pojmy sú negatívne. Jeho vzorec bude: (x - a) * (x - b).
Príklad 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30.
Štvorcový polynóm
V tomto prípade existujú viac ako dva termíny a na ich rozvinutie je každý z nich na druhú a je pridaný spolu s dvojnásobným násobením jedného termínu druhým; jej vzorec je: (a + b + c) 2 a výsledkom operácie je štvorcový trojuholník.
Príklad 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3 x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16Z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Binomické kocky
Je to pozoruhodne komplexný produkt. Na jej rozvinutie sa binomické číslo vynásobí svojím štvorcom takto:
k. Za binomické kocky zo sumy:
- Kocka prvého funkčného obdobia plus trojnásobok štvorca prvého funkčného obdobia druhýkrát.
- Plus trojnásobok prvého funkčného obdobia, druhýkrát na druhú.
- Plus kocka druhého funkčného obdobia.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2 )
(A + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + b a 2 + 2ab 2 + b 3
(A + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
Príklad 1
(a + 3) 3 = 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = 3 + 9 a 2 + 27a + 27.
b. Pre binomické kocky odčítané:
- Kocka prvého funkčného obdobia, mínus trikrát druhá mocnina prvého funkčného obdobia.
- Plus trojnásobok prvého funkčného obdobia, druhýkrát na druhú.
- Mínus kocka druhého funkčného obdobia.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(A - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2 )
(Ab) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(A - b) 3 = 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 .
Príklad 2
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(B - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
Kocka trinomiálnej
Vyvíja sa vynásobením jeho štvorcom. Je to veľmi rozsiahly produkt, ktorý je pozoruhodný, pretože máte 3 kubické výrazy plus trojnásobok každého pojmu na druhú, vynásobený každým z výrazov plus šesťnásobok súčin troch výrazov. Lepšie pri pohľade:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2 bc)
(A + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3 a 2 b + 3ab 2 + 3 a 2 c + 3AC 2 + 3b 2 c + 3BC 2 + 6abc.
Príklad 1
Riešené cvičenia významných výrobkov
Cvičenie 1
Rozviňte nasledujúce binomické kocky: (4x - 6) 3 .
Riešenie
Pamätajúc na to, že binomická kocka sa rovná prvému kubickému členu, mínus trikrát druhá mocnina druhého funkčného obdobia; plus trojnásobok prvého funkčného obdobia, krát druhý kvadrát, mínus kocka druhého funkčného obdobia.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2 ) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
Cvičenie 2
Rozviňte nasledujúce binomické: (x + 3) (x + 8).
Riešenie
Tam je binomické, kde je obyčajný termín, ktorý je x a druhý člen je pozitívny. Ak ju chcete rozvinúť, stačí zalomiť obyčajný pojem plus súčet výrazov, ktoré nie sú bežné (3 a 8), a potom ich vynásobiť spoločným pojmom plus súčet násobku výrazov, ktoré nie sú bežné.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11 x + 24.
Referencie
- Angel, AR (2007). Elementárna algebra. Pearson Education,.
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Education.
- Das, S. (nd). Maths Plus 8. Spojené kráľovstvo: Ratna Sagar.
- Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Elementárna a stredná algebra: kombinovaný prístup. Florida: Cengage Learning.
- Pérez, CD (2010). Pearson Education.