DERIVÁT COTANGENT: VÝPOČET, DÔKAZ, CVIČENIE - MATEMATIKA - 2025

Derivát kotangens sa rovná naproti štvorci kosekans "-Csc ² ". Tento vzorec sa riadi definíciami derivátov a rozlišuje trigonometrické funkcie. Označuje sa takto:

d (ctg u) = -csc ² u. du

Kde "du" symbolizuje výraz odvodený z argumentovej funkcie vzhľadom na nezávislú premennú.

Zdroj: Pixabay.com

Ako sa počíta?

Postup na vývoj týchto derivátov je pomerne jednoduchý. Stačí len správne identifikovať argument a typ funkcie, ktorú predstavuje.

Napríklad výraz Ctg (f / g) má vo svojom argumente delenie. To si bude vyžadovať diferenciáciu, pokiaľ ide o U / V, po vyvinutí derivátu cotangentu.

Cotangent je recipročný tangens. Algebraicky to znamená, že:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Cos x / Sen x

Nie je správne tvrdiť, že funkcia cotangent je „inverzia“ dotyčnice. Je to preto, že inverzná tangensová funkcia je podľa definície oblúková tangens.

(Tg ^-1 x) = arctg x

Podľa Pythagorovej trigonometrie je cotangent zapojený do nasledujúcich sekcií:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

Ctg ² x + 1 = Csc ² x

Podľa analytickej trigonometrie reaguje na nasledujúce identity:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)

CTG (2a) = (1 - tg ² a) / (2TG a)

Charakteristiky funkcie cotangentu

Je potrebné analyzovať rôzne charakteristiky funkcie f (x) = ctg x, aby bolo možné definovať aspekty potrebné na štúdium jej odlišnosti a aplikácie.

Vertikálne asymptoty

Funkcia cotangent nie je definovaná na hodnotách, ktoré robia výraz „Senx“ nula. Vďaka svojmu ekvivalentnému Ctg x = (cos x) / (sin x) bude mať neurčitosť vo všetkých „nπ“, pričom n bude patriť do celých čísel.

To znamená, že v každej z týchto hodnôt x = nπ bude vertikálna asymptota. Keď sa priblížite zľava, hodnota cotangentu sa bude rýchlo znižovať a pri priblížení sa sprava sa funkcia bude donekonečna zvyšovať.

doména

Doména cotangentnej funkcie je vyjadrená množinou {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. Toto je čítané ako „x patriace do množiny reálnych čísel tak, že x je odlišné od nπ, pričom n patrí do množiny celých čísel“.

hodnosť

Rozsah funkcie cotangent je od mínus po plus nekonečno. Preto možno dospieť k záveru, že jej hodnosťou je množina reálnych čísel R.

kmitočet

Funkcia cotangent je periodická a jej perióda sa rovná π. Týmto spôsobom je splnená rovnosť Ctg x = Ctg (x + nπ), kde n patrí Z.

správanie

Je to čudná funkcia, pretože Ctg (-x) = - Ctg x. Týmto spôsobom je známe, že funkcia predstavuje symetriu vzhľadom na pôvod súradníc. Predstavuje tiež zníženie v každom intervale umiestnenom medzi 2 po sebe nasledujúcimi vertikálnymi asymptotami.

Nemá maximálne ani minimálne hodnoty, pretože jeho aproximácia k vertikálnym asymptotom predstavuje správanie, pri ktorom sa funkcia neobmedzene zvyšuje alebo znižuje.

Nuly alebo korene cotangentnej funkcie sa nachádzajú na nepárnych násobkoch π / 2. To znamená, že Ctg x = 0 platí pre hodnoty tvaru x = nπ / 2 s n nepárnym celým číslom.

demonštrácie

Existujú 2 spôsoby, ako dokázať derivát funkcie cotangent.

Trigonometrický diferenciálny dôkaz

Je dokázaný derivát cotangentu z jeho ekvivalentu v sine a cosine.

Považuje sa to za derivát rozdelenia funkcií

Po odvodení sú faktory zoskupené a cieľom je napodobniť pythagorské identity

Nahradenie totožnosti a použitie reciprocity, výraz

Dôkaz podľa definície derivátu

Nasledujúci výraz zodpovedá derivátu podľa definície. Ak sa vzdialenosť medzi 2 bodmi funkcie blíži nule.

Náhradou za cotangent máme:

Identity sa používajú na súčet argumentov a reciprocity

Časť čitateľa sa tradične prevádzkuje

Elimináciou opačných prvkov a prijatím spoločného faktora získame

Použitie pythagorovských identít a reciprocity musíme

Prvky vyhodnotené v x sú s ohľadom na limit konštantné, a preto môžu opúšťať argument. Potom sa použijú vlastnosti trigonometrických limitov.

Limit sa vyhodnocuje

Potom sa faktoruje, až kým sa nedosiahne požadovaná hodnota

Derivát cotangentu je teda ukázaný ako opak štvorca cosecantu.

Riešené cvičenia

Cvičenie 1

Na základe funkcie f (x) definujte výraz f '(x)

Zodpovedajúca derivácia sa použije pri rešpektovaní pravidla reťazca

Odvodenie argumentu

Niekedy je potrebné použiť recipročné alebo trigonometrické identity na prispôsobenie riešení.

Cvičenie 2

Definujte diferenciálny výraz zodpovedajúci F (x)

Podľa derivačného vzorca a pri rešpektovaní pravidla reťazca

Argument je odvodený, zatiaľ čo zvyšok zostáva rovnaký

Odvodenie všetkých prvkov

Tradičným spôsobom fungujú výrobky rovnakej základne

Pridajú sa rovnaké prvky a extrahuje sa spoločný faktor

Značky sú zjednodušené a ovládané. Dáva cestu k úplne odvodenému výrazu

Referencie

1. Trigonometrické série, zväzok 1. A. Zygmund. Cambridge University Press, 2002
2. Počet jednotlivých premenných. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. novembra 2008
3. Matematický počet s trigonometriou a analytickou geometriou. John H. Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey. Saxon Publishers, 1988
4. Multivariabilná analýza. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. decembra. 2010
5. Dynamika systému: Modelovanie, simulácia a riadenie mechatronických systémov. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. marca 2012
6. Matematika a modelovanie. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. januára 1999