AXIOMATICKÁ METÓDA: CHARAKTERISTIKA, KROKY, PRÍKLADY - KULTÚRNY SLOVNÍK - 2026

Axiomatickú metóda alebo tiež volal axiomatickú je formálny postup používaný vedy, prostredníctvom ktorého uzávierka alebo problémy nazývané axiómy sú formulované, vzájomne spojené pomocou vzťahu prípustnosti a ktoré sú základom hypotéz alebo podmienok určitého systému.

Táto všeobecná definícia musí byť koncipovaná v rámci vývoja, ktorý táto metodika mala v histórii. Po prvé, existuje staroveká alebo obsahová metóda, ktorá sa narodila v starovekom Grécku z Euklidu a neskôr vyvinula Aristoteles.

Po druhé, už v 19. storočí, sa objavila geometria s odlišnými axiómami ako Euclid. A nakoniec formálna alebo moderná axiomatická metóda, ktorej najväčším exponentom bol David Hilbert.

Okrem vývoja v priebehu času bol tento postup základom deduktívnej metódy, ktorá sa používa v geometrii a logike, z ktorej pochádza. Používa sa tiež vo fyzike, chémii a biológii.

A uplatnil sa dokonca aj v právnej vede, sociológii a politickej ekonomike. V súčasnosti je však jej najdôležitejšou oblasťou aplikácie matematika a symbolická logika a niektoré odvetvia fyziky, medzi ktoré patria napríklad termodynamika, mechanika.

vlastnosti

Aj keď základnou charakteristikou tejto metódy je formulácia axiómov, nie vždy sa o nich uvažovalo rovnako.

Sú niektoré, ktoré je možné definovať a konštruovať ľubovoľným spôsobom. A iní podľa modelu, v ktorom sa intuitívne zvažuje jeho zaručená pravda.

Aby bolo možné konkrétne pochopiť, z čoho tento rozdiel a jeho dôsledky vyplývajú, je potrebné prejsť vývojom tejto metódy.

Staroveká alebo obsahová axiomatická metóda

Je sídlom v starovekom Grécku na konci 5. storočia pred Kristom. Jeho oblasťou použitia je geometria. Základnou prácou tejto fázy sú prvky Euklidov, hoci sa predpokladá, že pred ním už Pythagoras zrodil axiomatickú metódu.

Gréci teda berú určité fakty ako axiómy bez toho, aby vyžadovali akýkoľvek logický dôkaz, to znamená bez potreby dokazovania, pretože sú pre nich samozrejmou pravdou.

Euclid predstavuje pre geometriu päť axiómov:

1 - Vzhľadom na dva body je čiara, ktorá ich obsahuje alebo sa k nim pripojí.

2-Ktorýkoľvek segment môže byť nepretržite rozširovaný v neobmedzenej línii na oboch stranách.

3 - Môžete nakresliť kruh, ktorý má stred v ľubovoľnom bode a ľubovoľnom polomere.

4-Správne uhly sú rovnaké.

5 - Po priamke a bode, ktorý v nej nie je, je priamka rovnobežná s týmto bodom a obsahuje tento bod. Táto axióma sa neskôr nazýva axióma rovnobežiek a bola tiež vyjadrená ako: jedna rovnobežka môže byť nakreslená z bodu mimo priamky.

Euclid aj neskorší matematici sa však zhodujú v tom, že piata axióma nie je tak intuitívne jasná ako u ostatných 4. Dokonca aj počas renesancie sa usiluje odvodiť piatu z ostatných 4, ale nie je to možné.

To viedlo k tomu, že už v XIX. Storočí boli tí, ktorí udržiavali päť, v prospech euklidovskej geometrie a tí, ktorí popierali piate, boli tí, ktorí vytvorili neeuklidovské geometrie.

Neeuklidovská axiomatická metóda

Práve Nikolai Ivanovič Lobachevski, János Bolyai a Johann Karl Friedrich Gauss vidia možnosť skonštruovať bez rozporov geometriu, ktorá vychádza z iných systémov axiómov, ako sú systémy Euklidov. Toto ničí vieru v absolútnu pravdu alebo a priori axiómov a teórií, ktoré z nich vyplývajú.

V dôsledku toho sa axiómy začnú chápať ako východiskové body pre danú teóriu. Aj jeho výber, ako aj problém jeho platnosti v určitom zmysle, začínajú súvisieť so skutočnosťami mimo axiomatickej teórie.

Týmto spôsobom sa objavujú geometrické, algebraické a aritmetické teórie budované pomocou axiomatickej metódy.

