ZLOŽENÉ ČÍSLA: VLASTNOSTI, PRÍKLADY, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2025

Čísla zlúčenín sú celé čísla, ktoré majú viac ako dve deliče. Ak sa pozrieme pozorne, všetky čísla sú deliteľné presne samy o sebe a 1. Čísla, ktoré majú iba týchto dvoch deliteľov, sa nazývajú prvočísla a tie, ktoré ich majú viac, sú zložené.

Pozrime sa na číslo 2, ktoré je možné rozdeliť iba na 1 a 2. Číslo 3 má tiež dva deliče: 1 a 3. Obaja sú preto prvoradí. Teraz sa pozrime na číslo 12, ktoré môžeme presne rozdeliť na 2, 3, 4, 6 a 12. Tým, že máme 5 deliteľov, je 12 zložené číslo.

Obrázok 1. Čísla Prime v modrej farbe môžu predstavovať iba jeden rad bodiek, nie kombinované čísla v červenej farbe. Zdroj: Wikimedia Commons.

A čo sa stane s číslom 1, rozdielom všetkých ostatných? Nie je to prvotriedne, pretože nemá dvoch deliteľov a nie je zložené, preto 1 nepatrí do žiadnej z týchto dvoch kategórií. Existuje však mnoho ďalších čísel.

Zložené čísla môžu byť vyjadrené ako súčin prvočísel a tento produkt, s výnimkou poradia faktorov, je jedinečný pre každé číslo. Toto je zabezpečené základnou aritmetickou vetou aritmetiky, ktorú preukázal grécky matematik Euklid (325 - 365 pred Kr.).

Vráťme sa k číslu 12, ktoré môžeme vyjadriť rôznymi spôsobmi. Vyskúšajte niektoré:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2 ² x 3 = 3 x 2 ² = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

Tvary, ktoré sú zvýraznené tučným písmom, sú produktmi prvočísel a jediná vec, ktorá sa mení, je poradie faktorov, o ktorých vieme, že ich nezmenia. Ostatné formy, aj keď platné na vyjadrenie 12, neobsahujú iba prvočísla.

Príklady zložených čísel

Ak chceme zložené číslo rozložiť na svoje hlavné faktory, musíme ho rozdeliť medzi prvočísla takým spôsobom, že rozdelenie je presné, to znamená, že zvyšok je 0.

Tento postup sa nazýva prvotný faktorizmus alebo kanonický rozklad. Prvotné faktory môžu byť povýšené na pozitívnych exponentov.

Rozložíme číslo 570 s tým, že je párne, a preto deliteľné číslom 2, čo je prvočíslo.

Použijeme lištu na oddelenie čísla vľavo od oddeľovačov vpravo. Príslušné kvocienty sa umiestnia pod číslo tak, ako sú získané. Rozklad je úplný, keď posledná číslica v ľavom stĺpci je 1:

570 282
285 │

Pri vydelení číslom 2 je kvocient 285, ktorý je deliteľný číslom 5, ďalšie prvočíslo končiace číslom 5.

570 282
285 │5
57 │

57 je deliteľné 3, tiež prvočíslo, pretože súčet jeho číslic 5 + 7 = 12 je násobkom 3.

570 282
285 │5
57 │3
19 │

Nakoniec dostaneme 19, čo je prvočíslo, ktorého deliteľmi sú 19 a 1:

570 282
285 │5
57 │3
19 │19
1 │

Získaním 1 môžeme vyjadriť 570 takto:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

A vidíme, že v skutočnosti je to produkt 4 prvočísel.

V tomto príklade začneme delením 2, ale rovnaké faktory (v inom poradí) by sa získali, ak by sme napríklad začali delením 5.

Obrázok 2. Kompozitné číslo 42 sa môže tiež rozložiť pomocou diagramu v tvare stromu. Zdroj: Wikimedia Commons.

Kritériá deliteľnosti

Na rozloženie zloženého čísla na jeho hlavné faktory je potrebné ho presne rozdeliť. Kritériá deliteľnosti medzi prvočíslami sú pravidlá, ktoré umožňujú vedieť, kedy je dané číslo presne deliteľné iným, bez toho, aby sa museli snažiť alebo dokázať.

- deliteľnosť 2

Všetky párne čísla, tie, ktoré končia číslom 0 alebo párne číslo, sú deliteľné číslom 2.

- deliteľnosť 3

Ak súčet číslic čísla je násobkom 3, potom je číslo tiež deliteľné číslom 3.

- deliteľnosť 5

Čísla, ktoré končia číslom 0 alebo 5, sú deliteľné číslom 5.

-Dostupnosť do 7

Číslo je deliteľné číslom 7, ak pri oddeľovaní poslednej číslice, vynásobení číslom 2 a odčítaní zvyšného čísla je výsledná hodnota násobkom 7.

