KURTÓZA: DEFINÍCIA, TYPY, VZORCE, NA ČO SLÚŽI - DUDAS - 2026

Špicatosti alebo špicatosti je štatistický parameter použiť na charakterizáciu rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej, udávajúce mieru koncentrácie hodnôt okolo centrálnej opatrenia. Toto sa tiež nazýva „najvyššia známka“.

Tento výraz pochádza z gréckeho „kurtos“, čo znamená klenutie, preto kurtóza označuje stupeň nasmerovania alebo sploštenia rozloženia, ako vidieť na nasledujúcom obrázku:

Obrázok 1. Rôzne typy kurtózy. Zdroj: F. Zapata.

Takmer všetky hodnoty náhodnej premennej majú tendenciu zhlukovať sa okolo centrálnej hodnoty, ako je priemer. V niektorých rozdeleniach sú však hodnoty viac rozptýlené ako v iných, čo vedie k plochejším alebo tenším krivkám.

definícia

Kurtóza je numerická hodnota typická pre každé frekvenčné rozdelenie, ktoré sa podľa koncentrácie hodnôt okolo priemeru klasifikujú do troch skupín:

- Leptokurtic: v ktorom sú hodnoty veľmi zoskupené okolo priemeru, takže rozdelenie je dosť ostré a štíhle (obrázok 1, vľavo).

- Mesocúrtic: má strednú koncentráciu hodnôt okolo priemeru (obrázok 1 v strede).

- Platicúrtica: toto rozdelenie má širší tvar, pretože hodnoty majú tendenciu byť viac rozptýlené (obrázok 1 napravo).

Vzorce a rovnice

Kurtóza môže mať akúkoľvek hodnotu, bez obmedzenia. Jeho výpočet sa vykonáva v závislosti od spôsobu dodania údajov. V každom prípade sa používa zápis:

- Účinok kurtózy: g ₂

-Aritmetický priemer: X alebo x so stĺpcom

-An i-tá hodnota: x _i

- Štandardná odchýlka: σ

-Počet údajov: N

- Frekvencia i-tej hodnoty: f _i

- Značka triedy: mx _i

V tomto zápise uvádzame niektoré z najpoužívanejších vzorcov na nájdenie kurtózy:

- Kurtóza podľa predloženia údajov

Údaje nie sú zoskupené alebo zoskupené podľa frekvencií

Dáta zoskupené v intervaloch

Nadmerná kurtóza

Tiež sa nazýva Fisherov cieliaci koeficient alebo Fisherova miera, používa sa na porovnanie skúmanej distribúcie s normálnym rozdelením.

Ak je nadmerná kurtóza 0, nachádzame sa v normálnom rozdelení alebo gaussovskom zvonku. Týmto spôsobom vždy, keď sa počíta nadbytok kurtózy distribúcie, skutočne ju porovnávame s normálnym rozdelením.

Fisherov ukazovací koeficient, označený ako K, pre neskupené aj združené údaje je:

K = g ₂ - 3

Teraz je možné preukázať, že kurtóza normálneho rozdelenia je 3, preto ak Fisherov ukazovací koeficient je 0 alebo blízko 0 a existuje medzokrukturálne rozdelenie. Ak K> 0 je distribúcia leptokurtická a ak K <0, je platicúrtická.

Na čo je kurtóza?

Kurtóza je miera variability, ktorá sa používa na charakterizáciu morfológie distribúcie. Týmto spôsobom je možné porovnávať symetrické distribúcie s rovnakým priemerom a rovnakou disperziou (dané štandardnou odchýlkou).

Meranie variability zaisťuje spoľahlivosť priemerov a pomáha kontrolovať odchýlky v distribúcii. Ako príklad sa pozrime na tieto dve situácie.

Platy 3 rezortov

Predpokladajme, že nasledujúci graf zobrazuje rozdelenie platov 3 oddelení tej istej spoločnosti:

Obrázok 2. Tri distribúcie s rôznymi kurtózami ilustrujú praktické situácie. (Pripravil Fanny Zapata)

Krivka A je najtenšia zo všetkých a z jej formy je možné odvodiť, že väčšina platov tohto oddelenia je veľmi blízko priemeru, preto väčšina zamestnancov dostáva podobnú kompenzáciu.

