PERMUTÁCIE BEZ OPAKOVANIA: VZORCE, DÔKAZY, CVIČENIA, PRÍKLADY - DUDAS - 2025

Permutácie bez opakovania n prvky sú rôzne skupiny rôznych prvkov, ktoré môžu byť získané z neopakuje žiadny prvok, len sa mení poradie umiestnenia prvkov.

Na zistenie počtu permutácií bez opakovania sa používa nasledujúci vzorec:

Pn = n!

Rozšírené by bolo Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) … (2) (1).

Takže v predchádzajúcom praktickom príklade by sa uplatňovalo takto:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 rôznych 4-ciferných čísel.

Celkom je to 24 polí: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Ako je vidieť, v žiadnom prípade sa neopakuje, pretože je to 24 rôznych čísel.

Demo a vzorce

24 Usporiadanie 4 rôznych čísel

Presnejšie sa chystáme analyzovať príklad 24 rôznych 4-ciferných polí, ktoré je možné vytvoriť pomocou číslic čísla 2468. Počet polí (24) je známy takto:

Máte 4 možnosti na výber prvej číslice, ktorá ponecháva 3 možnosti na výber druhej číslice. Už boli nastavené dve číslice a zostávajú 2 možnosti pre výber tretej číslice. Posledná číslica má iba jednu možnosť výberu.

Počet permutácií označených P4 sa teda získa súčinom výberových možností v každej polohe:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 rôznych 4-ciferných čísel

Vo všeobecnosti je počet rôznych permutácií alebo usporiadaní, ktoré je možné vykonať so všetkými n prvkami danej množiny,:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Výraz n! je známy ako faktor n a znamená súčin všetkých prirodzených čísel, ktoré sa nachádzajú medzi číslom n a číslom jedna, vrátane oboch.

12 Usporiadanie 2 rôznych čísiel

Predpokladajme, že chcete poznať počet permutácií alebo dvojciferných čísel, ktoré je možné vytvoriť pomocou číslic čísla 2468.

Celkom by to bolo 12 opatrení: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86.

Máte 4 možnosti na výber prvej číslice, ktorá ponecháva 3 číslice na výber druhej číslice. Počet permutácií 4 číslic odobratých dve po dvoch, označených 4P2, sa teda získa súčinom možností výberu v každej polohe:

4P2 = 4 * 3 = 12 rôznych dvojciferných čísel

Všeobecne je počet rôznych permutácií alebo usporiadaní, ktoré je možné vykonať spolu s prvkami r celkovo v danej množine, tento:

nPr = n (n - 1) (n - 2) …

Vyššie uvedený výraz je pred hraním n! Skrátený. Na dokončenie n! z toho by sme mali napísať:

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

Faktory, ktoré postupne pridávame, predstavujú faktoriál:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

To znamená,

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

Odtiaľ

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2) … = nPr

Príklady

Príklad 1

Koľko rôznych 5-písmenových kombinácií písmen je možné zostaviť pomocou písmen slova KEY?

Chceme nájsť počet rôznych kombinácií písmen s 5 písmenami, ktoré je možné zostaviť pomocou 5 písmen slova KEY; to znamená počet 5-písmenových polí zahŕňajúcich všetky písmená dostupné v slove KEY.

Počet 5 písmenných slov = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 rôznych 5-písmenových kombinácií.

Mohli by to byť: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC … celkovo až 120 rôznych kombinácií písmen.

Príklad 2

Máte 15 očíslovaných lôpt a chcete vedieť, koľko rôznych skupín 3 lôpt je možné vyrobiť z 15 očíslovaných lôpt?

Chcete nájsť počet skupín 3 lôpt, ktoré je možné vyrobiť pomocou 15 očíslovaných lôpt.

Počet skupín 3 loptičiek = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

Počet skupín 3 loptičiek = 15 * 14 * 13 = 2730 skupín 3 loptičky

Riešené cvičenia

Cvičenie 1

Predajňa ovocia má výstavnú expozíciu pozostávajúcu z radu oddielov umiestnených vo vstupnej hale do areálu. Za jeden deň zeleninár kúpi na predaj: pomaranče, banány, ananásy, hrušky a jablká.

a) Koľko rôznych spôsobov si musíte objednať na výstavnom stánku?

b) Koľko rôznych spôsobov si musíte objednať na poraste, ak ste okrem uvedených plodov (5) v ten deň dostali: mango, broskyne, jahody a hrozno (4)?

a) Chceme nájsť počet rôznych spôsobov objednávania všetkých druhov ovocia v riadku displeja; to znamená počet dojednaní pre 5 druhov ovocia, ktoré zahŕňajú všetky druhy ovocia, ktoré sú v daný deň k dispozícii na predaj.

