DISKRÉTNE ROZDELENIE PRAVDEPODOBNOSTI: CHARAKTERISTIKY, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2025

Tieto diskrétne rozdelenia pravdepodobnosti sú funkcie, ktorá priraďuje každý prvok X (S) = {x1, x2, …, xi, …}, kde X je diskrétna náhodná veličina vzhľadom a S je priestor vzorky, je pravdepodobnosť, že uvedená udalosť nastane. Táto funkcia f X (S) definovaná ako f (xi) = P (X = xi) sa niekedy nazýva pravdepodobnostná hmotnostná funkcia.

Toto množstvo pravdepodobností je vo všeobecnosti zastúpené v tabuľkovej forme. Pretože X je diskrétna náhodná premenná, X (S) má konečný počet udalostí alebo spočítateľné nekonečno. Medzi najbežnejšie diskrétne rozdelenia pravdepodobnosti máme rovnomerné rozdelenie, binomické rozdelenie a Poissonovo rozdelenie.

vlastnosti

Funkcia rozdelenia pravdepodobnosti musí spĺňať tieto podmienky:

Ďalej, ak X berie iba konečný počet hodnôt (napríklad x1, x2, …, xn), potom p (xi) = 0, ak i> ny, potom sa nekonečná séria podmienok b stane a konečná séria.

Táto funkcia tiež spĺňa nasledujúce vlastnosti:

Nech B je udalosť spojená s náhodnou premennou X. To znamená, že B je obsiahnutá v X (S). Konkrétne predpokladajme, že B = {xi1, xi2, …}. teda:

Inými slovami, pravdepodobnosť udalosti B sa rovná súčtu pravdepodobností jednotlivých výsledkov spojených s B.

Z toho môžeme vyvodiť, že ak a <b, udalosti (X ≤ a) a (a <X ≤ b) sa vzájomne vylučujú, a navyše, ich spojenie je udalosť (X ≤ b), takže máme:

druhy

Rovnomerné rozdelenie na n bodov

Hovorí sa, že náhodná premenná X sleduje rozdelenie charakterizované tým, že je rovnomerné v n bodoch, ak je každej hodnote priradená rovnaká pravdepodobnosť. Jeho pravdepodobnostná hmotnostná funkcia je:

Predpokladajme, že máme experiment, ktorý má dva možné výsledky, môže to byť hodenie mince, ktorej možnými výsledkami sú hlavy alebo chvosty, alebo výber celého čísla, ktorého výsledkom môže byť párne číslo alebo nepárne číslo; tento typ experimentu sa nazýva Bernoulliho testy.

Vo všeobecnosti sa dva možné výsledky nazývajú úspech a zlyhanie, kde p je pravdepodobnosť úspechu a 1-p je pravdepodobnosť zlyhania. Môžeme určiť pravdepodobnosť x úspechov v n Bernoulliho testoch, ktoré sú navzájom nezávislé, s nasledujúcim rozdelením.

Binomické rozdelenie

Je to funkcia, ktorá predstavuje pravdepodobnosť dosiahnutia x úspechov v n nezávislých Bernoulliho testoch, ktorých pravdepodobnosť úspechu je s. Jeho pravdepodobnostná hmotnostná funkcia je:

Nasledujúci graf predstavuje pravdepodobnostnú hmotnostnú funkciu pre rôzne hodnoty parametrov binomického rozdelenia.

Nasledujúca distribúcia vďačí za svoj názov francúzskemu matematikovi Simeon Poissonovi (1781 - 1840), ktorý ho získal ako limit binomického rozdelenia.

Poissonova distribúcia

O náhodnej premennej X sa hovorí, že má Poissonovo rozdelenie parametra λ, keď môže prijať kladné celé hodnoty 0,1,2,3, … s nasledujúcou pravdepodobnosťou:

V tomto výraze A je priemerný počet, ktorý zodpovedá výskytu udalosti pre každú jednotku času, a x je počet výskytov udalosti.

