ČIASTKOVÉ ZLOMKY: PRÍPADY A PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Tieto čiastkové frakcie sú frakcie tvorené polynómov, v ktorom je menovateľ môžu byť lineárne alebo kvadratickú polynomiálnej a tiež môže byť zvýšený na výkone. Niekedy, keď máme racionálne funkcie, je veľmi užitočné prepísať túto funkciu ako súčet čiastkových zlomkov alebo jednoduchých zlomkov.

Je to tak preto, že týmto spôsobom môžeme lepšie manipulovať s týmito funkciami, najmä v prípadoch, keď je potrebné uvedenú aplikáciu integrovať. Racionálna funkcia je jednoducho kvocientom medzi dvoma polynómami a môžu byť správne alebo nesprávne.

Ak je stupeň polynómu čitateľa menší ako menovateľ, nazýva sa to racionálna správna funkcia; inak je známa ako nevhodná racionálna funkcia.

definícia

Ak máme nesprávnu racionálnu funkciu, môžeme deliť polynóm čitateľa polynómom menovateľa a prepísať tak zlomok p (x) / q (x) podľa algoritmu delenia ako t (x) + s (x) / q (x), kde t (x) je polynóm a s (x) / q (x) je správna racionálna funkcia.

Čiastková frakcia je akákoľvek správna funkcia polynómov, ktorých menovateľ má tvar (ax + b) ⁿ alebo (ax ² + bx + c) ⁿ , ak polynomická sekera ² + bx + c nemá skutočné korene a n je číslo prirodzené.

Aby bolo možné prepísať racionálnu funkciu v parciálnych zlomkoch, prvá vec, ktorú treba urobiť, je faktor menovateľ q (x) ako súčin lineárnych a / alebo kvadratických faktorov. Keď sa tak stane, určia sa čiastkové frakcie, ktoré závisia od povahy týchto faktorov.

prípady

Niekoľko prípadov posudzujeme osobitne.

Prípad 1

Faktory q (x) sú všetky lineárne a žiadne sa neopakuje. To znamená:

q (x) = (a ₁ x + b ₁ ) (a ₂ x + b ₂ )… (a _s x + b _s )

Neexistuje žiadny lineárny faktor totožný s iným. Ak nastane tento prípad, napíšeme:

p (x) / q (x) = a ₁ / (a ₁ x + b ₁ ) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂ ) … + A _s / (a _s x + b _y ).

Kde A ₁ , A ₂ , …, a _to sú konštanty, ktoré majú byť nájdené.

príklad

Chceme rozložiť racionálnu funkciu na jednoduché zlomky:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Pristúpime k faktoru menovateľa, ktorým je:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

potom:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Použitím najmenej spoločného násobku je možné získať, že:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Chceme získať hodnoty konštánt A, B a C, ktoré možno nájsť nahradením koreňov, ktoré rušia každý z výrazov. Nahradenie 0 za x máme:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = -1/2.

Nahradenie - 1 za x máme:

- 1 - 1 = A (-1 + 1) (-1 + 2) + B (-1 + 2) (-1) + C (-1 + 1) (-1).

- 2 = - B

B = 2.

Nahradenie - 2 za x máme:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3,3.

Týmto spôsobom sa získajú hodnoty A = -1/2, B = 2 a C = -3/2.

Existuje ďalšia metóda na získanie hodnôt A, B a C. Ak na pravej strane rovnice x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x kombinujeme pojmy, máme:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Keďže ide o rovnoprávnosť polynómov, máme rovnaké koeficienty na ľavej strane ako koeficienty na pravej strane. Výsledkom je nasledujúci systém rovníc:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = -1

Pri riešení tohto systému rovníc dostaneme výsledky A = -1/2, B = 2 a C = -3/2.

Nakoniec, nahradením získaných hodnôt, máme nasledujúce:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Prípad 2

Faktory q (x) sú všetky lineárne a niektoré sa opakujú. Predpokladajme, že (ax + b) je faktor, ktorý opakuje časy „s“; potom tomuto faktoru zodpovedá súčet čiastkových frakcií.

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 +… + A ₁ / (ax + b).

Kde A _s , A _s-1 , …, A ₁ sú konštanty, ktoré majú byť stanovené. V nasledujúcom príklade ukážeme, ako tieto konštanty určiť.

príklad

Rozkladajte sa na čiastkové frakcie:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ )

Racionálnu funkciu píšeme ako súčet čiastkových zlomkov nasledovne:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2) ).

potom:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

Nahradením 2 za x máme nasledujúce:

7 = 4 ° C, to znamená, C = 7/4.

