SÚBEŽNÉ VEKTORY: CHARAKTERISTIKY, PRÍKLADY A CVIČENIA - MATEMATIKA - 2025

V súbežnej vektory sú vektory skupiny, ktorých osi splývajú v jednom mieste, ktoré tvoria medzi každým párom vnútornou a vonkajšou iného uhla. Jasný príklad je uvedený na obrázku nižšie, kde A, B a C sú vektory súbežne navzájom.

D a E na rozdiel od ostatných nie sú. Medzi súbežnými vektormi AB, AC a CB sú vytvorené uhly. Nazývajú sa vzťahové uhly medzi vektormi.

vlastnosti

- Majú spoločný bod, ktorý sa zhoduje s ich pôvodom: všetky veľkosti súbežných vektorov začínajú od spoločného bodu k ich príslušným koncom.

- Počiatok sa považuje za miesto pôsobenia vektora: musí sa určiť akčný bod, ktorý bude priamo ovplyvnený každým zo súbežných vektorov.

-Its domény v rovine a priestore, je R ² a R ³ v tomto poradí: súbežné vektory sú zatiaľ pokryť celú geometrické miesto.

-Umožňuje rôzne zápisy v rovnakej skupine vektorov. Podľa študijných odborov sú v operáciách s vektormi prítomné rôzne notácie.

Druhy vektorov

Vetva vektorov má viacero podoblastí, z ktorých niektoré možno pomenovať: rovnobežné, kolmé, koplanárne, zodpovedajúce, opačné a jednotné. Sú tu uvedené súbežné vektory a rovnako ako všetky vyššie uvedené vektory majú mnoho aplikácií v rôznych vedách.

Sú veľmi bežné pri štúdiu vektorov, pretože predstavujú užitočné zovšeobecnenie pri operáciách s nimi. V rovine aj vo vesmíre sa súbežné vektory bežne používajú na znázornenie rôznych prvkov a na štúdium ich vplyvu na konkrétny systém.

Vektorový zápis

Existuje niekoľko spôsobov, ako reprezentovať vektorový prvok. Medzi hlavné a najznámejšie patria:

karteziánska

Navrhnuté rovnakým matematickým prístupom, označuje vektory trojnásobkom zodpovedajúcim magnitúdam každej osi (x, y, z).

A: (1, 1, -1) Priestor A: (1, 1) Rovina

polárne

Slúžia iba na označenie vektorov v rovine, hoci v integrálnom počte je priradená zložka hĺbky. Skladá sa z lineárnej veľkosti r a uhla vzhľadom na polárnu os polar.

A: (3, 45 ⁰ ), rovina A: (2, 45 ⁰ , 3) medzera

analytická

Definujú veľkosť vektora pomocou versorov. Versory (i + j + k) predstavujú jednotkové vektory zodpovedajúce osi X, Y a

A: 3i + 2j - 3k

guľový

Sú podobné polárnej notácii, ale s pridaním druhého uhlu, ktorý sa prehnal nad rovinou xy symbolizovanou δ.

A: (4, 60 ^alebo π / 4)

Súbežné vektorové operácie

Súbežné vektory sa väčšinou používajú na definovanie operácií medzi vektormi, pretože je ľahšie porovnávať prvky vektorov, keď sú prezentované súčasne.

Súčet (A + B)

Súčet súbežných vektorov si kladie za cieľ nájsť výsledný vektor V _r . Čo podľa študijného odboru zodpovedá konečnému konaniu

Napríklad: 3 reťazce {A, B, C} sú naviazané na rámček, každý koniec reťazca je držaný jedným subjektom. Každý z 3 subjektov musí lano ťahať iným smerom ako ostatné 2.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ij + o + cy; az + bz + en) = V _r

Krabica bude schopný sa pohybovať v jednom smere, teda iba V _r indikuje smer a smer pohybu tohto boxu.

Rozdiel (A - B)

Existuje veľa kritérií týkajúcich sa rozdielu medzi vektormi, mnohí autori sa ho rozhodnú vylúčiť a tvrdia, že je stanovený iba súčet medzi vektormi, pričom rozdiel je o súčte opačného vektora. Pravda je, že vektory sa dajú odpočítať algebraicky.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

Skalárny produkt (A. B)

Známy tiež ako bodový produkt, vytvára skalárnu hodnotu, ktorá môže súvisieť s rôznymi veľkosťami v závislosti od študijného odboru.

