VEKTOR: VLASTNOSTI A VLASTNOSTI, PRVKY, TYPY, PRÍKLADY - VEDA - 2025

Tieto vektory sú matematické subjekty, ktoré majú všeobecne sprevádzaná mernú jednotku -positiva- veľkosť a smer dobre. Takéto charakteristiky sú veľmi vhodné na opis fyzických veličín, ako sú rýchlosť, sila, zrýchlenie a mnoho ďalších.

Pomocou vektorov je možné vykonávať operácie, ako sú sčítanie, odčítanie a produkty. Delenie nie je definované pre vektory a pre produkt existujú tri triedy, ktoré opíšeme neskôr: bodový produkt alebo bod, vektorový produkt alebo krížik a produkt skaláru vektorom.

Obrázok 1. Prvky vektora. Zdroj: Wikimedia Commons.

Na úplný opis vektora musia byť uvedené všetky jeho vlastnosti. Veľkosť alebo modul je číselná hodnota sprevádzaná jednotkou, zatiaľ čo smer a zmysel sú stanovené pomocou súradnicového systému.

Pozrime sa na príklad: predpokladajme, že lietadlo letí z jedného mesta do druhého rýchlosťou 850 km / h v smere na sever. Tu máme plne špecifikovaný vektor, pretože veľkosť je k dispozícii: 850 km / h, zatiaľ čo smer a zmysel sú NIE.

Vektory sú zvyčajne znázornené graficky pomocou orientovaných úsečiek, ktorých dĺžka je úmerná veľkosti.

Aj keď je potrebné špecifikovať smer a smer, vyžaduje sa referenčná čiara, ktorá je zvyčajne vodorovnou osou, hoci za referenčnú možno považovať aj sever, je to však prípad rýchlosti roviny:

Obrázok 2. Vektor rýchlosti. Zdroj: F. Zapata.

Obrázok znázorňuje vektor rýchlosti lietadla, označený ako V v tučne , aby sa odlíšil od skalárna veličina, ktorá vyžaduje len číselnú hodnotu a niektoré jednotky, ktoré majú byť špecifikované.

Prvky vektora

Ako sme už povedali, prvkami vektora sú:

- veľkosť alebo modul, niekedy nazývaný aj absolútna hodnota alebo norma vektora.

ich riešiť

-Sense

V príklade na obrázku 2 je modul v 850 km / h. Modul je označený ako v bez hrubo, alebo ako - v -, kde stĺpce predstavujú absolútnu hodnotu.

Smer v je určený vzhľadom na sever. V tomto prípade je to 45 ° severne od východu (45 ° severnej zemepisnej šírky). Koniec špičky šípu informuje o pocite v .

V tomto príklade sa pôvod vektora nakreslil súčasne so začiatkom O súradnicového systému, ktorý sa nazýva spojený vektor. Na druhej strane, ak sa pôvod vektora nezhoduje so pôvodom referenčného systému, hovorí sa o voľnom vektore.

Je potrebné poznamenať, že na úplné určenie vektora je potrebné uviesť tieto tri prvky, inak by opis vektora nebol úplný.

Obdĺžnikové komponenty vektora

Obrázok 3. Obdĺžnikové komponenty vektora v rovine. Zdroj: Wikimedia Commons. uranther

Na obrázku máme späť náš príklad vektor v , ktorý je v rovine xy.

Je ľahké vidieť, že priemery v na súradniciach osi x a y určujú pravouhlý trojuholník. Tieto výčnelky sú v _{y a} v _x a nazývajú sa pravouhlé komponenty v .

Jeden spôsob, ako označiť v svojimi obdĺžnikovými komponentmi, je nasledujúci: v =x, v _a >. Tieto zátvorky sa používajú namiesto zátvoriek, aby sa zdôraznila skutočnosť, že sa jedná o vektor a nie obdobie, pretože v tomto prípade by sa použili zátvorky.

Ak je vektor v trojrozmernom priestore, je potrebná jedna zložka, takže:

v =x, v _y , v _z >

Znalosť obdĺžnikové súčasti veľkosť vektora sa vypočíta ekvivalentná k nájdeniu prepona pravouhlého trojuholníka, ktorého nohy sú V _x a v _{a ,.} Prostredníctvom Pytagorovej vety sa uvádza, že:

Polárna forma vektora

Keď je známa veľkosť vektora - v - a uhol 9, ktorý vytvára s referenčnou osou, spravidla horizontálnou osou, je špecifikovaný aj vektor. O vektore sa potom hovorí, že je exprimovaný v polárnej forme.

Obdĺžnikové komponenty sa v tomto prípade dajú ľahko vypočítať:

Podľa vyššie uvedeného by obdĺžnikové komponenty vektora rýchlosti v roviny boli:

druhy

Existuje niekoľko typov vektorov. Existujú vektory rýchlosti, polohy, posunu, sily, elektrického poľa, hybnosti a mnoho ďalších. Ako sme už povedali, vo fyzike existuje veľké množstvo vektorových množstiev.

