MOMENT ZOTRVAČNOSTI: VZORCE, ROVNICE A PRÍKLADY VÝPOČTU - FYZICKÝ - 2025

Moment zotrvačnosti tuhého telesa s ohľadom na určité osi otáčania predstavuje jeho odolnosť voči zmenou jeho uhlovej rýchlosti okolo osi. Je úmerná hmotnosti a tiež umiestneniu osi rotácie, pretože teleso sa v závislosti od svojej geometrie môže otáčať ľahšie okolo určitých osí ako v iných.

Predpokladajme veľký predmet (pozostávajúci z mnohých častíc), ktorý sa môže otáčať okolo osi. Predpokladajme, že sila F pôsobí tangenciálne na prvok hmotnosti Δm _i , ktorý vytvára krútiaci moment alebo moment daný τ _net = ∑ r _i x F _i . Vektor r _i je poloha Am _i (pozri obrázok 2).

Obrázok 1. Momenty zotrvačnosti rôznych obrázkov. Zdroj: Wikimedia Commons.

Tento moment je kolmý na rovinu rotácie (smer + k = opúšťanie papiera). Pretože sila a vektor radiálnej polohy sú vždy kolmé, krížový produkt zostáva:

_Čistá τ = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i ) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i ) k

Obrázok 2. Častica, ktorá patrí rotačnej tuhej tuhej látke. Zdroj: Serway, R. 2018. Fyzika pre vedu a techniku. Zväzok 1. Cengage Learning.

Zrýchlenie a _i predstavuje tangenciálnu zložku zrýchlenia, pretože radiálne zrýchlenie neprispieva k krútiacemu momentu. Ako funkciu uhlového zrýchlenia α môžeme uviesť, že:

Čistý krútiaci moment preto vyzerá takto:

τ _net = ∑ Δm _i (a r _i ² ) k = ( ∑ r _i ² Δm _i ) α k

Uhlové zrýchlenie α je rovnaké pre celý objekt, preto nie je ovplyvnené dolným indexom „i“ a môže zanechať zhrnutie, čo je presne okamih zotrvačnosti objektu symbolizovaný písmenom I:

Toto je moment zotrvačnosti diskrétneho rozloženia hmoty. Ak je distribúcia nepretržitá, sumarizácia sa nahradí integrálom a Δm sa stane hmotnostným rozdielom dm. Integrál sa vykonáva nad celým objektom:

Jednotkami pre moment zotrvačnosti v medzinárodnom systéme SI sú kg xm ² . Je to skalárne a kladné množstvo, pretože je produktom hmotnosti a štvorca vzdialenosti.

Príklady výpočtu

Rozšírený objekt, ako je tyč, disk, guľa alebo iný, ktorého hustota ρ je konštantná a je známe, že hustota je pomer hmotnosti k objemu, hmotnostný rozdiel dm sa zapisuje ako:

V momente zotrvačnosti nahradzujeme integrálne:

Toto je všeobecný výraz platný pre trojrozmerný objekt, ktorého objem V a poloha r sú funkciami priestorových súradníc x, y a z. Všimnite si, že pri konštantnej hustote je mimo integrálu.

Hustota ρ je známa aj ako sypná hmotnosť, ale ak je objekt veľmi plochý, napríklad list alebo veľmi tenký a úzky ako tyč, je možné použiť aj iné formy hustoty:

- Pri veľmi tenkej fólii je hustota, ktorá sa má použiť σ, povrchová hustota (hmotnosť na jednotku plochy) a dA je plošný rozdiel.

- A ak ide o tenkú tyč, kde je relevantná iba dĺžka, použije sa lineárna hustota hmotnosti λ a rozdiel dĺžky podľa osi použitej ako referencia.

V nasledujúcich príkladoch sa všetky objekty považujú za pevné (nedeformovateľné) a majú jednotnú hustotu.

Moment zotrvačnosti tenkej tyče vzhľadom na os prechádzajúcu jej stredom

Tu si spočítame moment zotrvačnosti tenkej, tuhej, homogénnej tyčinky dĺžky L a hmoty M vzhľadom na os, ktorá prechádza médiom.

Najprv je potrebné vytvoriť súradnicový systém a postaviť postavu s príslušnou geometriou, napríklad takto:

Obrázok 3. Geometria na výpočet momentu zotrvačnosti tenkej tyče vzhľadom na vertikálnu os, ktorá prechádza jej stredom. Zdroj: F. Zapata.

Os x pozdĺž tyče a os y boli vybrané ako os otáčania. Postup na vytvorenie integrálu tiež vyžaduje výber hmotnostného rozdielu na stĺpci nazývaného dm, ktorý má rozdielnu dĺžku dx a je umiestnený v ľubovoľnej polohe x vzhľadom na stred x = 0.

Podľa definície lineárnej hustoty λ:

Pretože hustota je jednotná, čo platí pre M a L, platí to aj pre dm a dx:

Na druhej strane je hmotnostný prvok v polohe x, takže nahradením tejto geometrie v definícii máme určitý integrál, ktorého limity sú konce tyče podľa súradnicového systému:

Nahradenie lineárnej hustoty λ = M / L:

Na zistenie momentu zotrvačnosti tyče vzhľadom na inú os otáčania, napríklad tú, ktorá prechádza jedným z jej extrémov, môžete použiť Steinerovu teóriu (pozri koniec cvičenia vyriešený na konci) alebo vykonať priamy výpočet podobný tomu, ktorý je zobrazený. tu, ale vhodne upravte geometriu.

Moment zotrvačnosti disku vzhľadom na os prechádzajúcu jeho stredom

Veľmi tenký disk so zanedbateľnou hrúbkou je plochý obrázok. Ak je hmotnosť rovnomerne rozložená po celom povrchu oblasti A, je hustota hmotnosti σ:

Ako dm, tak dA zodpovedajú hmotnosti a ploche diferenciálneho krúžku znázorneného na obrázku. Budeme predpokladať, že celá zostava sa otáča okolo osi y.

Dokážete si predstaviť, že disk je zložený z mnohých sústredných prstencov s polomerom r, z ktorých každý má príslušný moment zotrvačnosti. Po pripočítaní príspevkov všetkých krúžkov do dosiahnutia polomeru R budeme mať celkový moment zotrvačnosti disku.

Obrázok 4. Geometria na výpočet momentu zotrvačnosti disku vzhľadom na axiálnu os. Zdroj: F. Zapata.

Kde M predstavuje celú hmotnosť disku. Plocha disku závisí od jeho polomeru r ako:

Odvodenie vzhľadom na r:

Nahradenie vyššie uvedeného v definícii I:

Substitúcia σ = M / (π.R ² ) dostaneme:

Moment zotrvačnosti tuhej gule okolo priemeru

Guľa s polomerom R sa môže považovať za sériu diskov naskladaných jeden na druhého, pričom každý disk s nekonečnou hmotnosťou dm, polomer r a hrúbka dz má moment zotrvačnosti daný:

Aby sme našli tento rozdiel, jednoducho sme vzali vzorec z predchádzajúcej časti a nahradili M a R za dm a r. Disk, ako je tento, je možné vidieť v geometrii obrázku 5.

Obrázok 5. Geometria na výpočet momentu zotrvačnosti tuhej gule s polomerom R vzhľadom na os, ktorá prechádza cez priemer. Zdroj: F. Zapata.

Sčítaním všetkých nekonečných momentov zotrvačnosti naskladaných diskov sa získa celkový moment zotrvačnosti gule:

Čo zodpovedá:

Na vyriešenie integrálu musíte dm primerane vyjadriť. Ako vždy sa dosahuje z hustoty:

Objem diferenciálneho disku je:

Výška disku je hrúbka dz, zatiaľ čo plocha základne je πr ² , preto:

A nahradenie navrhovaného integrálu by vyzeralo takto:

Pred integráciou však musíme pozorovať, že r - polomer disku - závisí od z a R - polomer gule - ako je zrejmé z obrázku 5. Použitie Pythagorovej vety:

Čo nás vedie k:

Pri integrácii do celej sféry uvádzame, že z sa pohybuje medzi –R a R:

S vedomím, že ρ = M / V = ​​M / sa nakoniec získa po zjednodušení:

Moment zotrvačnosti plného valca vzhľadom na axiálnu os

Pre tento predmet sa používa metóda podobná tej, ktorá sa používa pre guľu, len tentokrát je ľahšie, ak je valec predstavený, že je tvorený valcovými škrupinami s polomerom r, hrúbkou dr a výškou H, akoby to boli vrstvy cibule. ,

Obrázok 6. Geometria na výpočet momentu zotrvačnosti tuhého valca s polomerom R vzhľadom na axiálnu os. Zdroj: Serway, R. 2018. Fyzika pre vedu a techniku. Zväzok 1. Cengage.