Pokiaľ ide o oddelenie B, mzdová krivka sleduje normálne rozdelenie, pretože je mezokurtická, v ktorej predpokladáme, že mzdy boli rozdelené náhodne.

A konečne máme krivku C, ktorá je veľmi plochá, čo je znamením, že v tomto oddelení je mzdové rozpätie oveľa širšie ako v ostatných.

Výsledky skúšky

Teraz predpokladajme, že tri krivky na obrázku 2 predstavujú výsledky skúšky aplikovanej na tri skupiny študentov toho istého predmetu.

Skupina, ktorej ratingy sú reprezentované leptokurtovou krivkou, je pomerne homogénna, väčšina získala priemerné alebo blízke hodnotenie.

Je tiež možné, že výsledok bol spôsobený tým, že testovacie otázky mali viac-menej rovnaký stupeň obtiažnosti.

Na druhej strane výsledky skupiny C naznačujú väčšiu heterogenitu v skupine, ktorá pravdepodobne obsahuje priemerných študentov, niektorých zvýhodnených študentov a iste menej menej pozorných.

Alebo to môže znamenať, že testovacie otázky mali veľmi odlišné stupne obtiažnosti.

Krivka B je mezokutická, čo naznačuje, že výsledky testu boli normálne rozdelené. Toto je zvyčajne najčastejší prípad.

Spracovaný príklad kurtózy

Nájdite Fisherov bodovací koeficient pre nasledujúce stupne, získaný pri fyzickej skúške, skupine študentov so stupnicou od 1 do 10:

Riešenie

Nasledujúci výraz sa použije pre neskupované údaje uvedené v predchádzajúcich oddieloch:

K = g ₂ - 3

Táto hodnota vám umožňuje poznať typ distribúcie.

Pre výpočet g _{2, že} je vhodné, aby to v riadnej ceste, krok za krokom, pretože niekoľko početné operácie je potrebné riešiť.

Krok 1

Najprv sa vypočíta priemer známok. K dispozícii sú údaje N = 11.

Krok 2

Zistí sa štandardná odchýlka, pre ktorú sa používa táto rovnica:

σ = 1,992

Alebo si tiež môžete zostaviť tabuľku, ktorá sa vyžaduje aj pre nasledujúci krok a v ktorej sa zapisuje každý termín potrebných súhrnov, začínajúci (x _i - X), potom (x _i - X) ² a potom (x _i - X) ⁴ :

Krok 3

Vykonajte súčet uvedený v čitateli vzorca pre g ₂ . Na tento účel sa použije výsledok pravého stĺpca predchádzajúcej tabuľky:

Σ (x _i - X) ⁴ = 290,15

teda:

g ₂ = (1/11) x 290.15 /1.992 ⁴ = 1,675

Fisherov ukazovací koeficient je:

K = g ₂ - 3 = 1,675-3 = -1,325

Zaujímavé je znamenie výsledku, ktorý, ak je negatívny, zodpovedá platicúrtickému rozdeleniu, ktoré možno interpretovať tak, ako sa to urobilo v predchádzajúcom príklade: možno ide o heterogénny kurz so žiakmi rôzneho stupňa záujmu alebo boli skúšobné otázky rôznych stupňov obtiažnosti.

Použitie tabuľky ako Excel veľmi uľahčuje riešenie týchto typov problémov a tiež ponúka možnosť grafického rozdelenia.

Referencie

1. Levin, R. 1988. Štatistika pre správcov. 2 .. Vydanie. Prentice Hall.
2. Marco, F. Curtosis. Obnovené z: ekonomipedia.com.
3. Oliva, J. Asymetria a kurtóza. Obnovené z: statisticaucv.files.wordpress.com.
4. Spurr, W. 1982. Rozhodovanie v riadení. Limusa.
5. Wikipedia. Špicatosť. Obnovené z: en.wikipedia.org.