Pokiaľ ide o vektory, ktoré majú určité charakteristiky, môžeme uviesť nasledujúce typy vektorov:

- Null : jedná sa o vektory, ktorých veľkosť je 0 a sú označené ako 0. Pamätajte, že hrubé písmeno symbolizuje tri základné charakteristiky vektora, zatiaľ čo normálne písmeno predstavuje iba modul.

Napríklad na telese v statickej rovnováhe musí byť súčet síl nulovým vektorom.

- Voľné a spojené : voľné vektory sú tie, ktorých východiskové a príchodové body sú párom bodov v rovine alebo priestore, na rozdiel od prepojených vektorov, ktorých pôvod sa zhoduje s pôvodom referenčného systému použitého na ich opis.

Pár alebo moment vyvolaný niekoľkými silami je dobrým príkladom voľného vektora, pretože pár sa nevzťahuje na žiadny konkrétny bod.

- Equipolentes : sú to dva voľné vektory, ktoré majú rovnaké vlastnosti. Preto majú rovnakú veľkosť, smer a zmysel.

- Koplanár alebo koplanár : vektory, ktoré patria do rovnakej roviny.

- Protiklady : vektory s rovnakou veľkosťou a smerom, ale v opačných smeroch. Vektor oproti vektoru v je vektor - v a súčet oboch je nulový vektor: v + (- v ) = 0 .

- súbežný : vektory, ktorých akčné línie prechádzajú tým istým bodom.

- Posúvače : sú vektory, ktorých aplikačný bod sa môže posúvať pozdĺž konkrétnej čiary.

- Collinear : vektory, ktoré sú umiestnené na tej istej priamke.

- Unitary : vektory, ktorých modul je 1.

Vektory ortogonálnych jednotiek

Vo fyzike existuje veľmi užitočný typ vektora, ktorý sa nazýva vektor ortogonálnej jednotky. Ortogonálny jednotkový vektor má modul rovný 1 a jednotky môžu byť akékoľvek, napríklad jednotky rýchlosti, polohy, sily alebo iné.

Existuje súbor špeciálnych vektorov, ktoré pomáhajú ľahko reprezentovať ďalšie vektory a vykonávať s nimi operácie: sú to vektory ortogonálnych jednotiek i , j a k , jednotky a navzájom kolmé.

V dvoch rozmeroch sú tieto vektory nasmerované pozdĺž kladného smeru osi x aj osi y. A v troch rozmeroch sa jednotkový vektor pridá v smere kladnej osi z. Sú zastúpené takto:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Vektor môže byť reprezentovaný jednotkovými vektormi i , j a k takto:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Napríklad vektor rýchlosti v v predchádzajúcich príkladoch možno písať ako:

v = 601,04 i + 601,04 j km / h

Zložka v k nie je potrebná, pretože tento vektor je v rovine.

Pridanie vektora

Súčet vektorov sa objavuje veľmi často v rôznych situáciách, napríklad keď chcete nájsť výslednú silu na objekt, ktorý je ovplyvnený rôznymi silami. Na začiatok predpokladajme, že v rovine máme dva voľné vektory u a v , ako je to znázornené na nasledujúcom obrázku vľavo:

Obrázok 4. Grafický súčet dvoch vektorov. Zdroj: Wikimedia Commons. Lluc cabanach.

Okamžite sa opatrne prenesie do vektora v , bez zmeny jeho veľkosti, smeru alebo zmyslu, takže jeho pôvod sa zhoduje s koncom u .

Súčet vektorov sa nazýva w a je nakreslený počnúc od u konca v v , podľa pravého obrázka. Je dôležité si uvedomiť, že veľkosť vektora w nie je nevyhnutne súčtom hodnôt v a u .

Ak o tom dôkladne premýšľate, jediný čas, v ktorom je veľkosť výsledného vektora súčtom hodnôt aditív, je, keď sú oba aditíva v rovnakom smere a majú rovnaký význam.

A čo sa stane, ak vektory nie sú zadarmo? Je tiež veľmi ľahké ich pridať. Spôsob, ako to dosiahnuť, je pridaním zložky do zložky alebo analytickou metódou.

Ako príklad uvážme vektory na nasledujúcom obrázku, prvá vec je ich vyjadrenie jedným z karteziánskych spôsobov, ktoré boli predtým vysvetlené:

Obrázok 5. Súčet dvoch spojených vektorov. Zdroj: Wikimedia Commons.

v = <5,1>

u = <2,3>

Na získanie x-zložky súčtového vektora w pridajte príslušné x-komponenty v a u : w _x = 5 + 2 = 7. A na získanie _{wY sa} použije analogický postup: _wy = 1 + 3. teda:

u = <7,4>

Vlastnosti adície vektora

- Súčtom dvoch alebo viacerých vektorov sa získa ďalší vektor.

