TRINOMIÁL TVARU X ^ 2 + BX + C (S PRÍKLADMI) - MATEMATIKA - 2025

Predtým, ako sa naučíme riešiť trinomiál formy x ^ 2 + bx + c , a ešte predtým, ako poznáme trinomál, je dôležité poznať dva základné pojmy; a to pojmy monomické a polynómické. Monomial je výraz typu a * x ⁿ , kde a je racionálne číslo, n je prirodzené číslo a x je premenná.

Polynóm je lineárna kombinácia monomials v podobe A _n * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 + … + a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀ , pričom každý _i , s i = 0,…, n, je racionálne číslo, n je prirodzené číslo a a_n je nenulové. V tomto prípade je stupeň polynómu označený ako n.

Polynóm tvorený súčtom iba dvoch výrazov (dva monomény) rôznych stupňov sa nazýva binomický.

trinomials

Polynóm tvorený súčtom iba troch pojmov (tri monomény) rôznych stupňov sa nazýva trinomial. Nasledujú príklady trinomiálov:

• x ³ + x ² + 5x
• 2x ⁴ -x ³ 5
• x ² + 6x + 3

Existuje niekoľko druhov trinomiálov. Z nich vyniká dokonalý trojhranný štvorec.

Perfektný štvorcový trojhran

Perfektný trojhranný trojuholník je výsledkom zarovnania binomického poľa. Napríklad:

• (3x-2) ² = 9x ² -12x + 4
• (2x ³ + y) ² = 4x ⁶ + 4x ³ y + y ²
• (4x ² -2y ⁴ ) ² = 16x ⁴ -16x ² y ⁴ + 4y ⁸
• 1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² = (1 / 4xy ⁴ ) ² -2 (1 / 4xy ⁴ ) z + z ² = (1 / 4xy ^4-z ) ²

Charakteristiky trinomiálov 2. triedy

Perfektné námestie

Všeobecne platí, že trinomiál tvaru ax ² + bx + c je dokonalý štvorec, ak je jeho rozlišovací znak rovný nule; to znamená, že ak b ² -4ac = 0, pretože v tomto prípade bude mať jeden koreň a dá sa vyjadriť vo forme a (xd) ² = (√a (xd)) ² , kde d je už uvedený koreň.

Koreň polynómu je číslo, v ktorom sa polynóm stane nulou; inými slovami, číslo, ktoré pri nahradení x v polynomickom výraze vyústi v nulu.

Riešenie vzorca

Všeobecný vzorec na výpočet koreňov druhého stupňa druhého stupňa tvaru ax ² + bx + c je rezolučný vzorec, ktorý uvádza, že tieto korene sú dané ako (–b ± √ (b ² -4ac)) / 2a, b, kde ² je -4ac známy ako diskriminačné a je zvyčajne označovaný delta. Z tohto vzorca vyplýva, že ax ² + bx + c má:

- Dva rôzne skutočné korene, ak ∆> 0.

- Jeden skutočný koreň, ak ∆ = 0.

- Nemá skutočný koreň, ak ∆ <0.

V nasledujúcom texte sa budú brať do úvahy iba trinomiály tvaru x ² + bx + c, pričom c musí byť jednoznačne číslo iné ako nula (inak by to bolo binomické). Tieto typy trinomiálov majú určité výhody pri faktoringu a práci s nimi.

Geometrická interpretácia

Geometricky je trinomial x ² + bx + c je parabola, ktorá sa otvára smerom nahor a má vrchol v bode (-b / 2, -B ² /4 + c) kartézského lietadla, že x ² + bx + c = ( x + b / 2) ² -b ² /4 + c.

To znižuje parabola osi y v bode (0, c) a s osou X v bodoch (d ₁ , 0) a (D ₂ , 0); potom d ₁ a d ₂ sú korene trinomial. Môže sa stať, že trinomiál má jediný koreň d, v takom prípade by jediný rez s osou X bol (d, 0).

Môže sa tiež stať, že trinomiál nemá skutočný koreň, v takom prípade by sa v žiadnom bode nepretína s osou X.

Napríklad x ² + 6 x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² je parabola s vrcholom na (-3,0), ktorý pretína os Y pri (0, 9) a na os X pri (-3,0).

Trinomiálny faktoring

Veľmi užitočným nástrojom pri práci s polynómami je faktoring, ktorý spočíva v vyjadrení polynómu ako súčinu faktorov. Všeobecne platí, že daný trinomial v tvare x ² + bx + c, v prípade, že má dva rôzne korene d ₁ a d ₂ , môže byť zapracované ako (xD ₁ ) (xD ₂ ).

Ak má jeden koreň d, môže byť faktorizovaný ako (xd) (xd) = (xd) ² , a ak nemá skutočný koreň, zostáva rovnaký; v tomto prípade nepripúšťa faktorizáciu ako produkt iných faktorov ako sám o sebe.

To znamená, že poznajúc korene trinomiálu v už zavedenej forme, je možné ľahko vyjadriť jeho faktorizáciu a, ako už bolo uvedené vyššie, tieto korene možno vždy určiť pomocou rezolúcie.

Existuje však značné množstvo tohto typu trinomálov, ktoré je možné faktorovať bez toho, aby sa najprv poznali ich korene, čo zjednodušuje prácu.

Korene môžu byť stanovené priamo z faktorizácie bez použitia rozlišovacieho vzorca; jedná sa o polynómy tvaru x ² + (a + b) x + ab. V tomto prípade máme:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Z toho je zrejmé, že korene sú –a a –b.

Inými slovami, vzhľadom na trinomiálne x ² + bx + c, ak existujú dve čísla u a v také, že c = uv a b = u + v, potom x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

To znamená, že vzhľadom na trinomiálne x ² + bx + c sa najprv overí, či existujú dve čísla také, že vynásobením udávajú nezávislý výraz (c) a sčítajú (alebo odčítajú, v závislosti od prípadu), poskytujú výraz, ktorý sprevádza x ( b).

Túto metódu nie je možné použiť pri všetkých trinomiáloch; ak to nie je možné, použije sa rozlíšenie a vyššie uvedené platí.

Príklady

Príklad 1

Ak chcete faktor trinomiálny x ² + 3x + 2, postupujte nasledovne:

Musíte nájsť dve čísla také, že pri ich pridávaní je výsledok 3 a pri ich násobení je výsledok 2.

Po vykonaní inšpekcie možno dospieť k záveru, že hľadané čísla sú: 2 a 1. Preto x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Príklad 2

Aby sme faktorili trinomiálne x ² -5x + 6, hľadáme dve čísla, ktorých súčet je -5 a ich súčin je 6. Čísla, ktoré spĺňajú tieto dve podmienky, sú -3 a -2. Preto je faktorizácia daný trinomial znamená x ² -5x blikne + 6 = (X-3), (X-2).

Referencie

1. Fuentes, A. (2016). ZÁKLADNÁ MATH. Úvod do počtu. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratické rovnice: Ako vyriešiť kvadratickú rovnicu. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF, a Paul, RS (2003). Matematika pre riadenie a ekonomiku. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Prah.
5. Preciado, CT (2005). Kurz matematiky 3.. Redakčný progres.
6. Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Tak ľahké. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra a trigonometria. Pearson Education.