VÝPOČET APROXIMÁCIÍ POMOCOU DIFERENCIÁLU - MATEMATIKA - 2025

Aproximácia v matematike je číslo, ktoré nie je presnou hodnotou niečoho, ale je tak blízko k nemu, že sa považuje za užitočné ako táto presná hodnota.

Keď sa aproximácie robia v matematike, je to preto, že manuálne je ťažké (alebo niekedy nemožné) poznať presnú hodnotu toho, čo chcete.

Hlavným nástrojom pri práci s aproximáciami je rozdiel funkcie.

Diferenciál funkcie f, označený ako Af (x), nie je ničím iným ako derivátom funkcie f-krát zmena nezávislej premennej, to znamená, Af (x) = f '(x) * xx.

Niekedy sa namiesto Δf a xx používajú df a dx.

Aproximácie pomocou diferenciálu

Vzorec, ktorý sa používa na vykonanie aproximácie prostredníctvom diferenciálu, vychádza práve z definície derivátu funkcie ako limitu.

Tento vzorec je daný:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Ax.

Tu sa rozumie, že Ax = x-xO, teda x = x0 + Ax. Použitím tohto vzorca možno vzorec prepísať ako

f (xO + Ax) ≈ f (x0) + f '(x0) * Ax.

Malo by sa poznamenať, že „x0“ nie je ľubovoľná hodnota, ale hodnota taká, že f (x0) je ľahko známa; navyše „f (x)“ je iba hodnota, ktorú chceme priblížiť.

Existujú lepšie aproximácie?

Odpoveď je áno. Vyššie uvedené je najjednoduchšie z aproximácií nazývaných „lineárna aproximácia“.

Pre lepšiu aproximáciu kvality (urobená chyba je menšia) sa používajú polynómy s viacerými derivátmi nazývanými „Taylorove polynómy“, ako aj iné numerické metódy, ako je napríklad Newton-Raphsonova metóda.

stratégia

Stratégia, ktorú treba dodržiavať, je:

- Vyberte vhodnú funkciu f na vykonanie aproximácie a hodnotu «x» tak, aby hodnota f (x) bola aproximovaná.

- Vyberte hodnotu „x0“ blízko „x“ tak, aby bolo možné ľahko vypočítať f (x0).

- Vypočítajte Δx = x-x0.

- Vypočítajte derivát funkcie y f '(x0).

- Nahraďte údaje vzorcom.

Riešené aproximačné cvičenia

V tom, čo ďalej pokračuje, existuje celý rad cvičení, pri ktorých sa aproximácie robia pomocou diferenciálu.

Prvé cvičenie

Približne √3.

Riešenie

Podľa stratégie je potrebné zvoliť vhodnú funkciu. V tomto prípade je zrejmé, že zvolená funkcia musí byť f (x) = √x a hodnota, ktorá sa má aproximovať, je f (3) = √3.

Teraz musíme zvoliť hodnotu „x0“ blízko „3“ tak, aby sa f (x0) dalo ľahko vypočítať. Ak zvolíte "x0 = 2", máte, že "x0" je blízko "3", ale f (x0) = f (2) = √2 sa nedá ľahko vypočítať.

Príslušná hodnota "x0" je "4", pretože "4" je blízko "3" a tiež f (x0) = f (4) = -4 = 2.

Ak "x = 3" a "x0 = 4", potom Δx = 3-4 = -1. Teraz pristúpime k výpočtu derivátu f. To znamená, že f '(x) = 1/2 * √x, takže f' (4) = 1/2 * 4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Nahradenie všetkých hodnôt v získanom vzorci:

3 = f (3) + 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Ak použijete kalkulačku, dostanete √3≈1.73205… To ukazuje, že predchádzajúci výsledok je dobrým aproximáciou skutočnej hodnoty.

Druhé cvičenie

Približne √10.

Riešenie

Ako predtým sa ako funkcia zvolí f (x) = √xy, v tomto prípade x = 10.

Hodnota x0 na výber tohto času je „x0 = 9“. Potom máme, že Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 a f '(9) = 1/2 × 9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Pri hodnotení vo vzorci sa získa, že

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666…

Použitím kalkulačky sa získa, že √10 ≈ 3,1622776 … Tu je tiež zrejmé, že predtým bola dosiahnutá dobrá aproximácia.

Tretie cvičenie

Približne ³√10, kde ³√ označuje koreň kocky.

Riešenie

Je zrejmé, že funkcia použitá v tomto cvičení je f (x) = ³√x a hodnota „x“ musí byť „10“.

Hodnota blízka "10" tak, že je známy jej koreň kocky, je "x0 = 8". Potom máme Δx = 10-8 = 2 a f (x0) = f (8) = 2. Máme tiež f '(x) = 1/3 * √√x², a teda f' (8) = 1/3 * √√8² = 1/3 * √√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Nahradením údajov vo vzorci sa získa, že:

<10 = f (10) + 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,166666….

Kalkulačka hovorí, že √√10 ≈ 2,15443469 … Zistená aproximácia je preto dobrá.

Štvrté cvičenie

Približná ln (1.3), kde "ln" označuje funkciu prirodzeného logaritmu.

Riešenie

Najprv vyberieme ako funkciu f (x) = ln (x) a hodnota „x“ je 1,3. Teraz, keď vieme niečo o logaritmickej funkcii, vieme, že ln (1) = 0 a ďalej „1“ je blízko „1,3“. Preto je zvolené "x0 = 1", a teda Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Na druhej strane f '(x) = 1 / x, takže f' (1) = 1. Pri hodnotení v danom vzorci máme:

ln (1,3) = f (1,3) + 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Pomocou kalkulačky máme tento ln (1.3) ≈ 0,2662364 … Takže aproximácia je dobrá.

Referencie

1. Fleming, W., a Varberg, DE (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., a Varberg, DE (1989). Prekalkulová matematika: riešenie problémov (2, ilustrované vydanie). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8. vydanie). Cengage Learning.
5. Leal, JM, a Viloria, NG (2005). Analytická geometria roviny. Mérida - Venezuela: Editorial Editorial Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calculus (deviate vydanie). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Diferenciálny počet s včasnými transcendentnými funkciami pre vedu a techniku ​​(2. vydanie, vydanie). Prepona.
9. Scott, CA (2009). Karteziánska rovinná geometria, časť: Analytický kužeľ (1907) (tlač vyd.). Zdroj blesku.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.