KOLMÁ ČIARA: VLASTNOSTI, PRÍKLADY, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2025

Kolmice je ten, ktorý zviera uhol 90 ° s ohľadom na ďalšie línie, krivky alebo plochy. Všimnite si, že keď sú dve priamky kolmé a ležia v rovnakej rovine, keď sa pretínajú, tvoria štyri rovnaké uhly, každá 90 °.

Ak jeden z uhlov nie je 90 °, čiary sa označujú ako šikmé. Kolmé čiary sú bežné v dizajne, architektúre a konštrukcii, napríklad potrubná sieť na nasledujúcom obrázku.

Obrázok 1. Sieť potrubí v pravom uhle a počet kolmých čiar. Koľko 90 ° uhlov možno na tomto obrázku spočítať? Zdroj: Piqsels.

Orientácia kolmých čiar môže byť rôzna, ako napríklad tie, ktoré sú uvedené nižšie:

Obrázok 2. Kolmé čiary v rovine. Zdroj: F. Zapata.

Bez ohľadu na polohu sú čiary kolmé k sebe rozpoznávané identifikáciou uhla medzi nimi 90 ° pomocou uhlopriečok.

Všimnite si, že na rozdiel od rovnobežných priamok v rovine, ktoré sa nikdy nepretínajú, kolmé čiary tak vždy robia v bode P, ktorý sa nazýva pätka jednej z čiar na druhej. Z tohto dôvodu sú tiež dve zvislé čiary oddeľujúce.

Akákoľvek čiara má nekonečné kolmice, pretože práve pohybom segmentu AB doľava alebo doprava na segmente CD budeme mať nové kolmé s ďalšou nohou.

Kolmica, ktorá prechádza práve stredom stredu segmentu, sa však nazýva čiara tohto segmentu.

Príklady kolmých čiar

Kolmé čiary sú bežné v mestskej krajine. Na nasledujúcom obrázku (obrázok 3) bolo zvýraznených iba niekoľko z mnohých kolmých čiar, ktoré sú viditeľné na jednoduchej fasáde tejto budovy, a jej prvky, ako sú dvere, kanály, schody a ďalšie:

Obrázok 3. Na fasáde spoločnej budovy je veľké množstvo kolmých čiar. Zdroj: Richard Kang cez Flickr.

Dobrá vec je, že tri línie kolmé k sebe navzájom nám pomáhajú určiť polohu bodov a objektov v priestore. Sú to súradnicové osi identifikované ako os x, y a z, zreteľne viditeľné v rohu obdĺžnikovej miestnosti, ako je tá dole:

Obrázok 4. Karteziánsky systém osí sa skladá z troch priamok kolmých na seba, pričom každá z nich má v priestore preferenčný smer. Ľavé obrázkové kredity: treybunn 2 via Flickr. Pravý obrázok; Needpix.

V panoráme mesta je napravo pozorovaná aj kolmosť medzi mrakodrapom a zemou. Prvá, ktorú by sme povedali, je pozdĺž osi z, zatiaľ čo zem je rovina, ktorá je v tomto prípade rovinou xy.

Ak je zemou rovina xy, mrakodrap je tiež kolmý na akúkoľvek cestu alebo ulicu, čo zaručuje jeho stabilitu, naklonená štruktúra je nestabilná.

A na uliciach, všade tam, kde sú obdĺžnikové rohy, sú kolmé čiary. Mnoho ciest a ulíc má kolmé usporiadanie, pokiaľ to umožňuje terén a geografické prvky.

Na vyjadrenie skrátenej kolmosti medzi čiarami, segmentmi alebo vektormi sa používa symbol ⊥. Napríklad, ak je priamka L ₁ kolmá na priamku L ₂ , píšeme:

L ₁ ⊥ L ₂

Viac príkladov kolmých čiar

- V návrhu sú kolmé čiary veľmi prítomné, pretože mnoho bežných objektov je založené na štvorcoch a obdĺžnikoch. Tieto štvoruholníky sa vyznačujú vnútornými uhlami 90 °, pretože ich strany sú rovnobežné dva po dvoch:

Obrázok 5. Štvorce a obdĺžniky sú súčasťou mnohých vzorov, ako je napríklad táto jednoduchá lepenková škatuľa na uskladnenie tovaru. Zdroj: F. Zapata.

