- Definícia a vlastnosti
- Exponenciálna funkcia
- Vlastnosti exponenciálnej funkcie
- Logaritmická funkcia
- Vlastnosti logaritmickej funkcie
- Sínusové, kosínusové a tangensové funkcie
- Deriváty a integrály
- Derivát exponenciálnej funkcie
- Integrál exponenciálnej funkcie
- Tabuľka derivátov a integrálov transcendentných funkcií
- Príklady
- Príklad 1
- Príklad 2
- Referencie
Tieto elementárne transcendentný funkcie sú exponenciálny, logaritmické, goniometrické, inverzné goniometrické funkcie, hyperbolické a inverzné hyperbolické funkcie. To znamená, že to nie je možné vyjadriť pomocou polynómu, kvocientu polynómov alebo koreňov polynómov.
Neelementárne transcendentné funkcie sú známe aj ako špeciálne funkcie a medzi nimi je možné pomenovať aj chybovú funkciu. Algebraické funkcie (polynómy, kvocienty polynómov a korene polynómov) spolu s elementárnymi transcendentálnymi funkciami tvoria to, čo sa v matematike nazýva elementárne funkcie.
Za transcendentné funkcie sa považujú tie, ktoré sú výsledkom operácií medzi transcendentnými funkciami alebo medzi transcendentnými a algebraickými funkciami. Týmito operáciami sú: súčet a rozdiel funkcií, súčin a podiel funkcií, ako aj zloženie dvoch alebo viacerých funkcií.
Definícia a vlastnosti
Exponenciálna funkcia
Je to skutočná funkcia skutočnej nezávislej premennej tvaru:
f (x) = a ^ x = a x
kde a je pevné kladné reálne číslo (a> 0) nazývané základňa. Cirkus alebo horný index sa používajú na označenie potencujúcej operácie.
Povedzme a = 2, potom funkcia vyzerá takto:
f (x) = 2 ^ x = 2 x
Ktorá bude vyhodnotená pre niekoľko hodnôt nezávislej premennej x:
Nižšie je uvedený graf, v ktorom je exponenciálna funkcia zastúpená pre niekoľko hodnôt bázy vrátane bázy e (Neperovo číslo e ≃ 2,72). Základňa e je taká dôležitá, že všeobecne hovoríme o exponenciálnej funkcii, o ktorej uvažujeme e ^ x, ktorá sa označuje aj exp (x).
Obrázok 1. Exponenciálna funkcia a ^ x pre rôzne hodnoty bázy a. (Vlastné spracovanie)
Vlastnosti exponenciálnej funkcie
Z obrázku 1 je zrejmé, že doménou exponenciálnych funkcií sú skutočné čísla (Domf = R ) a rozsah alebo cesta sú kladné skutočnosti (Ran f = R + ).
Na druhej strane, bez ohľadu na hodnotu bázy a, všetky exponenciálne funkcie prechádzajú bodom (0, 1) a bodom (1, a).
Keď báza a> 1, potom funkcia stúpa a keď 0 <a <1, funkcia klesá.
Krivky y = a ^ x a y = (1 / a) ^ x sú symetrické okolo osi Y.
S výnimkou prípadu a = 1 je exponenciálna funkcia injektívna, to znamená, že každej hodnote obrázka zodpovedá jedna a iba jedna počiatočná hodnota.
Logaritmická funkcia
Je to reálna funkcia reálnej nezávislej premennej založená na definícii logaritmu čísla. Logaritmus založený na čísle x je číslo y, na ktoré musí byť báza zvýšená, aby sa získal argument x:
log a (x) = y ⇔ a ^ y = x
To znamená, že logaritmická funkcia založená na inverznej funkcii exponenciálnej funkcie na základe.
Napríklad:
log 2 1 = 0, od 2 ^ 0 = 1
Ďalší prípad, log 2 4 = 2, pretože 2 ^ 2 = 4
Koreňový logaritmus 2 je log 2 √2 = ½, pretože 2 = = √2
log 2 ¼ = -2, od 2 ^ (- 2) = ¼
Nižšie je uvedený graf logaritmickej funkcie v rôznych bázach.