Nahradenie 0 za x máme:

- 1 = –8A alebo A = 1/8.

Nahradením týchto hodnôt v predchádzajúcej rovnici a vývojom máme toto:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Pr. ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

Rovnocenné koeficienty získame nasledujúci systém rovníc:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Pri riešení systému máme:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Preto musíme:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

Prípad 3

Faktory q (x) sú lineárne kvadratické, bez akýchkoľvek opakovaných kvadratických faktorov. V tomto prípade bude kvadratický faktor (ax ² + bx + c) zodpovedať čiastočnej frakcii (Ax + B) / (ax ² + bx + c), pričom konštanty A a B sú tie, ktoré sa určia.

Nasledujúci príklad ukazuje, ako postupovať v tomto prípade

príklad

Rozkladá sa na jednoduché frakcie a (x + 1) / (x ³ - 1).

Najprv pristúpime k faktoru menovateľa, ktorý nám v dôsledku toho poskytne:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Môžeme pozorovať, že (x ² + x + 1) je ireducibilný kvadratický polynóm; to znamená, že nemá skutočné korene. Jeho rozklad na čiastkové frakcie bude nasledovný:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

Z toho získame nasledujúcu rovnicu:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

Použitím rovnosti polynómov získame nasledujúci systém:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

Z tohto systému máme, že A = 2/3, B = - 2/3 a C = 1/3. Nahradením máme toto:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

Prípad 4

Nakoniec prípad 4 je taký, v ktorom sú faktory q (x) lineárne a kvadratické, pričom niektoré lineárne kvadratické faktory sa opakujú.

V tomto prípade, ak (ax ² + bx + c) je kvadratický faktor, ktorý opakuje časy „s“, potom čiastočná frakcia zodpovedajúca faktoru (ax ² + bx + c) bude:

(A ₁ x + B) / (ax ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1 ) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s ) / (ax ² + bx + c) ^s

Kde A _s , A _s-1 , …, A a B _s , B _s-1 , …, B sú konštanty, ktoré majú byť stanovené.

príklad

Chceme rozložiť nasledujúcu racionálnu funkciu na čiastkové zlomky:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² )

Pretože x ² - 4x + 5 je ireducibilný kvadratický faktor, jeho rozklad na čiastkové frakcie je daný:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

Zjednodušenie a rozvoj, máme:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Z vyššie uvedeného máme nasledujúci systém rovníc:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Pri riešení systému nám zostáva:

A = -2/25, B = 2/25, C = -8/25, D = 2/5 a E = -3/5.

Nahradením získaných hodnôt máme:

(X - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x 5) + (2 x - 3) / 5 (x ² - 4x + 5) ²

aplikácia

Integrálny počet

Čiastkové frakcie sa používajú predovšetkým na štúdium integrálneho počtu. Tu je niekoľko príkladov, ako vykonávať integrály pomocou čiastkových zlomkov.

Príklad 1

Chceme vypočítať integrál:

Vidíme, že menovateľ q (x) = (t + 2) ² (t + 1) sa skladá z lineárnych faktorov, kde sa jeden z nich opakuje; Preto sme v prípade 2.

Musíme:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Prepíšeme rovnicu a máme:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Ak t = - 1, máme:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Ak t = - 2, dáva nám to:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = -1

Potom, ak t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Nahradenie hodnôt A a C:

1 = -1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Z vyššie uvedeného vyplýva, že B = - 1.

Integrál prepíšeme takto:

Pokračujeme v jeho riešení substitučnou metódou:

Toto je výsledok:

Príklad 2

Vyriešte tento integrál:

V tomto prípade môžeme faktor aq (x) = x ² - 4 ako q (x) = (x - 2) (x + 2). Jednoznačne sme v prípade 1. Preto:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Môže sa vyjadriť aj ako:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Ak x = - 2, máme:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

A ak x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Zostáva nám teda riešenie daného integrálu ako riešenie:

Výsledkom je:

Príklad 3

Vyriešte integrál:

Máme q (x) = 9x ⁴ + x ² , ktoré môžeme započítať do q (x) = x ² (9x ² + 1).

Tentoraz máme opakovaný lineárny faktor a kvadratický faktor; to znamená, že sme v prípade 3.