Jeho pravdepodobnostná hmotnostná funkcia je:

Tu je graf, ktorý predstavuje funkciu pravdepodobnosti hmoty pre rôzne hodnoty parametrov Poissonovho rozdelenia.

Všimnite si, že pokiaľ je počet úspechov nízky a počet n testov vykonaných na binomickom rozdelení je vysoký, môžeme tieto distribúcie vždy aproximovať, pretože Poissonovo rozdelenie je limitom binomického rozdelenia.

Hlavný rozdiel medzi týmito dvomi distribúciami je v tom, že zatiaľ čo binomické zloženie závisí od dvoch parametrov, konkrétne n a p, Poissonov závisí iba od λ, ktoré sa niekedy nazýva intenzita distribúcie.

Doteraz sme hovorili iba o rozdelení pravdepodobnosti pre prípady, v ktorých sú rôzne experimenty navzájom nezávislé; to znamená, keď výsledok jedného nie je ovplyvnený iným výsledkom.

Ak dôjde k experimentom, ktoré nie sú nezávislé, je veľmi užitočné hypergeometrické rozdelenie.

Hypergeometrické rozdelenie

Nech N je celkový počet objektov konečnej množiny, z ktorých môžeme nejakým spôsobom identifikovať k, čím vytvoríme podskupinu K, ktorej doplnok tvoria zostávajúce prvky Nk.

Ak náhodne vyberieme n objektov, má náhodná premenná X, ktorá predstavuje počet objektov patriacich do K v uvedenej voľbe, hypergeometrické rozdelenie parametrov N, n a k. Jeho pravdepodobnostná hmotnostná funkcia je:

Nasledujúci graf predstavuje hmotnostnú funkciu pravdepodobnosti pre rôzne hodnoty parametrov hypergeometrického rozdelenia.

Riešené cvičenia

Prvé cvičenie

Predpokladajme, že pravdepodobnosť, že rádiová trubica (umiestnená v určitom type zariadenia) bude pracovať viac ako 500 hodín, je 0,2. Ak sa testuje 20 skúmaviek, aká je pravdepodobnosť, že presne k z nich bude bežať dlhšie ako 500 hodín, k = 0, 1,2,…, 20?

Riešenie

Ak X je počet elektrónok, ktoré pracujú viac ako 500 hodín, predpokladáme, že X má binomické rozdelenie. tak

A tak:

Pre k≥11 sú pravdepodobnosti nižšie ako 0,001

Vidíme teda, ako sa zvyšuje pravdepodobnosť, že k z týchto prác po dobu dlhšiu ako 500 hodín, kým nedosiahne svoju maximálnu hodnotu (s k = 4) a potom nezačne klesať.

Druhé cvičenie

Mince sa vyhodí 6-krát. Keď je výsledok drahý, povieme, že je to úspech. Aká je pravdepodobnosť, že sa dve hlavy objavia presne?

Riešenie

V tomto prípade máme n = 6 a pravdepodobnosť úspechu aj neúspechu sú p = q = 1/2

Pravdepodobnosť, že sú dané dve hlavy (tj k = 2), je

Tretie cvičenie

Aká je pravdepodobnosť nájdenia najmenej štyroch hláv?

Riešenie

V tomto prípade máme k = 4, 5 alebo 6

Tretie cvičenie

Predpokladajme, že 2% položiek vyrobených v závode sú chybné. Nájdite pravdepodobnosť P, že vo vzorke 100 položiek sú tri chybné položky.

Riešenie

V tomto prípade by sme mohli použiť binomické rozdelenie pre n = 100 a p = 0,02, čím sa získa:

Pretože však p je malé, používame Poissonovu aproximáciu s λ = np = 2. takže,

Referencie

1. Kai Lai Chung. Teória elementárnej prospešnosti so stochastickými procesmi. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Diskrétna matematika a jej aplikácie. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Pravdepodobnosť a štatistické aplikácie. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Riešené problémy diskrétnej matematiky. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Problémy teórie a pravdepodobnosti. McGraw-Hill.