ZÁKONY EXPONENTOV (S PRÍKLADMI A RIEŠENÝMI CVIČENIAMI) - MATEMATIKA - 2025

Tieto zákony exponentmi sú tie, ktoré sa vzťahujú k tomuto číslu, ktoré udáva, koľkokrát musí byť základňa číslo vynásobí sám. Exponenti sú tiež známi ako právomoci. Posilnenie je matematická operácia tvorená základňou (a), exponentom (m) a silou (b), ktorá je výsledkom operácie.

Exponenty sa všeobecne používajú, keď sa používajú veľmi veľké množstvá, pretože to nie sú nič iné ako skratky, ktoré predstavujú násobok toho istého čísla. Exponenti môžu byť pozitívni aj negatívni.

Vysvetlenie zákonov vývozcov

Ako už bolo uvedené, exponenty sú skrátenou formou, ktorá predstavuje násobiace čísla sama o sebe viackrát, pričom exponent sa týka iba čísla vľavo. Napríklad:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

V takom prípade je číslo 2 základňou sily, ktorá sa vynásobí trikrát, ako je naznačené exponentom, umiestneným v pravom hornom rohu základne. Existuje niekoľko spôsobov, ako čítať výraz: 2 zvýšené na 3 alebo tiež 2 zvýšené na kocku.

Exponenti tiež označujú, koľkokrát je možné ich rozdeliť a na rozlíšenie tejto operácie od násobenia má exponent pred znamienkom mínus (-) (je to záporné), čo znamená, že exponent je v menovateli frakcie. Napríklad:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

To by sa nemalo zamieňať s prípadom, keď je báza záporná, pretože bude záležať na tom, či je exponent nepárny alebo či sa určí, či bude sila kladná alebo záporná. Takže musíte:

- Ak je exponent rovný, výkon bude kladný. Napríklad:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Ak je exponent nepárny, výkon bude záporný. Napríklad:

( - 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Existuje špeciálny prípad, keď ak je exponent rovný 0, výkon je rovný 1. Existuje tiež možnosť, že báza je 0; v takom prípade bude sila závislá od exponentu neurčitá alebo nie.

Na vykonanie matematických operácií s exponentmi je potrebné riadiť sa niekoľkými pravidlami alebo normami, ktoré uľahčujú nájdenie riešenia týchto operácií.

Prvý zákon: moc exponentu rovná 1

Ak exponent je 1, výsledkom bude rovnaká hodnota bázy: a ¹ = a.

Príklady

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Druhý zákon: moc exponentu rovná 0

Ak exponent je 0, ak je báza nenulová, výsledkom bude: a ⁰ = 1.

Príklady

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Tretí zákon: negatívny exponent

Keďže exponát je negatívny, výsledkom bude zlomok, kde moc bude menovateľ. Napríklad, ak m je kladné, potom a- ^m = 1 / a ^m .

Príklady

- 3 ^-1 = 1/3.

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Štvrtý zákon: znásobenie právomocí s rovnakou základňou

Ak chceme násobiť sily, kde sú bázy rovnaké a odlišné od 0, báza zostáva a sú pridané exponenty: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n} .

Príklady

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Piate právo: rozdelenie právomocí s rovnakou základňou

Na rozdelenie síl, v ktorých sú bázy rovnaké a odlišné od 0, sa báza udržiava a exponenty sa odčítajú takto: a ^m / a ⁿ = a ^m-n .

Príklady

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^(2-1) = 9 ¹ .

- 6 ¹⁵ /6 ^október = 6 ^(15-10) = 6 ⁵ .

- 49 ^december / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶ .

Šiesty zákon: znásobenie právomocí s rôznymi základmi

Tento zákon má opak toho, čo je vyjadrené vo štvrtom; to znamená, že ak máte rôzne bázy, ale s rovnakými exponentmi, bázy sa vynásobia a exponent sa zachová: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m .

Príklady

- 10 ² _* 20 ² = (10 _x 20) ² = 200 ² .

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹ .

Ďalším spôsobom, ako reprezentovať tento zákon, je, keď sa množenie zvýši na moc. Exponent teda bude patriť ku každému z výrazov: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m .

Príklady

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴ .

- (23 * 7), ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶ .

Siedme právo: rozdelenie právomocí s rôznymi základmi

Ak máte rôzne bázy, ale s rovnakými exponentmi, rozdelte bázy a ponechajte exponent: a ^m / b ^m = (a / b) ^m .

Príklady

- 30 ³ /2 ³ = (2/30), ³ = 15 ³ .

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80), ⁴ = 5,5 ⁴ .

Podobne, keď sa delenie zvýši na moc, exponent bude patriť do každého z výrazov: (a / b) ^m = a ^m / b ^m .

Príklady

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸ .

- (25/5), ² = 25 ² /5 ² = 5 ² .

Existuje prípad, keď je exponent negatívny. Potom, aby bolo kladné, hodnota čitateľa sa prevráti s hodnotou menovateľa takto:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ .

- (4/5) ^-9 = (5/4), ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴ .

Ôsmy zákon: sila moci

Ak máte silu, ktorá je zdvihnutá na inú silu - to znamená, že sú dva exponenty súčasne - základňa je udržiavaná a exponenty sú vynásobené: (a ^m ) ⁿ = a ^{m * n} .

Príklady

- (8 ³ ) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶ .

- (13 ⁹ ), ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷ .

- (238 ¹⁰ ) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰ .

Deviate právo: zlomkový exponent

Ak má sila exponent ako exponent, je to vyriešené jeho transformáciou na n-tý koreň, kde čitateľ zostáva ako exponent a menovateľ predstavuje index korene:

príklad

Riešené cvičenia

Cvičenie 1

Vypočítajte operácie medzi právomocami, ktoré majú rôzne základy:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² .

Riešenie

Pri použití pravidiel exponentov sú bázy v čitateli vynásobené a exponent je udržiavaný takto:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Keďže máme rovnaké základne, ale s rôznymi exponentmi, základňa sa zachová a exponenty sa odpočítajú:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

Cvičenie 2

Vypočítajte operácie medzi právomocami získanými na inú silu:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

Riešenie

Pri uplatňovaní zákonov musíte:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46,656

Referencie

1. Aponte, G. (1998). Základy základnej matematiky. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Matematika aplikovaná na každodenný život.
3. Jiménez, JR (2009). Matematika 1 SEP.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra a trigonometria.
5. Rees, PK (1986). Reverte.