NEKONEČNÁ MNOŽINA: VLASTNOSTI, PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Nekonečnou množinou sa rozumie tá množina, v ktorej je počet jej prvkov nezapočítateľný. To znamená, že bez ohľadu na to, aký veľký je počet jej prvkov, je vždy možné nájsť viac.

Najbežnejším príkladom je nekonečná množina prirodzených čísel N . Nezáleží na tom, aké veľké je číslo, pretože vždy môžete získať väčšie číslo v procese, ktorý nemá koniec:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………… ……………………}

Obrázok 1. Symbol nekonečna. (Pixabay)

Súbor hviezd vo vesmíre je určite obrovský, nie je však isté, či je konečný alebo nekonečný. Na rozdiel od počtu planét v slnečnej sústave, ktorá je známa ako konečná súprava.

Vlastnosti nekonečnej množiny

Medzi vlastnosti nekonečných množín môžeme uviesť nasledujúce:

1 - Spojenie dvoch nekonečných množín vedie k vzniku novej nekonečnej množiny.

2. Spojenie konečnej súpravy s nekonečnou vedie k vzniku novej nekonečnej súpravy.

3 - Ak je podmnožina danej množiny nekonečná, potom je pôvodná množina tiež nekonečná. Vzájomné vyhlásenie nie je pravdivé.

Nemôžete nájsť prirodzené číslo schopné vyjadriť mohutnosť alebo počet prvkov nekonečnej množiny. Nemecký matematik Georg Cantor však predstavil pojem transfinitné číslo, ktorý označuje nekonečné poradové číslo väčšie ako akékoľvek prirodzené číslo.

Príklady

Prírodné N

Najčastejším príkladom nekonečnej množiny je prírodný počet. Prirodzené čísla sú tie, ktoré sa používajú na spočítanie, avšak celé čísla, ktoré môžu existovať, sú nepočítateľné.

Súbor prírodných čísel nezahŕňa nulu a bežne sa označuje ako množina N , ktorá sa v rozsiahlej forme vyjadruje takto:

N = {1, 2, 3, 4, 5, ….} Je to jednoznačne nekonečná množina.

Elipsa sa používa na označenie, že po jednom čísle nasleduje ďalšie a potom ďalšie v nekonečnom alebo nekonečnom procese.

Sada prírodných čísel spojených s množinou, ktorá obsahuje nulu (0), sa nazýva množina N + .

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ….} Čo je výsledkom spojenia nekonečnej množiny N s konečnou množinou O = {0}, čo vedie k nekonečnej množine N + .

Celé čísla Z

Množinu celých čísel Z tvoria prirodzené čísla, prirodzené čísla so záporným znamienkom a nula.

Celé čísla Z sa považujú za vývoj prirodzených čísel N použitých pôvodne a primitívne v procese počítania.

V číselnej množine Z celých čísel je nula zahrnutá na počítanie alebo počítanie ničho a záporné čísla na počítanie extrakcie, straty alebo nedostatku niečoho.

Na ilustráciu tejto myšlienky predpokladajme, že na bankovom účte sa objaví záporný zostatok. To znamená, že účet je pod nulou a nielen je prázdny, ale má aj chýbajúci alebo negatívny rozdiel, ktorý musí byť nejako doplnený banke.

V rozsiahlej podobe je napísaná nekonečná množina Z celých čísel takto:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …… ..}

Odôvodnenie Q

Pri vývoji procesu počítania a výmeny vecí sa objavuje tovar alebo služby, zlomkové alebo racionálne čísla.

Napríklad pri výmene polovice bochníka za dve jablká v čase zaznamenania transakcie došlo k niekomu, že polovica by mala byť napísaná ako jedna delená alebo rozdelená na dve časti: ½. Ale polovica polovice chleba by sa zaznamenala do účtov takto: ½ / ½ = ¼.

Je zrejmé, že tento proces delenia môže byť teoreticky nekonečný, hoci v praxi je to až do dosiahnutia poslednej častice chleba.

Súbor racionálnych (alebo zlomkových) čísel sa označuje takto:

Q = {………, -3,…., -2,… .., -1, ……, 0, ….., 1, ……, 2,… .., 3, …… ..}

Elipsa medzi dvoma celými číslami znamená, že medzi týmito dvoma číslami alebo hodnotami sú nekonečné oddiely alebo delenia. Preto sa hovorí, že skupina racionálnych čísel je nekonečne hustá. Je to tak preto, že bez ohľadu na to, ako blízko môžu byť dve racionálne čísla k sebe, možno nájsť nekonečné hodnoty.

Na ilustráciu vyššie uvedeného predpokladajme, že sme požiadaní, aby sme našli racionálne číslo medzi 2 a 3. Toto číslo môže byť 2⅓, čo je známe ako zmiešané číslo pozostávajúce z 2 celých častí plus jedna tretina jednotky, čo je zodpovedá písaniu 4/3.

Medzi 2 a 2⅓ sa nachádza ďalšia hodnota, napríklad 2⅙. A medzi 2 a 2⅙ možno nájsť inú hodnotu, napríklad 2⅛. Medzi nimi, medzi sebou, druhým a druhým.

Obrázok 2. Nekonečné delenia v racionálnych číslach. (wikimedia commons)

Iracionálne čísla I

Existujú čísla, ktoré nemožno zapísať ako delenie alebo zlomok dvoch celých čísel. Je to táto numerická množina, ktorá je známa ako množina I iracionálnych čísel a je tiež nekonečnou množinou.

Niektoré pozoruhodné prvky alebo predstavitelia tejto číselnej množiny sú číslo pi (π), Eulerovo číslo (e), zlatý pomer alebo zlaté číslo (φ). Tieto čísla je možné zapísať iba zhruba racionálnym číslom:

π = 3,1415926535897932384626433832795 …… (a pokračuje do nekonečna a ďalej …)

e = 2.7182818284590452353602874713527 ……. (a pokračuje ďalej ako nekonečno …)

φ = 1.61803398874989484820 …… .. (do nekonečna … .. a za … ..)

Iné iracionálne čísla sa objavujú, keď sa snažíme nájsť riešenia veľmi jednoduchých rovníc, napríklad rovnica X ^ 2 = 2 nemá presné racionálne riešenie. Presné riešenie je vyjadrené nasledujúcim symbolom: X = √2, ktorý sa číta x rovná sa koreňom dva. Približný racionálny (alebo desatinný) výraz pre √2 je:

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097.

Existuje nespočetné iracionálne čísla, napríklad √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖).

Súbor skutočností R

Reálne čísla sú čísla, ktoré sa najčastejšie používajú v matematických výpočtoch, fyzike a strojárstve. Táto množina čísel predstavuje spojenie racionálnych čísel Q a iracionálnych čísel I :

R = Q U I

Nekonečno väčšie ako nekonečno

Medzi nekonečnými množinami sú niektoré väčšie ako iné. Napríklad množina prirodzených čísel N je nekonečný, ale je podmnožina celé čísla Z , ktorý je nekonečný, takže nekonečný množina Z je väčšia ako nekonečné množine N .

Podobne, súbor celých čísel Z je podmnožinou reálnych čísel R , a preto je množina R je "nekonečno" Nekonečná množina Z .

Referencie

1. Celeberrima. Príklady nekonečných množín. Získané z: celeberrima.com
2. Fuentes, A. (2016). ZÁKLADNÁ MATH. Úvod do počtu. Lulu.com.
3. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratické rovnice: Ako vyriešiť kvadratickú rovnicu. Marilù Garo.
4. Haeussler, EF, a Paul, RS (2003). Matematika pre riadenie a ekonomiku. Pearson Education.
5. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Prah.
6. Preciado, CT (2005). Kurz matematiky 3.. Redakčný progres.
7. Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Tak ľahké. Team Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Algebra a trigonometria. Pearson Education.
9. Wikipedia. Nekonečná súprava. Obnovené z: es.wikipedia.com