- Oblasti, v ktorých sa vykonávajú rôzne športy, sú vymedzené početnými štvorcami a obdĺžnikmi. Tieto zase obsahujú kolmé čiary.

- Dva zo segmentov, ktoré tvoria pravouhlý trojuholník, sú navzájom kolmé. Tieto sa nazývajú nohy, zatiaľ čo zostávajúca línia sa nazýva prepona.

- Čiary vektora elektrického poľa sú kolmé k povrchu vodiča v elektrostatickej rovnováhe.

- V prípade nabitého vodiča sú ekvipotenciálne vedenia a povrchy vždy kolmé k elektrickému poľu.

- V potrubných alebo potrubných systémoch používaných na prepravu rôznych druhov tekutín, ako je plyn, ktorý sa vyskytuje na obrázku 1, je bežné, že lakte sú v pravom uhle. Preto tvoria kolmé čiary, ako je to v prípade kotolne:

Obrázok 6. Potrubie v kotolni. Zdroj: Wikimedia Commons. Roger McLassus / CC BY-SA (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)

cvičenie

- Cvičenie 1

Nakreslite dve kolmé čiary pomocou pravítka a kompasu.

Riešenie

Je to veľmi jednoduché, postupujte nasledovne:

- Nakreslí sa prvý riadok s názvom AB (čierny).

- Nad (alebo nižšie, ak uprednostňujete) AB označte bod P, ktorým prechádza kolmá čiara. Ak je P práve nad (alebo pod) stredom AB, kolmá je priamka segmentu AB.

- Pri kompase zameranom na P, nakreslite kruh, ktorý pretína AB v dvoch bodoch, nazývaných A 'a B' (červený).

- Kompas je otvorený v A'P, je sústredený na A 'a je nakreslený obvod, ktorý prechádza cez P (zelený).

- Zopakujte predchádzajúci krok, ale teraz otvorte mieru úseku B'P (zelený). Obidva oblúky obvodu sa pretínajú v bode Q pod P a samozrejme v poslednom uvedenom bode.

- Body P a Q sú spojené s pravítkom a kolmá čiara (modrá) je pripravená.

- Nakoniec musia byť všetky pomocné konštrukcie starostlivo vymazané a zostávajú iba kolmé.

Obrázok 6. Sledovanie kolmých čiar pomocou pravítka a kompasu. Zdroj: Wikimedia Commons.

- Cvičenie 2

Dve čiary L ₁ a L ₂ sú kolmé, ak ich príslušné sklony m ₁ a m ₂ spĺňajú tento vzťah:

m ₁ = -1 / m ₂

Vzhľadom na čiaru y = 5x - 2 nájdite čiaru kolmú na ňu, ktorá prechádza bodom (-1, 3).

Riešenie

-Prvá je sklon kolmice m _⊥ , ako je uvedené vo vyhlásení. Sklon pôvodnej čiary je m = 5, koeficient, ktorý sprevádza „x“. takže:

m _⊥ = -1/5

- Po vytvorení rovnice kolmice y _{, sa} nahradí predtým zistená hodnota:

y _⊥ = -1 / 5x + b

- Potom je hodnota b určená pomocou bodu uvedeného v príkaze (-1,3), pretože ňou musí prechádzať kolmá čiara:

y = 3

x = -1

dosadením:

3 = -1/5 (-1) + b

Vyriešte hodnotu b:

b = 3- (1/5) = 14/5

- Nakoniec sa zostaví konečná rovnica:

a _⊥ = -1 / 5x + 14/5

Referencie

1. Baldor, A. 2004. Rovinná a priestorová geometria. Kultúrne publikácie.
2. Clemens, S. 2001. Geometria s aplikáciami a riešením problémov. Addison Wesley.
3. Matematika je zábava, kolmé čiary. Obnovené z: mathisfun.com.
4. Montereyov inštitút. Kolmé čiary. Obnovené z: montereyinstitute.org.
5. Wikipedia. Kolmé čiary. Obnovené z: es.wikipedia.org.