Táto etapa kulminuje vytvorením axiomatických systémov pre aritmetiku ako Giuseppe Peano's v roku 1891; Geometria Davida Huberta v roku 1899; výroky a predikčné výpočty Alfreda Northa Whiteheada a Bertranda Russella v Anglicku v roku 1910; Axiomatická teória množín Ernsta Friedricha Ferdinanda Zermela v roku 1908.

Moderná alebo formálna axiomatická metóda

Je to David Hubert, kto iniciuje koncepciu formálnej axiomatickej metódy a vedie k jej vyvrcholeniu David Hilbert.

Je to práve Hilbert, ktorý formuje vedecký jazyk, pričom jeho výroky považuje za vzorce alebo sledy znakov, ktoré samy osebe nemajú žiadny význam. Zmysel získajú iba určitým výkladom.

V časti „Základy geometrie“ vysvetľuje prvý príklad tejto metodológie. Od tejto chvíle sa geometria stáva vedou čisto logických dôsledkov, ktoré sa získavajú zo systému hypotéz alebo axiómov, ktoré sú lepšie vyjadrené ako euklidovský systém.

Je to tak preto, že v starovekom systéme je axiomatická teória založená na dôkazoch axiómov. Kým v základoch formálnej teórie je daná demonštráciou toho, že jej axiómy nie sú v rozpore.

kroky

Postup, ktorý vykonáva axiomatické členenie vo vedeckých teóriách, uznáva:

a-výber určitého počtu axiómov, to znamená niekoľko návrhov určitej teórie, ktoré sú akceptované bez toho, aby bolo potrebné ich dokázať.

b-koncepty, ktoré sú súčasťou týchto návrhov, nie sú stanovené v rámci danej teórie.

c - sú stanovené pravidlá definície a dedukcie danej teórie a umožňujú zavedenie nových konceptov do teórie a logicky odvodzujú niektoré návrhy od iných.

d - ďalšie teórie teórie, tj veta, sa odvodzujú od a na základe c.

Príklady

Túto metódu možno overiť na základe dôkazu o dvoch najznámejších euklidovských teorémoch: vetve nôh a výškovej vety.

Obidve vyplývajú z pozorovania tohto gréckeho geometra, že keď je výška vzhľadom k prepony zakreslená v pravom trojuholníku, objavia sa ďalšie dva trojuholníky originálu. Tieto trojuholníky sú si navzájom podobné a zároveň podobné trojuholníku pôvodu. To predpokladá, že ich príslušné homologické strany sú primerané.

Je zrejmé, že zhodné uhly v trojuholníkoch týmto spôsobom overujú podobnosť, ktorá existuje medzi tromi zahrnutými trojuholníkmi podľa kritéria podobnosti AAA. Toto kritérium platí, že keď dva trojuholníky majú všetky rovnaké uhly, sú si podobné.

Akonáhle sa ukáže, že trojuholníky sú podobné, je možné určiť proporcie uvedené v prvej vete. Rovnaké tvrdenie, že v pravom trojuholníku je mierou každej vetvy geometrický pomerný priemer medzi preponou a projekciou nohy na ňu.

Druhá veta je výšková. Špecifikuje, že akýkoľvek pravouhlý trojuholník, ktorý je nakreslený podľa prepony, je geometrický pomerný priemer medzi segmentmi, ktoré sú určené uvedeným geometrickým priemerom na prepony.

Obe vety majú samozrejme po celom svete mnoho aplikácií, a to nielen vo výučbe, ale aj v strojárstve, fyzike, chémii a astronómii.

Referencie

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometria, formalizmus a intuícia: David Hilbert a formálna axiomatická metóda (1895-1905). Philosophy Magazine, zväzok 39 č. 2, str. 121-146. Prevzaté z magazines.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918) Axiomatické myslenie. V editorovi W. Ewalda, od Kant po Hilbert: zdrojová kniha o základoch matematiky. Zväzok II, str. 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Čo je to axiomatická metóda? Synthese, november 2011, zväzok 189, s. 69 - 85. Prevzaté z odkazu.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Úvod do súčasnej filozofie práva. (Pp.48-49). Prevzaté zo stránok books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Axiomatická metóda, čítanie Ricarda Nirenberga, jeseň 1996, University of Albany, Project Renaissance. Prevzaté z lokality Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert medzi formálnou a neformálnou stránkou matematiky. Rukopis vol. 38 č. 2, Campinas júl / august 2015. Odobraté z scielo.br.