Obrázok 2. Exponenciálna funkcia pre rôzne hodnoty základne. (Vlastné spracovanie)
Vlastnosti logaritmickej funkcie
Doménou logaritmickej funkcie y (x) = log a (x) sú kladné reálne čísla R + . Rozsah cestovaní alebo sú reálne čísla R .
Bez ohľadu na základňu logaritmická funkcia vždy prechádza bodom (1,0) a bod (a, 1) patrí do grafu tejto funkcie.
V prípade, že báza a je väčšia ako jednota (a> 1), logaritmická funkcia stúpa. Ale ak (0 <a <1) je to klesajúca funkcia.
Sínusové, kosínusové a tangensové funkcie
Sínusová funkcia priradí skutočné číslo a každej hodnote x, kde x predstavuje mieru uhla v radiánoch. Na získanie hodnoty Sena (x) uhla je uhol znázornený v kruhu jednotky a priemetom uvedeného uhla na vertikálnej osi je sínus zodpovedajúci tomuto uhlu.
Trigonometrický kruh a sínus pre rôzne uhlové hodnoty X1, X2, X3 a X4 sú uvedené nižšie (na obrázku 3).
Obrázok 3. Trigonometrický kruh a sínus rôznych uhlov. (Vlastné spracovanie)
Týmto spôsobom je definovaná maximálna hodnota, ktorú môže mať funkcia Sen (x) 1, ktorá nastane, keď x = π / 2 + 2π n, kde n je celé číslo (0, ± 1, ± 2,). Minimálna hodnota, ktorú môže mať funkcia Sen (x), nastane, keď x = 3π / 2 + 2π n.
Kosínová funkcia y = Cos (x) je definovaná podobným spôsobom, ale premietanie uhlových polôh P1, P2 atď. Sa uskutočňuje na horizontálnej osi trigonometrického kruhu.
Na druhej strane funkcia y = Tan (x) je kvocient medzi sínusovou funkciou a kosínovou funkciou.
Nižšie je uvedený graf transcendentných funkcií Sen (x), Cos (x) a Tan (x)
Obrázok 4. Graf transcendentných funkcií Sine, Cosine a Tangent. (Vlastné spracovanie)
Deriváty a integrály
Derivát exponenciálnej funkcie
Derivácia y 'exponenciálnej funkcie y = a ^ x je funkcia a ^ x vynásobená prirodzeným logaritmom bázy a:
y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a
V konkrétnom prípade bázy e je derivátom exponenciálnej funkcie samotná exponenciálna funkcia.
Integrál exponenciálnej funkcie
Neurčitý integrál ^ x je samotná funkcia delená prirodzeným logaritmom bázy.
V konkrétnom prípade bázy e je integrálom exponenciálnej funkcie samotná exponenciálna funkcia.
Tabuľka derivátov a integrálov transcendentných funkcií
Nižšie je zhrnutá tabuľka hlavných transcendentných funkcií, ich derivátov a neurčitých integrálov (antideriváty):
Tabuľka derivátov a neurčitých integrálov pre niektoré transcendentné funkcie. (Vlastné spracovanie)
Príklady
Príklad 1
Nájdite funkciu, ktorá je výsledkom zloženia funkcie f (x) = x ^ 3 s funkciou g (x) = cos (x):
(hmla) (x) = f (g (x)) = cos 3 (x)
Jeho derivát a neurčitý integrál je:
Príklad 2
Nájdite zloženie funkcie g s funkciou f, kde g af sú funkcie definované v predchádzajúcom príklade:
(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x 3 )
Malo by sa poznamenať, že zloženie funkcií nie je komutatívnou operáciou.
Derivát a neurčitý integrál pre túto funkciu sú:
Integrál bol označený, pretože výsledok nie je možné napísať presne ako kombináciu elementárnych funkcií.
Referencie
- Počet jednotlivých premenných. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. novembra 2008
- Implicitná teória funkcií: História, teória a aplikácie. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9. novembra. 2012
- Multivariabilná analýza. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. decembra. 2010
- Dynamika systému: Modelovanie, simulácia a riadenie mechatronických systémov. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. marca 2012
- Matematika a modelovanie. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. januára 1999
- wikipedia. Transcendentná funkcia. Obnovené z: es.wikipedia.com