-Je to komutatívne, poradie dodatkov nemení sumu tak, že:

u + v = v + u

- Neutrálnym prvkom súčtu vektorov je nulový vektor: v + 0 = v

- Odčítanie dvoch vektorov je definované ako súčet opaku: v - u = v + (-u)

Príklady vektorov

Ako sme už povedali, vo fyzike existuje veľké množstvo vektorov. Medzi najznámejšie patria:

-poloze

-Displacement

- Rýchlosť nápoja a okamžitá rýchlosť

-Acceleration

-force

- Množstvo pohybu

- Torque alebo moment sily

-Impulse

-Elektrické pole

-Magnetické pole

-Magnetický moment

Na druhej strane to nie sú vektory, ale skaláry:

-weather

-Mass

-Temperature

-VOLUME

-Hustota

- Mechanická práca

a energetické

-Hot

-Moc

-Napätie

-Elektrický prúd

Iné operácie medzi vektormi

Okrem sčítania a odčítania vektorov existujú medzi vektormi ďalšie tri veľmi dôležité operácie, pretože spôsobujú vznik nových veľmi dôležitých fyzikálnych veličín:

-Výrobok skaláru vektorom.

- Bodový produkt alebo bodový produkt medzi vektormi

- Krížový alebo vektorový produkt medzi dvoma vektormi.

Produkt skaláru a vektora

Zoberme si Newtonov druhý zákon, ktorý uvádza, že sila F a zrýchlenie a sú proporcionálne. Konštancia proporcionality je hmotnosťou m objektu, a preto:

F = m. na

Hmota je skalárna; sila a akcelerácia sú vektory. Pretože sila sa získa vynásobením hmotnosti zrýchlením, je to výsledok produktu skaláru a vektora.

Výsledkom tohto typu produktu je vždy vektor. Tu je ďalší príklad: množstvo pohybu. Nech P je vektor hybnosti, v vektor rýchlosti, a ako vždy m je hmotnosť:

P = m. proti

Bodový produkt alebo bodový produkt medzi vektormi

Zaradili sme mechanické práce do zoznamu množstiev, ktoré nie sú vektormi. Práca vo fyzike je však výsledkom operácie medzi vektormi nazývanými skalárny produkt, vnútorný produkt alebo bodový produkt.

Dovoliť vektory v a u , definovať medzi nimi bodkový alebo skalárny produkt ako:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Kde 9 je uhol medzi nimi. Z znázornenej rovnice okamžite vyplýva, že výsledok bodového produktu je skalárny a tiež, že ak sú oba vektory kolmé, ich bodový produkt je 0.

Pokiaľ ide o mechanickú prácu W, jedná sa o skalárny produkt medzi silovým vektorom F a posuvným vektorom ℓ .

Ak sú vektory dostupné z hľadiska ich zložiek, bodový produkt sa dá tiež ľahko vypočítať. Ak v =x, v _y , v _z > y u =x, u _y , u _z >, bodkový produkt medzi nimi je:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Bodový produkt medzi vektormi je komutatívny, a preto:

v ∙ u = u ∙ v

Krížový produkt alebo vektorový produkt medzi vektormi

Ak v a u sú naše dva príklady vektorov, definujeme vektorový produkt ako:

v x u = w

Z toho jasne vyplýva, že výsledkom krížového produktu je vektor, ktorého modul je definovaný ako:

Kde 9 je uhol medzi vektormi.

Krížový produkt nie je komutatívny, preto v x u ≠ u x v. V skutočnosti v x u = - (u x v).

Ak sú dva príklady vektorov vyjadrené v jednotkových vektoroch, uľahčí sa výpočet vektorového produktu:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Krížové produkty medzi jednotkovými vektormi

Krížový produkt medzi identickými jednotkovými vektormi je nula, pretože uhol medzi nimi je 0 °. Ale medzi rôznymi jednotkovými vektormi je uhol medzi nimi 90 ° a sinusový 90 ° = 1.

Nasledujúca schéma pomáha nájsť tieto produkty. V smere šípky má pozitívny smer av opačnom smere negatívny:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

Aplikovaním distribučnej vlastnosti, ktorá stále platí pre produkty medzi vektormi plus vlastnosti jednotkových vektorov, máme:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k ) x (u _x i + u _y j + u _z k ) =

Riešené cvičenia

- Cvičenie 1

Vzhľadom na vektory:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Aký musí byť vektor w, aby suma v + u + w bola 6 i +8 j -10 k ?

Riešenie

Preto sa musí splniť, že:

Odpoveď je: w = 9 i + 7 j - 18 k

- Cvičenie 2

Aký je uhol medzi vektormi v a u v cvičení 1?

Riešenie

Použijeme bodový produkt. Z definície máme:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

Nahradenie týchto hodnôt:

Referencie

1. Figueroa, D. (2005). Séria: Fyzika pre vedu a techniku. Zväzok 1. Kinematika. Editoval Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Fyzika: Princípy s aplikáciami. 6 .. Ed Prentice Hall.
3. Rex, A. 2011. Základy fyziky. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Univerzitná fyzika s modernou fyzikou. 14 .. Vyd. Diel 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Fyzika pre vedu a techniku. Zväzok 1. 7.. Ed. Cengage Learning.