Pokiaľ ide o geometriu, uveďte oblasť rovnobežníka tvorenú párom súbežných vektorov pomocou metódy rovnobežníka. Pre mechanickú fyziku definuje prácu vykonanú silou F pri pohybe tela o vzdialenosť Δr.

ѡ = F . AR

Ako naznačuje jeho názov, generuje sa skalárna hodnota a je definovaná takto:

Nech vektory A a B sú

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

-Analytická forma:

(A. B) = -A -.- B-Coc 9

Kde 9 je vnútorný uhol medzi oboma vektormi

- Algebraická forma:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Krížový produkt (A x B)

Vektor produkt alebo skalárny súčin dvoch vektorov, definuje tretí vektor C , ktorý má kvalitu je kolmá na B a C . Vo fyzike je momentový vektor τ základným prvkom rotačnej dynamiky.

-Analytická forma:

- A x B - = -A -.- B-.Sen 9

- Algebraická forma:

(A x B) = = (ax. By - ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. By - ay. Bx) k

- relatívny pohyb: r _{A / B}

Základom relativity je relatívny pohyb a súbežné vektory sú základom relatívneho pohybu. Relatívne polohy, rýchlosti a zrýchlenia sa dajú odvodiť pomocou nasledujúceho poradia nápadov.

R _{A / B} = r - r _B ; Relatívna poloha A vzhľadom na B

v _{A / B} = v _A - v _B ; Relatívna rýchlosť A vzhľadom na B

a _{A / B} = _aA - a _B ; Relatívne zrýchlenie A vzhľadom na B

Príklady: riešené cvičenia

Cvičenie 1

Nech A, B a C sú súbežnými vektormi.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

Definujte Výsledný vektor V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2 A + (3b) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17),

- Definujte bodový produkt (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(A. C) = 3

- Vypočítajte uhol medzi A a C

(A. C) = -A -.- C-. Cos, kde 9 je najkratší uhol medzi vektormi

8 = 88,63 ⁰

- Nájdite vektor kolmý na A a B

Na tento účel je potrebné definovať vektorový produkt medzi (-1, 3, 5) a (3, 5, -2). Ako je vysvetlené vyššie, matica 3 x 3 sa skonštruuje tak, že prvý riadok sa skladá z vektorov trojitých jednotiek (i, j, k). Potom sa z vektorov vytvoria 2. a 3. riadky, ktoré sa majú prevádzkovať, pričom sa rešpektuje prevádzkový poriadok.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) 1- (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

Cvičenie 2

Ak je V a V _{b sú} rýchlostných vektorov A a B, resp. Vypočítajte rýchlosť B z pohľadu A.

V _A = (3, 1, 5) V _b = (2, 5, -3)

V tomto prípade sa požaduje relatívna rýchlosť B vzhľadom na A V _{B / A}

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, 1, 5) = (1, 6, -8)

Toto je vektor rýchlosti B z pohľadu A. Tam, kde je opísaný nový vektor rýchlosti B, berie referenciu od pozorovateľa umiestneného pri A a pohybujúceho sa rýchlosťou A.

Navrhované cvičenia

1-Konštrukcia 3 vektorov A, B a C, ktoré sú súbežné a spájajú 3 operácie medzi nimi prostredníctvom praktického cvičenia.

2-Nechajte vektory A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) a C: (-2, -1, 10). Nájdite vektory kolmé na: A a B, C a B, súčet A + B + C.

4-Určite 3 vektory, ktoré sú navzájom kolmé, bez ohľadu na súradnicové osi.

5-Definujte prácu vykonanú silou, ktorá zdvihne blok s hmotnosťou 5 kg, zo dna studne hlbokej 20 m.

6 - Algebraicky ukážte, že odčítanie vektorov sa rovná súčtu opačného vektora. Zdôvodnite svoje postuláty.

7-Označte vektor vo všetkých notáciách vyvinutých v tomto článku. (Karteziánsky, polárny, analytický a sférický).

8 - Magnetické sily vyvíjané na magnet, ktorý spočíva na stole, sú dané nasledujúcimi vektormi; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Určite, v ktorom smere sa bude magnet pohybovať, ak všetky magnetické sily pôsobia súčasne.

Referencie

1. Euklidovská geometria a transformácie. Clayton W. Dodge. Courier Corporation, 1. januára 2004
2. Ako riešiť aplikované matematické problémy L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, 10. apríla 2013
3. Základné pojmy geometrie. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman a Littlefield, 4. októbra. 2012
4. Vektory. Rocío Navarro Lacoba, 7. júna. 2014
5. Lineárna algebra. Bernard Kolman, David R. Hill. Pearson Education, 2006