Objem dV valcovej vrstvy je:

Hmotnosť škrupiny je preto:

Tento výraz sa nahrádza definíciou momentu zotrvačnosti:

Uvedená rovnica naznačuje, že moment zotrvačnosti valca nezávisí od jeho dĺžky, ale iba od jeho hmotnosti a polomeru. Keby sa L zmenila, moment zotrvačnosti okolo axiálnej osi by zostal rovnaký. Z tohto dôvodu sa I valca zhoduje s predtým vypočítaným tenkým diskom.

Moment zotrvačnosti pravouhlého plechu vzhľadom na os prechádzajúcu jeho stredom

Horizontálna os y bola vybraná ako os otáčania. Obrázok nižšie zobrazuje geometriu potrebnú na vykonanie integrácie:

Obrázok 7. Geometria na výpočet momentu zotrvačnosti pravouhlej dosky vzhľadom na os rovnobežnú s plachtou a prechádzajúcu jej stredom. Zdroj: F. Zapata.

Prvok oblasti označený červenou farbou je obdĺžnikový. Jeho plocha je základňa x výška, preto:

Preto je hmotnostný rozdiel:

Pokiaľ ide o vzdialenosť od plošného prvku k osi otáčania, je to vždy z. Toto všetko nahrádzame v rámci momentu zotrvačnosti:

Teraz je hustota povrchovej hmotnosti σ nahradená:

A určite to vyzerá takto:

Všimnite si, že je ako tenká lišta.

Moment zotrvačnosti štvorcového plechu vzhľadom na os prechádzajúcu jeho stredom

Pre štvorec so stranou L v predchádzajúcom výraze platnom pre obdĺžnik jednoducho nahradte hodnotu b hodnotou L:

Moment zotrvačnosti

Existujú dva zvlášť užitočné vety, ktoré zjednodušujú výpočet momentov zotrvačnosti vo vzťahu k iným osiam, ktoré by inak mohli byť ťažké nájsť kvôli chýbajúcej symetrii. Ide o tieto vety:

Steinerova veta

Tiež sa nazýva veta o paralelných osách, vzťahuje sa na moment zotrvačnosti vzhľadom na os s druhou, ktorá prechádza cez ťažisko predmetu, pokiaľ sú osi rovnobežné. Na jej aplikáciu je potrebné poznať vzdialenosť D medzi oboma osami a samozrejme hmotnosť M objektu.

Nech I _z je moment zotrvačnosti predmetu rozšíreného vzhľadom na os z, I _CM moment zotrvačnosti vzhľadom na os, ktorá prechádza ťažiskom (CM) predmetu, potom sa uspokojí, že:

Alebo v zápise na nasledujúcom obrázku: I _{z '} = I _z + Md ²

Obrázok 8. Steinerova veta alebo rovnobežné osi. Zdroj: Wikimedia Commons. Jack See

Veta kolmých osí

Táto veta sa aplikuje na rovinné povrchy a vyzerá takto: moment zotrvačnosti rovinného objektu okolo osi kolmej na ňu je súčet momentov zotrvačnosti okolo dvoch os kolmých na prvú os:

Obrázok 9. Veta kolmých osí. Zdroj: F. Zapata.

Ak má objekt symetriu tak, že I _x a I _y sú si rovné, potom platí:

Cvičenie bolo vyriešené

Nájdite moment zotrvačnosti tyče vzhľadom na os, ktorá prechádza cez jeden z jej koncov, ako je to znázornené na obrázku 1 (dole a vpravo) a obrázku 10.

Obrázok 10. Moment zotrvačnosti homogénnej tyče okolo osi, ktorá prechádza cez jeden koniec. Zdroj: F. Zapata.

Riešenie:

Moment zotrvačnosti tyče už máme okolo osi, ktorá prechádza jej geometrickým stredom. Pretože tyč je homogénna, jej ťažisko je v tomto bode, takže to bude naša I _CM, aby sme použili Steinerovu vetu.

Ak je dĺžka tyče L, os z je vo vzdialenosti D = L / 2, preto:

Referencie

1. Bauer, W. 2011. Fyzika pre techniku ​​a vedu. Zväzok 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Základy fyziky. Pearson. 190-200.
3. Paralelná osová veta. Získané z: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Fyzika pre vedu a techniku. Zväzok 1. Cengage.
5. Sevilla University. Sférický moment zotrvačnosti tuhých látok. Získané z: laplace.us.es.
6. Sevilla University. Moment zotrvačnosti časticového systému. Získané z: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Paralelná osová veta. Obnovené z: en.wikipedia.org