PYTHAGOROVSKÉ IDENTITY: UKÁŽKA, PRÍKLAD, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2025

Pythagorovské identity sú všetky trigonometrické rovnice, ktoré platia pre akúkoľvek hodnotu uhla a sú založené na Pythagorovej vete. Najslávnejšia z pythagorských identít je základná trigonometrická identita:

Sin ² (α) + cos ² (α) = 1

Obrázok 1. Pythagorove trigonometrické identity.

Ďalej v dôležitosti a používam pythagorovskú identitu dotyčnice a secanty:

Tan ² (a) + 1 = Sekcia ² (a)

A pythagorovská trigonometrická identita zahŕňajúca cotangenta a kokseanta:

1 + CTG ² (α) = Csc ² (α)

demonštrácie

Trigonometrické pomery sínus a kosínus sú znázornené na kružnici s polomerom jeden (1), ktorá sa nazýva trigonometrická kružnica. Uvedený kruh má stred na začiatku súradníc O.

Uhly sa merajú od kladnej poloosy Xs, napríklad z uhla a na obrázku 2 (pozri nižšie). Ak je uhol kladný, proti smeru hodinových ručičiek, ak je záporný.

Nakreslí sa lúč s počiatočným O a uhlom a, ktorý zachytáva kruh jednotky v bode P. Bod P je kolmý priemet na horizontálnu os X, čo vedie k bodu C. Podobne P je premietaný kolmo na vertikálnu os Y, čo vedie miesto do bodu S.

Máme správny trojuholník OCP na C.

Sinus a kosinus

Malo by sa pamätať na to, že trigonometrický sínusový pomer je na pravom trojuholníku definovaný takto:

Sínusový uhol trojuholníka je pomer alebo kvocient medzi nohou oproti uhlu a prepona trojuholníka.

Pri použití na trojuholník OCP na obrázku 2 by to vyzeralo takto:

Sen (a) = CP / OP

ale CP = OS a OP = 1, takže:

Sen (a) = OS

Čo znamená, že projekčný OS na osi Y má hodnotu rovnajúcu sa sínusu zobrazeného uhla. Je potrebné poznamenať, že maximálna hodnota sínusového uhla (+1) nastáva, keď α = 90 ° a minimálna (-1), keď α = -90 ° alebo α = 270 °.

Obrázok 2. Trigonometrický kruh znázorňujúci vzťah medzi pythagorovou vetou a základnou trigonometrickou identitou. (Vlastné spracovanie)

Podobne kosínus uhla je kvocient medzi nohou susediacou s uhlom a preponou trojuholníka.

Pri použití na trojuholník OCP na obrázku 2 by to vyzeralo takto:

Cos (a) = OC / OP

ale OP = 1, takže:

Cos (a) = OC

To znamená, že výstupok OC na osi X má hodnotu rovnajúcu sa sínusu zobrazeného uhla. Malo by sa poznamenať, že maximálna hodnota kosínu (+1) sa vyskytuje, keď a = 0 ° alebo α = 360 °, zatiaľ čo minimálna hodnota kosínu je (-1), keď α = 180 °.

Základná identita

Pre pravouhlý trojuholník OCP v C sa použije pythagorova veta, ktorá uvádza, že súčet štvorca nôh sa rovná štvorcu prepony:

CP ² + OC ² = OP ²

Ale už bolo povedané, že CP = OS = Sen (a), že OC = Cos (a) a že OP = 1, takže predchádzajúci výraz možno prepísať ako funkciu sínusového a kosínusového uhla:

Sin ² (α) + cos ² (α) = 1

Os dotyčnice

Rovnako ako os X v trigonometrickej kružnici je kosínusovou osou a os Y je sínusovou osou, rovnakým spôsobom existuje tangenciálna os (pozri obrázok 3), ktorá je presne dotyčnicou k jednotkovej kružnici v bode B súradníc (1, 0).

Ak chcete poznať hodnotu dotyčnice uhla, uhol sa nakreslí z kladnej poloosy X, priesečník uhla s osou dotyčnice definuje bod Q, dĺžka úseku OQ je dotyčnica bodu uhol.

Dôvodom je to, že z definície je dotyčnica uhla a opačná noha QB medzi susednou vetvou OB. To znamená, že Tan (a) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Obrázok 3. Trigonometrický kruh znázorňujúci os dotyčnice a Pythagorovu identitu dotyčnice. (Vlastné spracovanie)

Pythagorova identita dotyčnice

Pythagorova identita dotyčnice sa dá dokázať zvážením OBQ pravouhlého trojuholníka v bode B (obrázok 3). Aplikáciou pytagorovskej vety na tento trojuholník máme BQ ² + OB ² = OQ ² . Ale už bolo povedané, že BQ = Tan (α), že OB = 1 a OQ = Sec (α), takže v Pythagorovej rovnosti nahradíme OBQ pravouhlého trojuholníka:

Tan ² (a) + 1 = Sek ² (a).

príklad

Skontrolujte, či sú pythagorské identity splnené v pravom trojuholníku stehien AB = 4 a BC = 3.

Riešenie: Nohy sú známe, je potrebné určiť preponu, ktorá je:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

Uhol ∡BAC sa nazýva α, ∡BAC = α. Teraz sú stanovené trigonometrické pomery:

Sen a = BC / AC = 3/5

Cos a = AB / AC = 4/5

Takže a = BC / AB = 3/4

Cotan a = AB / BC = 4/3

Sekcia a = AC / AB = 5/4

Csc a = AC / BC = 5/3

Začína sa základnou trigonometrickou identitou:

Sin ² (α) + cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Dospelo sa k záveru, že je splnený.

- Ďalšia pytagorská identita je totožnosť dotyčnice:

Tan ² (a) + 1 = Sekcia ² (a)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

Dospelo sa k záveru, že totožnosť dotyčnice je overená.

- Podobným spôsobom ako v prípade pôvodcu:

1 + CTG ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Dospelo sa k záveru, že je tiež splnená, čím bola dokončená úloha overovania pytagorských identít pre daný trojuholník.

Riešené cvičenia

Na základe definícií trigonometrických pomerov a pythagorských identít preukážte nasledujúce identity.

Cvičenie 1

Dokážte, že Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Riešenie: Na pravej strane rozpoznávame pozoruhodný produkt znásobovania binomika jeho konjugátom, ktorý, ako vieme, je rozdielom štvorcov:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Potom výraz sínus na pravej strane prechádza na ľavú stranu so zmenou značky:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Berúc na vedomie, že bola dosiahnutá základná trigonometrická identita, takže sa dospelo k záveru, že daný výraz je identita, to znamená, že platí pre akúkoľvek hodnotu x.

Cvičenie 2

Vychádzajúc zo základnej trigonometrickej identity a pomocou definícií trigonometrických pomerov, demonštrujte pythagorskú identitu cosecantu.

Riešenie: Základná identita je:

Sin ² (x) + Cos ² (x) = 1

Obaja členovia sú rozdelení Sen ² (x) a menovateľ je rozdelený do prvého člena:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

Zjednodušuje sa:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) je (nepatagorovská) identita, ktorá je overená samotnou definíciou trigonometrických pomerov. To isté sa deje s nasledujúcou identitou: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Nakoniec musíte:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Referencie

1. Baldor J. (1973). Rovinná a priestorová geometria so zavedením trigonometrie. Stredoamerický kultúrny. AC
2. CEA (2003). Prvky geometrie: s cvičením a kompasovou geometriou. Univerzita v Medellíne.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
4. Iger. (SF). Matematika Prvý semester Tacaná. Iger.
5. Geometria jr. (2014). Polygóny. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heeren a Hornsby. (2006). Matematika: Zdôvodnenie a aplikácie (desiate vydanie). Pearson Education.
7. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Redakčný progres.
8. Wikipedia. Trigonometrické identity a vzorce. Obnovené z: es.wikipedia.com