VEKTOROVÁ ALGEBRA: ZÁKLADY, VELIČINY, VEKTORY - MATEMATIKA

Vektor algebra je odvetvie matematiky, ktoré štúdie sústavy lineárnych rovníc, vektory, matice, vektorových priestorov a lineárne transformácie. Súvisí to okrem iného s oblasťami ako je inžinierstvo, riešenie diferenciálnych rovníc, funkčná analýza, výskum operácií, počítačová grafika.

Ďalšou oblasťou, ktorú si lineárna algebra osvojila, je fyzika, pretože prostredníctvom nej bolo možné rozvíjať štúdium fyzikálnych javov a ich opisovanie pomocou vektorov. To umožnilo lepšie pochopenie vesmíru.

základy

Vektorová algebra pochádza zo štúdia kvaternií (rozšírenie reálnych čísel) 1, i, j a k, ako aj z karteziánskej geometrie propagovanej Gibbsom a Heavisidom, ktorí si uvedomili, že vektory by slúžili ako nástroj pre predstavujú rôzne fyzikálne javy.

Vektorová algebra sa študuje na troch základoch:

geometricky

Vektory sú reprezentované čiarami, ktoré majú orientáciu, a operácie ako sčítanie, odčítanie a násobenie reálnymi číslami sú definované geometrickými metódami.

analyticky

Opis vektorov a ich operácií sa vykonáva pomocou čísel, ktoré sa nazývajú komponenty. Tento typ opisu je výsledkom geometrického znázornenia, pretože sa používa súradnicový systém.

axiomaticky

Opis vektorov sa robí bez ohľadu na súradnicový systém alebo akýkoľvek typ geometrického znázornenia.

Štúdium čísiel v priestore sa uskutočňuje prostredníctvom ich zobrazenia v referenčnom systéme, ktorý môže mať jednu alebo viac dimenzií. Medzi hlavné systémy patria:

- jednorozmerný systém, ktorý je priamkou, kde jeden bod (O) predstavuje začiatok a ďalší bod (P) určuje mierku (dĺžku) a jej smer:

- pravouhlý súradnicový systém (dvojrozmerný), ktorý sa skladá z dvoch kolmých čiar, ktoré sa nazývajú os x a os y a ktoré prechádzajú bodom (O); Týmto spôsobom je lietadlo rozdelené do štyroch regiónov nazývaných kvadranty. V tomto prípade je bod (P) v rovine daný vzdialenosťami, ktoré existujú medzi osami a P.

- Polárny súradnicový systém (dvojrozmerný). V tomto prípade sa systém skladá z bodu O (pôvod), ktorý sa nazýva pól a lúč so začiatkom v O sa nazýva polárna os. V tomto prípade je bod P roviny vzhľadom na pól a polárnu os daný uhlom (Ɵ), ktorý je tvorený vzdialenosťou medzi počiatočným bodom a bodom P.

- Obdĺžnikový trojrozmerný systém tvorený tromi kolmými čiarami (x, y, z), ktorých počiatok je bodom O v priestore. Vytvoria sa tri súradnicové roviny: xy, xz a yz; priestor bude rozdelený do ôsmich regiónov nazývaných oktanty. Odkaz na bod P v priestore je daný vzdialenosťami, ktoré existujú medzi rovinami a P.

veličiny

Veľkosť je fyzikálna veličina, ktorú je možné spočítať alebo zmerať pomocou číselnej hodnoty, ako je to v prípade niektorých fyzikálnych javov; mnohokrát je však potrebné dokázať tieto javy popísať inými faktormi ako numerickými. Preto sú veľkosti rozdelené do dvoch typov:

Skalárna veľkosť

Sú to množstvá, ktoré sú definované a vyjadrené číselne; to znamená modulom spolu s mernou jednotkou. Napríklad:

a) Čas: 5 sekúnd.

b) Hmotnosť: 10 kg.

c) Objem: 40 ml.

d) Teplota: 40 ° C.

Vektorová veľkosť

Sú to veličiny, ktoré sú definované a reprezentované modulom spolu s jednotkou, ako aj zmyslom a smerom. Napríklad:

a) Rýchlosť: (5 - 3ĵ) m / s.

b) zrýchlenie: 13 m / s ² ; S 45 ° E.

c) Sila: 280 N, 120 °.

d) Hmotnosť: -40 ĵ kg-f.

Množstvá vektorov sú graficky znázornené vektormi.

Čo sú vektory?

Vektory sú grafické znázornenia vektorového množstva; to znamená, že sú to úsečky, v ktorých ich konečný koniec je špičkou šípky.