Toto pravidlo sa zdá byť trochu komplikovanejšie ako tie predchádzajúce, ale v skutočnosti to nie je také moc, tak sa pozrime na príklad: bude 98 deliteľné 7?

Postupujme podľa pokynov: oddelíme posledné číslo, ktoré je 8, vynásobíme ho číslom 2, ktoré dáva 16. Číslo, ktoré zostáva pri oddeľovaní čísla 8, je 9. Odpočítame 16 - 9 = 7. A keďže 7 je násobok sám, 98 je deliteľné medzi 7.

-Disibilita do 11

Ak sa súčet číslic v párnej polohe (2, 4, 6 …) odpočíta od súčtu číslic v nepárnej pozícii (1, 3, 5, 7…) a získa sa 0 alebo násobok 11, číslo je deliteľné 11.

Prvé násobky 11 sú ľahko identifikovateľné: sú 11, 22, 33, 44 … 99. Ale buďte opatrní, 111 nie, ale 110 je.

Ako príklad si ukážeme, či je 143 násobok 11.

Toto číslo má 3 číslice, jediná párna číslica je 4 (druhá), dve nepárne čísla sú 1 a 3 (prvá a tretia) a ich súčet je 4.

Odčítajú sa obidve súčty: 4 - 4 = 0 a keďže sa získa 0, ukáže sa, že 143 je násobok 11.

- Oddeliteľnosť do 13

Číslo bez tejto číslice sa musí odpočítať od 9-násobku tejto číslice. Ak sa počet vráti 0 alebo násobok 13, číslo je násobkom 13.

Ako príklad si overíme, že 156 je násobkom 13. Číslice sú 6 a číslo, ktoré zostane bez neho, je 15. Vynásobíme 6 x 9 = 54 a teraz odpočítame 54 - 15 = 39.

Ale 39 je 3 x 13, takže 56 je násobok 13.

Rozdeľte čísla medzi sebou

Dva alebo viac prvočísel alebo kombinovaných čísel môže byť prvočíslo alebo pomocné. To znamená, že jediný spoločný deliteľ, ktorý majú, je 1.

Pokiaľ ide o coprimes, treba pamätať na dve dôležité vlastnosti:

- Dve a tri po sebe idúce čísla sú vždy medzi sebou prvočiare.

- To isté možno povedať o dvoch, troch alebo viacerých po sebe idúcich nepárnych číslach.

Napríklad čísla 15, 16 a 17 sú prvočísla, rovnako ako čísla 15, 17 a 19.

Ako zistiť, koľko deliteľov má zložené číslo

Prvé číslo má dvoch deliteľov, rovnaké číslo a 1. A koľko deliteľov má zložené číslo? Môžu to byť bratranci alebo zlúčeniny.

Nech N je zložené číslo vyjadrené v kanonickom rozklade takto:

N = a ⁿ . b ^m . c ^p … r ^k

Ak a, b, c … r sú hlavné faktory a n, m, p… k príslušné exponenty. Počet deliteľov C, ktoré N má, je daný:

C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)

S C = prví delitelia + deliči + 1

Napríklad 570, ktorý je vyjadrený takto:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Všetky hlavné faktory sú zvýšené na 1, preto 570 má:

C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 deliteľov

Z týchto 10 deliteľov už vieme: 1, 2, 3, 5, 19 a 570. Chýba 10 ďalších deliteľov, čo sú zložené čísla: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 a 285. Nachádzajú sa pozorovaním rozkladu na hlavné faktory a tiež násobením kombinácií týchto faktorov spolu.

Riešené cvičenia

- Cvičenie 1

Rozdeľte nasledujúce čísla na hlavné faktory:

a) 98

b) 143

c) 540

d) 3705

Riešenie

98 │2
49 │7
7 │7
1 │

98 = 2 x 7 x 7

Riešenie b

143 │11
13 │13
1 │

143 = 11 x 13

Riešenie c

540 │5
108 │2
54 │2
27 │3
9 │3
3 │3
1 │

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2 ² x 3 ³

Riešenie d

3705 │5
741 │3
247 │13
19 │19
1 │

3705 = 5 x 3 x 13 x 19

- Cvičenie 2

Zistite, či sú nasledujúce čísla navzájom nadradené:

6, 14, 9

Riešenie

- Deliče 6 sú: 1, 2, 3, 6

-Ako pre 14, je deliteľné: 1, 2, 7, 14

- Konečne 9 má deliteľa: 1, 3, 9

Jediným deliteľom, ktorého majú spoločné, je 1, a preto sú si navzájom nadradení.

Referencie

1. Baldor, A. 1986. Aritmetika. Kodex vydaní a distribúcií.
2. Byju je. Počiatočné a zložené čísla. Obnovené z: byjus.com.
3. Počiatočné a zložené čísla. Obnovené z: profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
4. Smartick. Kritériá deliteľnosti. Obnovené z: smartick.es.
5. Wikipedia. Zložené čísla. Obnovené z: en.wikipedia.org.