Musíme:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Zoskupením a použitím rovnakých polynómov máme:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Z tohto systému rovníc máme:

D = - 9 a C = 0

Týmto spôsobom máme:

Riešením vyššie uvedeného máme:

Zákon o hromadnom konaní

Zaujímavé uplatnenie čiastkových frakcií aplikovaných na integrálny počet sa nachádza v chémii, presnejšie v zákone masovej akcie.

Predpokladajme, že máme dve látky, A a B, ktoré sa spoja a tvoria látku C, takže derivát množstva C vzhľadom na čas je úmerný súčinu množstiev A a B v ktoromkoľvek danom okamihu.

Zákon o hromadnom konaní môžeme vyjadriť takto:

V tomto vyjadrení a je počiatočný počet gramov zodpovedajúcich A a p počiatočný počet gramov zodpovedajúcich B.

Ďalej r a s predstavujú počet gramov A a B, ktoré sa kombinujú a vytvárajú r + s gramy C. Čo sa týka časti x, predstavuje počet gramov látky C v čase t a K je konštanta proporcionality. Vyššie uvedená rovnica sa dá prepisovať ako:

Vykonajte túto zmenu:

Máme, že rovnica sa stáva:

Z tohto výrazu môžeme získať:

Ak a ≠ b, na integráciu sa môžu použiť čiastkové zlomky.

príklad

Vezmime napríklad látku C, ktorá vzniká kombináciou látky A a B takým spôsobom, že je splnené hromadné právo, ak hodnoty a a b sú 8 a 6. Dajte rovnicu, ktorá nám dáva hodnotu gramov C ako funkciu času.

Nahradením hodnôt v danom masovom zákone máme:

Pri oddeľovaní premenných máme:

Tu 1 / (8 - x) (6 - x) možno písať ako súčet čiastkových zlomkov takto:

1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Ak nahradíme 6 za x, máme B = 1/2; a nahradením 8 za x máme A = - 1/2.

Integráciou čiastočnými zlomkami máme:

Výsledkom je:

Diferenciálne rovnice: logistická rovnica

Ďalšou aplikáciou, ktorá môže byť poskytnutá parciálnym zlomkom, je logistická diferenciálna rovnica. V jednoduchých modeloch máme, že miera rastu populácie je úmerná jej veľkosti; to znamená:

Tento prípad je ideálny a považuje sa za realistický, až kým sa nestane, že zdroje dostupné v systéme nie sú dostatočné na podporu obyvateľstva.

V týchto situáciách je najrozumnejšou vecou myslieť si, že existuje maximálna kapacita, ktorú nazývame L, ktorú systém dokáže udržať, a že miera rastu je úmerná veľkosti obyvateľstva vynásobenej dostupnou veľkosťou. Tento argument vedie k nasledujúcej diferenciálnej rovnici:

Tento výraz sa nazýva logistická diferenciálna rovnica. Je to separovateľná diferenciálna rovnica, ktorá sa dá vyriešiť metódou integrácie čiastočnej frakcie.

príklad

Príkladom by bolo zvážiť populáciu, ktorá rastie podľa nasledujúcej logistickej diferenciálnej rovnice y '= 0,0004y (1000 - y), ktorej počiatočné údaje sú 400. Chceme vedieť veľkosť populácie v čase t = 2, kde sa meria t v rokoch.

Ak píšeme y 's Leibnizovou notáciou ako funkciou, ktorá závisí od t, máme:

Integrál na ľavej strane je možné vyriešiť pomocou metódy integrácie čiastočnej frakcie:

Túto poslednú rovnosť môžeme prepísať takto:

- Pri nahradení y = 0 máme, že A sa rovná 1/1000.

- Pri nahradení y = 1000 máme, že B sa rovná 1/1000.

Pri týchto hodnotách je integrál nasledovný:

Riešením je:

Použitie počiatočných údajov:

Pri zúčtovaní máme:

Potom to máme na t = 2:

Na záver možno povedať, že po 2 rokoch je veľkosť populácie približne 597,37.

Referencie

1. A, RA (2012). Matematika 1. Universidad de los Andes. Rada pre publikácie.
2. Cortez, I., & Sanchez, C. (nd). 801 Vyriešené integrály. Národná experimentálna univerzita v Tachire.
3. Leithold, L. (1992). Výpočet s analytickou geometriou. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Kalkulácia. Mexiko: Pearson Education.
5. Saenz, J. (nd). Integrálny počet. Prepona.