4 FAKTORINGOVÉ CVIČENIA S RIEŠENIAMI - MATEMATIKA - 2025

Cvičenie faktorizácia pomôže pochopiť túto techniku, čo je oveľa používané v matematike a je v procese písania sumu ako produkt určitých podmienok.

Slovo faktorizácia sa týka faktorov, ktoré sú výrazmi, ktoré znásobujú iné výrazy. Napríklad pri prvotnej faktorizácii prirodzeného čísla sa príslušné prvočísla nazývajú faktory.

To znamená, že 14 možno písať ako 2 * 7. V tomto prípade sú prvými faktormi 14 2 a 7. To isté platí pre polynómy reálnych premenných.

To znamená, že ak máte polynóm P (x), potom faktorovanie polynómu spočíva v písaní P (x) ako súčin iných polynómov stupňa menších ako stupeň P (x).

Factoring

Na faktorovanie polynómu sa používajú rôzne techniky, vrátane významných produktov a výpočtu koreňov polynómu.

Ak máme polynóm druhého stupňa P (x) a x1 a x2 sú skutočné korene P (x), potom P (x) možno faktorizovať ako „a (x-x1) (x-x2)“, kde „a“ je koeficient, ktorý sprevádza kvadratickú moc.

Ako sa vypočítavajú korene?

Ak je polynóm stupňa 2, potom je možné korene vypočítať pomocou vzorca nazývaného „rezolúcia“.

Ak je polynóm stupňa 3 alebo viac, na výpočet koreňov sa zvyčajne používa Ruffiniho metóda.

4 faktoringové cvičenia

Prvé cvičenie

Faktor nasledujúci polynómu: P (x) = x²-1.

Riešenie

Nie vždy je potrebné použiť rezolúciu. V tomto príklade môžete použiť pozoruhodný produkt.

Pri prepisovaní polynómu takto vidíme, ktorý významný produkt sa má použiť: P (x) = x² - 1².

Použitím pozoruhodného produktu 1, rozdielu druhých mocnín, sme zistili, že polynóm P (x) môže byť faktorizovaný nasledovne: P (x) = (x + 1) (x-1).

To ďalej naznačuje, že korene P (x) sú x1 = -1 a x2 = 1.

Druhé cvičenie

Faktor nasledovného polynómu: Q (x) = x³ - 8.

Riešenie

Existuje pozoruhodný produkt, ktorý hovorí: a³-b³ = (ab) (a² + ab + b²).

S týmto vedomím je možné polynóm Q (x) prepisovať takto: Q (x) = x³-8 = x³ - 2³.

Teraz, s použitím opísaného pozoruhodného produktu, máme, že faktorizácia polynómu Q (x) je Q (x) = x³-2³ = (x-2) (x² + 2x + 2²) = (x-2) (x² + 2x + 4).

Kvadratický polynóm, ktorý vznikol v predchádzajúcom kroku, zostáva faktorizovaný. Ak sa na to pozriete, môže vám pomôcť Remarkable Product # 2; preto je konečná faktorizácia Q (x) daná vzťahom Q (x) = (x-2) (x + 2) ².

To hovorí, že jeden koreň Q (x) je x1 = 2 a že x2 = x3 = 2 je druhý koreň Q (x), ktorý sa opakuje.

Tretie cvičenie

Faktor R (x) = x² - x - 6.

Riešenie

Ak nie je možné zistiť pozoruhodný produkt alebo ak nie sú k dispozícii potrebné skúsenosti na manipuláciu s výrazom, pokračujeme v používaní rezolúcie. Hodnoty sú nasledujúce: a = 1, b = -1 a c = -6.

Výsledkom ich nahradenia vo vzorci je x = (-1 ± √ ((- 1) ² - 4 * 1 * (- 6))) / 2 * 1 = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5) )/dva.

Odtiaľto existujú dve riešenia, ktoré sú nasledujúce:

x1 = (-1 + 5) / 2 = 2

x2 = (-1-5) / 2 = -3.

Preto polynóm R (x) môže byť faktorovaný ako R (x) = (x-2) (x - (- 3)) = (x-2) (x + 3).

Štvrté cvičenie

Faktor H (x) = x3 - x² - 2x.

Riešenie

V tomto cvičení môžeme začať tým, že vezmeme spoločný faktor x a získame, že H (x) = x (x²-x-2).

Zostáva teda len faktor kvadratického polynómu. Ak použijeme znovu uznesenie, máme korene:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4 * 1 * (- 2))) / 2 * 1 = (-1 ± )9) / 2 = (-1 ± 3) / 2.

Preto korene kvadratického polynómu sú x1 = 1 a x2 = -2.

Na záver, faktorizácia polynómu H (x) je daná H (x) = x (x-1) (x + 2).

Referencie

1. 1. Fuentes, A. (2016). ZÁKLADNÁ MATH. Úvod do počtu. Lulu.com.
   2. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratické rovnice: Ako vyriešiť kvadratickú rovnicu. Marilù Garo.
   3. Haeussler, EF, a Paul, RS (2003). Matematika pre riadenie a ekonomiku. Pearson Education.
   4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Prah.
   5. Preciado, CT (2005). Kurz matematiky 3.. Redakčný progres.
   6. Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Tak ľahké. Team Rock Press.
   7. Sullivan, J. (2006). Algebra a trigonometria. Pearson Education.