Tieto sú určené jeho modulom alebo dĺžkou segmentu, jeho smerom, ktorý je naznačený špičkou jeho šípky a jeho smerom podľa čiary, ku ktorej patrí. Pôvod vektora je známy aj ako miesto aplikácie.

Prvky vektora sú nasledujúce:

modul

Je to vzdialenosť od začiatku do konca vektora, predstavovaná skutočným číslom spolu s jednotkou. Napríklad:

-OM- = -A- = A = 6 cm

adresa

Používa sa miera uhla, ktorý existuje medzi osou x (z kladného bodu) a vektorom, ako aj svetové strany (sever, juh, východ a západ).

zmysel

Je daná šípkou umiestnenou na konci vektora, ktorá označuje, kam smeruje.

Klasifikácia vektorov

Vektory sú všeobecne klasifikované ako:

Opravený vektor

Je to miesto, ktorého miesto použitia (pôvod) je stanovené; to znamená, že zostáva prepojený s určitým miestom v priestore, takže sa v ňom nemôže pohybovať.

Voľný vektor

Môže sa voľne pohybovať v priestore, pretože jeho pôvod sa pohybuje do ktoréhokoľvek bodu bez zmeny jeho modulu, smeru alebo smeru.

Posuvný vektor

Je to ten, kto dokáže preniesť svoj pôvod pozdĺž svojej línie pôsobenia bez toho, aby zmenil svoj modul, smer alebo smer.

Vlastnosti vektorov

Medzi hlavné vlastnosti vektorov patrí:

Vektory tímové

Sú to voľné vektory, ktoré majú rovnaký modul, smer (alebo sú rovnobežné) a majú zmysel ako posuvný vektor alebo pevný vektor.

Ekvivalentné vektory

Vyskytuje sa, keď dva vektory majú rovnaký smer (alebo sú rovnobežné), rovnaký zmysel a napriek tomu, že majú rôzne moduly a miesta aplikácie, spôsobujú rovnaké účinky.

Rovnosť vektorov

Majú rovnaký modul, smer a zmysel, aj keď sú ich počiatočné body odlišné, čo umožňuje, aby sa paralelný vektor sám prekladal bez ovplyvnenia.

Protikladné vektory

Sú to tie, ktoré majú rovnaký modul a smer, ale ich význam je opačný.

Jednotkový vektor

Je to modul, v ktorom sa modul rovná jednotke (1). Toto sa získa delením vektora jeho modulom a používa sa na určenie smeru a zmyslu vektora, buď v rovine alebo v priestore, pomocou bázových alebo normalizovaných jednotkových vektorov, ktorými sú:

Nulový vektor

Je to modul, ktorého modul sa rovná 0; to znamená, že jeho pôvod a koniec sa zhodujú v rovnakom bode.

Komponenty vektora

Zložkami vektora sú tie hodnoty projekcií vektora na osi referenčného systému; V závislosti od rozkladu vektora, ktorý môže byť na dvojrozmerných alebo trojrozmerných osiach, sa získajú dve, respektíve tri zložky.

Zložky vektora sú reálne čísla, ktoré môžu byť kladné, záporné alebo dokonca nulové (0).

Ak teda máme vektor Â, ktorý má pôvod v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine xy (dvojrozmerný), priemet na osi x je xx a priemet na osi y je yy. Vektor bude teda vyjadrený ako súčet jeho zložkových vektorov.

Príklady

Prvý príklad

Máme vektor, ktorý začína od pôvodu a sú uvedené súradnice jeho koncov. Takto vektor A = ( A _x , _AY ) = (4, 5) cm.

Ak vektor pôsobí na začiatku trojrozmerného trojuholníkového súradnicového systému (vo vesmíre) x, y, z, do iného bodu (P), priemetmi na jeho osách budú xx, γy a Āz; vektor sa teda vyjadrí ako súčet jeho troch zložkových vektorov.

Druhý príklad

Máme vektor, ktorý začína od pôvodu a sú uvedené súradnice jeho koncov. To znamená, že vektor A = (A _x , A _r,_z ) = (4, 6, -3) cm.

Vektory, ktoré majú svoje pravouhlé súradnice, môžu byť vyjadrené pomocou základných vektorov. Preto sa každá súradnica musí vynásobiť iba svojim príslušným jednotkovým vektorom takým spôsobom, že pre rovinu a priestor budú tieto:

Pre lietadlo: Â = A _x i + A _y j.

Pre priestor: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

Vektorové operácie

Existuje veľa veličín, ktoré majú modul, zmysel a smer, ako je napríklad zrýchlenie, rýchlosť, posun, sila.