Počet usporiadaní stojanov = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Počet stánkov = 120 spôsobov prezentácie stánku

b) Chceme nájsť počet rôznych spôsobov objednania všetkých druhov ovocia v riadku displeja, ak boli pridané 4 ďalšie položky; to znamená počet dojednaní o 9 ovocných položkách, ktoré zahŕňajú všetky druhy ovocia, ktoré sú v daný deň k dispozícii na predaj.

Počet usporiadaní stojanov = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Počet usporiadaní stánkov = 362 880 spôsobov prezentácie stánku

Cvičenie 2

Malý vývod potravín má pozemok s dostatkom miesta na zaparkovanie 6 vozidiel.

a) Koľko rôznych spôsobov objednania vozidiel na pozemku je možné zvoliť?

b) Predpokladajme, že sa získa súvislý pozemok, ktorého rozmery umožňujú zaparkovať 10 vozidiel. Koľko rôznych foriem usporiadania vozidiel je teraz možné vybrať?

a) Chceme nájsť množstvo rôznych spôsobov, ako si objednať 6 vozidiel, ktoré môžu byť umiestnené na pozemku.

Počet usporiadaní 6 vozidiel = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Počet usporiadaní 6 vozidiel = 720 rôznych spôsobov objednania 6 vozidiel na pozemku.

b) Chceme nájsť počet rôznych spôsobov objednania 10 vozidiel, ktoré môžu byť umiestnené na pozemku po rozšírení pozemku.

Počet usporiadaní 10 vozidiel = P10 = 10!

Počet usporiadaní vozidiel = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Počet usporiadaní 10 vozidiel = 3 628 800 rôznych spôsobov objednania 10 vozidiel na pozemku.

Cvičenie 3

Kvetinárstvo má kvety 6 rôznych farieb, aby sa kvetinové vlajky národov, ktoré majú iba 3 farby. Ak je známe, že poradie farieb je na vlajkách dôležité,

a) Koľko rôznych vlajok 3 farieb je možné vyrobiť pomocou 6 dostupných farieb?

b) Predajca kupuje kvety 2 ďalších farieb, ako má 6, ktoré už mal, koľko rôznych vlajok 3 farieb je možné vyrobiť?

c) Keďže máte 8 farieb, rozhodnete sa rozšíriť svoju škálu vlajok. Koľko rôznych 4-farebných vlajok môžete vytvoriť?

d) Koľko z 2 farieb?

a) Chceme nájsť počet rôznych príznakov 3 farieb, ktoré je možné vytvoriť výberom zo 6 dostupných farieb.

Počet 3-farebných vlajočiek = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

Počet 3-farebných príznakov = 6 * 5 * 4 = 120 znakov

b) Chcete nájsť počet rôznych príznakov 3 farieb, ktoré je možné vytvoriť výberom z 8 dostupných farieb.

Počet 3-farebných vlajočiek = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

Počet 3-farebných príznakov = 8 * 7 * 6 = 336 indikátorov

c) Musí sa vypočítať počet rôznych 4-farebných príznakov, ktoré je možné vytvoriť výberom z 8 dostupných farieb.

Počet 4-farebných vlajočiek = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Počet 4-farebných príznakov = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 príznakov

d) Chcete určiť počet rôznych 2-farebných príznakov, ktoré je možné vytvoriť výberom z 8 dostupných farieb.

Počet dvojfarebných vlajočiek = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Počet dvojfarebných príznakov = 8 * 7 = 56 príznakov

Referencie

1. Boada, A. (2017). Použitie permutácie s opakovaním ako výučby experimentov. Vivat Academia Magazine. Obnovené zo stránky researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Pravdepodobnosť a štatistika. Aplikácie a metódy. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Glass, G; Stanley, J. (1996). Štatistické metódy, ktoré sa neuplatňujú v spoločenských vedách. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Štatistiky. Štvrté vydanie. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Ye, Ka. (2007). Pravdepodobnosť a štatistika pre inžinierov a vedcov. Ôsma ed. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Štatistika sa vzťahuje na podnikanie a hospodárstvo. Tretie vydanie. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Permutácie. Obnovené z en.wikipedia.org.