ŠESŤHRANNÁ PYRAMÍDA: DEFINÍCIA, VLASTNOSTI A PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Šesťhranné pyramída je Polyhedron vytvorený v šesťuholníka, ktorý je základom, a šesť trojuholníky, ktoré začínajú od vrcholoch šesťuholníka a stretnú v bode nad rovinou, ktorá obsahuje základňu. Tento súbežný bod je známy ako vrchol alebo vrchol pyramídy.

Mnohosten je uzavreté trojrozmerné geometrické teleso, ktorého plochy sú rovinné útvary. Šesťuholník je útvar v uzavretej rovine (mnohouholník) vytvorený zo šiestich strán. Ak je všetkých šesť strán rovnakej dĺžky a majú rovnaké uhly, hovorí sa, že je to pravidelné; inak je to nepravidelné.

definícia

Šesťuholníková pyramída obsahuje sedem tvárí, základňu a šesť postranných trojuholníkov, ktorých základňa je jediná, ktorá sa nedotýka vrcholu.

Pyramída sa považuje za rovnú, ak všetky bočné trojuholníky sú rovnoramenné. V tomto prípade je výška pyramídy segment, ktorý prechádza z vrcholu do stredu šesťuholníka.

Všeobecne je výška pyramídy vzdialenosť medzi vrcholom a rovinou základne. Pyramída sa považuje za šikmú, ak nie všetky bočné trojuholníky sú rovnoramenné.

Ak je šesťuholník pravidelný a pyramída rovná, hovorí sa o pravidelnom šesťuholníkovom pyramíde. Podobne, ak je hexagon nepravidelný alebo je pyramída šikmá, hovorí sa o nepravidelnej hexagonálnej pyramíde.

vlastnosti

Konkávne alebo vypuklé

Polygon je vypuklý, ak je miera všetkých vnútorných uhlov menšia ako 180 stupňov. Geometricky je to ekvivalentné tvrdeniu, že vzhľadom na pár bodov v mnohouholníku je úsečka, ktorá ich spája, obsiahnutá v mnohouholníku. Inak sa hovorí, že mnohouholník je konkávny.

Ak je hexagon konvexný, pyramída sa považuje za konvexnú hexagonálnu pyramídu. Inak sa bude hovoriť o konkávnej šesťuholníkovej pyramíde.

hrany

Okraje pyramídy sú strany šiestich trojuholníkov, ktoré ju tvoria.

Apothem

Apotém pyramídy je vzdialenosť medzi vrcholom a stranami základne pyramídy. Táto definícia má zmysel iba vtedy, keď je pyramída pravidelná, pretože ak je nepravidelná, táto vzdialenosť sa mení v závislosti od uvažovaného trojuholníka.

Naopak, v bežných pyramídach bude apotém zodpovedať výške každého trojuholníka (pretože každý z nich je rovnoramenný) a bude rovnaký vo všetkých trojuholníkoch.

Apotém základne je vzdialenosť medzi jednou zo strán základne a jej stredom. Z jeho definície má apotém základne zmysel iba v bežných pyramídach.

významov

Výška šesťuholníkovej pyramídy bude označená h , apotém základne (v normálnom prípade) APb a apotém pyramídy (tiež v bežnom prípade) AP .

Charakteristické pre pravidelné šesťuholníkové pyramídy je, že h , APb a AP tvoria pravouhlý trojuholník s preponou AP a nohy h a APb . Pythagorovou vetou máme AP = √ (h ^ 2 + APb ^ 2).

Obrázok hore predstavuje pravidelnú pyramídu.

Ako vypočítať oblasť? vzorca

Zvážte pravidelnú šesťuholníkovú pyramídu. Nech A je miera každej strany šesťuholníka. Potom A zodpovedá miere základne každého trojuholníka pyramídy, a teda okrajom základne.

Plocha mnohouholníka je súčinom obvodu (súčet strán) a apothému základne, deleného dvoma. V prípade šesťuholníka by to bol 3 * A * APb.

Je zrejmé, že plocha pravidelnej šesťuholníkovej pyramídy sa rovná šesťnásobku plochy každého trojuholníka pyramídy plus plochy základne. Ako už bolo uvedené, výška každého trojuholníka zodpovedá apothému pyramídy, AP.

Preto je plocha každého trojuholníka v pyramíde daná A * AP / 2. Plocha pravidelnej hexagonálnej pyramídy je teda 3 * A * (APb + AP), kde A je hrana bázy, APb je apotém bázy a AP apotém pyramídy.

Výpočet v nepravidelných šesťuholníkových pyramídach

V prípade nepravidelnej hexagonálnej pyramídy neexistuje priamy vzorec na výpočet plochy ako v predchádzajúcom prípade. Je to preto, že každý trojuholník v pyramíde bude mať inú oblasť.

V takom prípade sa musí plocha každého trojuholníka vypočítať osobitne a plocha základne. Potom plocha pyramídy bude súčtom všetkých predtým vypočítaných plôch.

Ako vypočítať objem? vzorca

Objem pyramídy pravidelného šesťuholníkového tvaru je súčinom výšky pyramídy a plochy základne delenej tromi. Objem pravidelnej hexagonálnej pyramídy je teda daný A * APb * h, kde A je okraj základne, APb je apotém základne a h je výška pyramídy.

Výpočet v nepravidelných šesťuholníkových pyramídach

Analogicky k oblasti v prípade nepravidelnej hexagonálnej pyramídy neexistuje priamy vzorec na výpočet objemu, pretože okraje základne nemajú rovnaké meranie, pretože ide o nepravidelný mnohouholník.

V takom prípade sa plocha základne musí vypočítať osobitne a objem bude (h * plocha základne) / 3.

príklad

Nájdite plochu a objem pravidelnej šesťuholníkovej pyramídy s výškou 3 cm, ktorej základňou je pravidelný šesťuholník 2 cm na každej strane a apothem základne je 4 cm.

Riešenie

Najprv sa musí vypočítať apotém pyramídy (AP), čo sú jediné chýbajúce údaje. Pri pohľade na vyššie uvedený obrázok je zrejmé, že výška pyramídy (3 cm) a apotém základne (4 cm) tvoria pravouhlý trojuholník; Preto sa na výpočet apotému pyramídy používa Pythagorova veta:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Z vyššie uvedeného vzorca teda vyplýva, že plocha sa rovná 3 * 2 * (4 + 5) = 54 cm ^ 2.

Na druhej strane, pomocou objemového vzorca sa získa, že objem danej pyramídy je 2 * 4 * 3 = 24 cm ^ 3.

Referencie

1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, JW (2013). Matematika: riešenie problémov učiteľov základných škôl. Redaktori López Mateos.
2. Fregoso, RS a Carrera, SA (2005). Matematika 3. Redakčný progres.
3. Gallardo, G., a Pilar, PM (2005). Matematika 6. Redakčný progres.
4. Gutiérrez, CT, a Cisneros, MP (2005). 3. kurz matematiky. Redakčný progres.
5. Kinsey, L., a Moore, TE (2006). Symetria, tvar a priestor: Úvod do matematiky prostredníctvom geometrie (ilustrovaný, dotlač ed.). Springer Science & Business Media.
6. Mitchell, C. (1999). Oslňujúce vzory matematických čiar (ilustrované vydanie). Scholastic Inc.
7. R., MP (2005). Kreslím 6.. Redakčný progres.