Tieto sa používajú v rôznych vedných odboroch a na ich aplikáciu je v niektorých prípadoch potrebné vykonať také operácie, ako sú sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie vektorov a skalárov.

sčítanie a odčítanie vektorov

Sčítanie a odčítanie vektorov sa považuje za jednu algebraickú operáciu, pretože odčítanie možno zapísať ako súčet; napríklad odčítanie vektorov À a Ē sa môže vyjadriť ako:

Â - Ē = Â + (-Ē)

Na sčítanie a odčítanie vektorov existujú rôzne metódy: môžu byť grafické alebo analytické.

Grafické metódy

Používa sa, keď má vektor modul, smer a smer. Na tento účel sa nakreslia čiary, ktoré tvoria číslo, ktoré neskôr pomôže určiť výsledok. Medzi najznámejšie patria:

Parallelogramová metóda

Aby bolo možné sčítanie alebo odčítanie dvoch vektorov, vyberie sa na súradnicovej osi spoločný bod, ktorý bude predstavovať bod pôvodu vektorov, pričom sa zachová jeho modul, smer a smer.

Čiary sa potom nakreslia rovnobežne s vektormi, aby sa vytvoril rovnobežník. Výsledný vektor je uhlopriečka, ktorá prechádza z bodu pôvodu obidvoch vektorov do vrcholu rovnobežníka:

Metóda trojuholníka

V tejto metóde sú vektory umiestnené jeden po druhom, pričom si udržiavajú svoje moduly, smery a smery. Výsledným vektorom bude spojenie pôvodu prvého vektora s koncom druhého vektora:

Analytické metódy

Geometrickou alebo vektorovou metódou je možné pridať alebo odpočítať dva alebo viac vektorov:

Geometrická metóda

Ak dva vektory tvoria trojuholník alebo rovnobežník, potom m) .push ({});

- Skalárna distribučná vlastnosť: ak je vektor vynásobený súčtom dvoch skalárov, rovná sa násobeniu vektora pre každý skalár.

Násobenie vektorov

Násobenie alebo súčin vektorov by sa dalo robiť ako sčítanie alebo odčítanie, ale tým sa stráca fyzický význam a v aplikáciách sa takmer nikdy nenachádza. Z tohto dôvodu sú najbežnejšie používanými typmi výrobkov skalárny a vektorový produkt.

Skalárny produkt

Je tiež známy ako bodový produkt dvoch vektorov. Keď sa moduly dvoch vektorov vynásobia kosínusom najmenšieho uhla medzi nimi, získa sa skalár. Na vyjadrenie skalárneho produktu medzi dvoma vektormi sa medzi ne umiestni bod, ktorý sa dá definovať ako:

Hodnota uhla, ktorý existuje medzi dvoma vektormi, bude závisieť od toho, či sú rovnobežné alebo kolmé; preto musíte:

- Ak sú vektory rovnobežné a majú rovnaký význam, cosínus 0 ° = 1.

- Ak sú vektory rovnobežné a majú opačné smery, kosínus 180 ° = -1.

- Ak sú vektory kolmé, kosínus 90º = 0.

Tento uhol možno tiež vypočítať s vedomím, že:

Produkt bodka má nasledujúce vlastnosti:

- Komutatívna vlastnosť: poradie vektorov nemení skalár.

-Distribučná vlastnosť: ak je skalár vynásobený súčtom dvoch vektorov, rovná sa násobeniu skaláru pre každý vektor.

Vektorový produkt

Výsledkom množenia vektorov alebo krížového produktu dvoch vektorov A a B bude nový vektor C a je vyjadrený krížením medzi vektormi:

Nový vektor bude mať svoje vlastné charakteristiky. Tým smerom:

- Smer: tento nový vektor bude kolmý na rovinu, ktorá je určená pôvodnými vektormi.

- Smer: určuje sa pravou rukou, kde sa vektor A otáča smerom k B, pričom prstami sa označí smer otáčania a smer vektora sa označí palcom.

- Modul: je určený násobením modulov vektorov AxB, sínusom najmenšieho uhla, ktorý existuje medzi týmito vektormi. Vyjadruje sa:

Hodnota uhla, ktorý existuje medzi dvoma vektormi, bude závisieť od toho, či sú rovnobežné alebo kolmé. Je teda možné uviesť nasledujúce:

- Ak sú vektory rovnobežné a majú rovnaký význam, sínus 0 ° = 0.

- Ak sú vektory rovnobežné a majú opačné smery, sínus 180 ° = 0.

- Ak sú vektory kolmé, sínusová 90 ° = 1.

Ak je vektorový produkt vyjadrený pomocou základných vektorov, máme: