GAUSS-SEIDELOVA METÓDA: VYSVETLENIE, APLIKÁCIE, PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Gauss-Seidel metóda je iteratívny postup pre zistenie približné riešenie sústavy lineárnych rovníc s ľubovoľne zvolenú presnosťou. Metóda sa uplatňuje na štvorcové matice s nenulovými prvkami v ich uhlopriečkach a konvergencia je zaručená, ak je matica diagonálne dominantná.

Vytvoril ho Carl Friedrich Gauss (1777-1855), ktorý dal súkromnú demonštráciu jednému zo svojich študentov v roku 1823. Neskôr ho formálne uverejnil Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896) v roku 1874, odtiaľ názov oboch matematikov.

Obrázok 1. Gauss-Seidelova metóda sa rýchlo zbližuje, aby sa získalo riešenie systému rovníc. Zdroj: F. Zapata.

Pre úplné pochopenie metódy je potrebné vedieť, že matica je diagonálne dominantná, ak je absolútna hodnota diagonálneho prvku každého radu väčšia alebo rovná súčtu absolútnych hodnôt ostatných prvkov toho istého riadku.

Matematicky sa vyjadruje takto:

Vysvetlenie pomocou jednoduchého prípadu

Na ilustráciu toho, z čoho pozostáva Gaussova-Seidelova metóda, budeme vychádzať z jednoduchého prípadu, v ktorom hodnoty X a Y možno nájsť v nižšie uvedenom systéme 2 × 2 lineárnych rovníc:

5X + 2R = 1

X - 4R = 0

Kroky, ktoré treba sledovať

1 - Najprv je potrebné zistiť, či je konvergencia bezpečná. Okamžite sa zistilo, že v skutočnosti ide o diagonálne dominantný systém, pretože v prvom riadku má prvý koeficient vyššiu absolútnu hodnotu ako ostatné v prvom riadku:

-5 -> - 2-

Podobne je diagonálne dominantný aj druhý koeficient v druhom rade:

- 4 -> - 1-

2 - Premenné X a Y sú vymazané:

X = (1 - 2 roky) / 5

Y = X / 4

3 - Je vložená ľubovoľná počiatočná hodnota, nazývaná „zárodok“: Xo = 1, I = 2.

4 - Začne sa iterácia: na získanie prvej aproximácie X1, Y1 je semeno nahradené v prvej rovnici z kroku 2 a výsledok v druhej rovnici z kroku 2:

X1 = (1 - 2 I) / 5 = (1 - 2 x 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5 - Postupujeme podobným spôsobom, aby sme získali druhú aproximáciu riešenia systému rovníc:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6. Tretia iterácia:

X3 = (1 - 2 Y2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7. Štvrtá iterácia, ako posledná iterácia tohto názorného prípadu:

X4 = (1 - 2 Y3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

Tieto hodnoty celkom dobre súhlasia s riešením nájdeným inými metódami rozlíšenia. Čitateľ to môže rýchlo skontrolovať pomocou online matematického programu.

Analýza metódy

Ako je vidieť, v Gauss-Seidelovej metóde sa musia približné hodnoty získané pre predchádzajúcu premennú v tom istom kroku nahradiť nasledujúcou premennou. To ho odlišuje od iných iteračných metód, ako sú Jacobiho metódy, pri ktorých si každý krok vyžaduje aproximáciu predchádzajúcej fázy.

Metóda Gauss-Seidel nie je paralelný postup, zatiaľ čo metóda Gauss-Jordan je. Je to tiež dôvod, prečo má metóda Gauss-Seidel rýchlejšiu konvergenciu - v menších krokoch - ako metóda Jordánska.

Čo sa týka diagonálne dominantného stavu matice, nie je to vždy splnené. Avšak vo väčšine prípadov stačí výmena riadkov z pôvodného systému postačovať na splnenie podmienky. Okrem toho metóda takmer vždy konverguje, aj keď nie je splnená podmienka diagonálnej dominancie.

Predchádzajúci výsledok získaný štyrmi iteráciami Gauss-Seidelovej metódy možno zapísať v desiatkovej forme:

X4 = 0,1826

Y4 = 0,04565

Presné riešenie navrhovaného systému rovníc je:

X = 2/11 = 0,1818

Y = 1/22 = 0,04545.

Takže iba so 4 iteráciami získate výsledok s presnosťou na tisícinu (0,001).

Obrázok 1 zobrazuje, ako sa následné iterácie rýchlo zbližujú s presným riešením.

aplikácia

Metóda Gauss-Seidel nie je obmedzená iba na systém 2 × 2 lineárnych rovníc. Predchádzajúci postup možno zovšeobecniť na vyriešenie lineárneho systému n rovníc s n neznámymi, ktorý je zastúpený v matici takto:

A X = b

Kde A je matica nxn, zatiaľ čo X je zložka n vektorov n premenných, ktoré sa majú vypočítať; a b je vektor obsahujúci hodnoty nezávislých výrazov.

Na zovšeobecnenie postupnosti iterácií použitých v ilustratívnom prípade na systém nxn, z ktorého sa má vypočítať premenná Xi, sa použije tento vzorec:

V tejto rovnici:

- k je index hodnoty získanej pri iterácii k.

-k + 1 označuje nasledujúcu novú hodnotu.

Konečný počet iterácií sa stanoví, keď sa hodnota získaná pri iterácii k + 1 líši od hodnoty získanej bezprostredne pred tým, o hodnotu ε, ktorá je presne požadovaná presnosť.

Príklady metódy Gauss-Seidel

- Príklad 1

Napíšte všeobecný algoritmus, ktorý umožňuje vypočítať vektor približných riešení X lineárneho systému rovníc nxn, vzhľadom na maticu koeficientov A, vektor nezávislých výrazov b , počet iterácií (i ter) a počiatočnú hodnotu alebo „semeno“ "vektora X .

Riešenie

Algoritmus pozostáva z dvoch cyklov „To“, jeden pre počet iterácií a druhý pre počet premenných. Bolo by to takto:

Pre k ∊

Pre i ∊

X: = (1 / A) * (b - ∑ _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- Príklad 2

Skontrolujte fungovanie predchádzajúceho algoritmu prostredníctvom jeho aplikácie v bezplatnom a voľne použiteľnom matematickom softvéri SMath Studio, ktorý je k dispozícii pre Windows a Android. Vezmime ako príklad prípad matice 2 × 2, ktorá nám pomohla ilustrovať Gauss-Seidelovu metódu.

Riešenie

Obrázok 2. Riešenie systému rovníc príkladu 2 x 2 pomocou softvéru SMath Studio. Zdroj: F. Zapata.

- Príklad 3

Algoritmus Gauss-Seidel sa použije pre nasledujúci systém rovníc 3 × 3, ktorý bol predtým usporiadaný takým spôsobom, že koeficienty diagonály sú dominantné (tj. Majú väčšiu absolútnu hodnotu ako absolútne hodnoty koeficientov v rovnakom riadku):

9 X1 + 2 X2 - X3 = -2

7 X1 + 8 X2 + 5 X3 = 3

3 X1 + 4 X2 - 10 X3 = 6

Použite nulový vektor ako semeno a zvážte päť iterácií. Komentovať výsledok.

Riešenie

Obrázok 3. Riešenie systému rovníc vyriešeného príkladu 3 pomocou programu SMath Studio. Zdroj: F. Zapata.

Pre ten istý systém s 10 iteráciami namiesto 5 sa získajú nasledujúce výsledky: X1 = -0,485; X2 = 1,0123; X3 = -0,3406

To nám hovorí, že päť iterácií stačí na získanie troch desatinných miest s presnosťou a že metóda rýchlo konverguje k riešeniu.

- Príklad 4

Pomocou vyššie uvedeného algoritmu Gauss-Seidel nájdite riešenie systému rovníc 4 × 4 uvedených nižšie:

10 x 1 - x 2 + 2 x 3 + 0 x 4 = 6

-1 x 1 + 11 x 2 - 1 x 3 + 3 x 4 = 25

2 x 1 - 1 x 2 + 10 x 3 - 1 x 4 = -11

0 x 1 + 3 x 2 - 1 x 3 + 8 x 4 = 15

Na spustenie metódy použite toto semeno:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 a x4 = 0

Zvážte 10 iterácií a odhadnite chybu výsledku v porovnaní s iteračným číslom 11.

Riešenie

Obrázok 4. Riešenie systému rovníc vyriešeného príkladu 4 pomocou programu SMath Studio. Zdroj: F. Zapata.

Pri porovnaní s nasledujúcou iteráciou (číslo 11) je výsledok rovnaký. Najväčšie rozdiely medzi týmito dvoma iteráciami sú rádovo 2 x ^10-8 , čo znamená, že zobrazené riešenie má presnosť najmenej sedem desatinných miest.

Referencie

1. Metódy opakovaného riešenia. Gauss-Seidel. Získané z: cimat.mx
2. Numerické metódy. Gauss-Seidel. Získané z: test.cua.uam.mx
3. Numerické: Gauss-Seidelova metóda. Získané z: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. Wikipedia. Gauss-Seidelova metóda. Získané z: en. wikipedia.com
5. Wikipedia. Gauss-Seidelova metóda. Obnovené z: es.wikipedia.com