NEK KOPLANÁRNE VEKTORY: DEFINÍCIA, PODMIENKY, CVIČENIA - FYZICKÝ - 2026

Medzi non - koplanárne vektory sú tie, ktoré nezdieľajú rovnakú rovinu. Dva voľné vektory a jeden bod definujú jednu rovinu. Tretí vektor môže alebo nemusí zdieľať túto rovinu, a ak to tak nie je, sú to ne-koplanárne vektory.

Nekoplanárne vektory nemôžu byť zastúpené v dvojrozmerných priestoroch, ako sú tabule alebo listy papiera, pretože niektoré z nich sú obsiahnuté v tretej dimenzii. Aby ste ich mohli správne reprezentovať, musíte použiť perspektívu.

Obrázok 1. Koplanárne a ne-koplanárne vektory. (Vlastné spracovanie)

Ak sa pozrieme na obrázok 1, všetky zobrazené objekty sú presne v rovine obrazovky, avšak vďaka perspektíve si náš mozog dokáže predstaviť rovinu (P), ktorá z nej vychádza.

Na tejto rovine (P) sú vektory r , s , u , zatiaľ čo vektory v a w nie sú v tejto rovine.

Preto vektory r , s , u sú koplanárne alebo koplanárne navzájom, pretože zdieľajú rovnakú rovinu (P). Vektory v a w nezdieľajú rovinu so žiadnym z ostatných zobrazených vektorov, a preto nie sú koplanárne.

Koplanárne vektory a rovnica roviny

Rovina je jednoznačne definovaná, ak sú v trojrozmernom priestore tri body.

Predpokladajme, že tieto tri body sú bod A, bod B a bod C, ktoré definujú rovinu (P). S týmito bodmi je možné skonštruovať dva vektory AB = u a AC = v, ktoré sú konštrukciou koplanárne s rovinou (P).

Výsledkom vektorového produktu (alebo krížového produktu) týchto dvoch vektorov je tretí vektor kolmý (alebo normálny) k obidvom, a teda kolmý na rovinu (P):

n = u X v => n ⊥ u a n ⊥ v => n ⊥ (P)

Akýkoľvek iný bod, ktorý patrí do roviny (P), sa musí presvedčiť, že vektor AQ je kolmý na vektor n ; To sa rovná tvrdeniu, že bodový produkt (alebo bodový produkt) n s AQ musí byť nula:

n • AQ = 0 (*)

Predchádzajúca podmienka je rovnocenná s tým, že:

AQ • ( u X v ) = 0

Táto rovnica zabezpečuje, že bod Q patrí do roviny (P).

Kartézska rovnica

Vyššie uvedená rovnica môže byť napísaná v karteziánskej podobe. Za týmto účelom napíšeme súradnice bodov A, Q a komponenty normálneho vektora n :

Zložky AQ sú teda:

Podmienkou pre to, aby bol vektor AQ obsiahnutý v rovine (P), je podmienka (*), ktorá sa teraz píše takto:

Výpočet bodkového produktu zostáva:

Ak je vyvinutý a upravený, zostáva:

Predchádzajúci výraz je karteziánska rovnica roviny (P), ako funkcia komponentov vektora normálneho k (P) a súradníc bodu A, ktorý patrí (P).

Podmienky pre to, aby tri vektory neboli koplanárne

Ako je vidieť v predchádzajúcej časti, podmienka AQ • ( u X v ) = 0 zaručuje, že vektor AQ je koplanárny k u a v .

Ak nazveme vektor AQ w, môžeme potvrdiť, že:

w , u a v sú koplanárne, iba vtedy, ak w • ( u X v ) = 0.

Podmienka nekopírovania

Ak je trojitý produkt (alebo zmiešaný produkt) troch vektorov odlišný od nuly, potom tieto tri vektory nie sú koplanárne.

Ak w • ( u X v ) ≠ 0, potom vektory u, v a w nie sú koplanárne.

Ak sú zavedené karteziánske komponenty vektorov u, v a w, je možné napísať stav nekalaninality takto:

Trojitý produkt má geometrickú interpretáciu a predstavuje objem rovnobežnostena generovaného tromi ne-koplanárnymi vektormi.

Obrázok 2. Tri ne-koplanárne vektory definujú rovnobežník, ktorého objem je modulom trojitého produktu. (Vlastné spracovanie)

Dôvod je nasledujúci; Keď sa dva z ne-koplanárnych vektorov množia vektorovo, získa sa vektor, ktorého veľkosť je oblasťou rovnobežníka, ktorý generujú.

Potom, keď je tento vektor skalárne znásobený tretím ne-koplanárnym vektorom, máme premietanie do vektora kolmého na rovinu, ktorú určujú prví dvaja, znásobenú plochou, ktorú určia.

Inými slovami, plocha rovnobežníka vygenerovaná prvými dvoma sa vynásobí výškou tretieho vektora.

Alternatívna podmienka nekopírovania

Ak máte tri vektory a žiadny z nich nie je možné písať ako lineárnu kombináciu ostatných dvoch, potom tieto tri vektory nie sú koplanárne. To znamená, že tri vektory u , v a w nie sú koplanárne, ak je ich stav:

α u + β V + γ w = 0

Je uspokojená, len ak α = 0, β = 0 a γ = 0.

Riešené cvičenia

- Cvičenie 1

Existujú tri vektory

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) a w = (-1, 2, z)

Všimnite si, že zložka z vektora w nie je známa.

Nájdite rozsah hodnôt, ktoré môže mať z, aby bolo zaručené, že tri vektory nebudú zdieľať rovnakú rovinu.

Riešenie

w • ( u X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Tento výraz sme nastavili na hodnotu nula

21 z + 18 = 0

a riešime pre z

z = -18 / 21 = -6/7

Ak premenná z nadobudla hodnotu -6/7, tri vektory by boli koplanárne.

Takže hodnoty z, ktoré zaručujú, že vektory nie sú koplanárne, sú hodnoty v nasledujúcom intervale:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

- Cvičenie 2

Nájdite objem rovnobežnostena znázorneného na nasledujúcom obrázku:

Riešenie

Aby sa našiel objem rovnobežnostena znázorneného na obrázku, určí sa karteziánske komponenty troch súbežných ne-koplanárnych vektorov na začiatku súradnicového systému. Prvým je vektor u 4 ma rovnobežný s osou X:

u = (4, 0, 0) m

Druhým je vektor v v rovine XY s veľkosťou 3m, ktorý tvorí s osou X 60 °:

v = (3 * cos 60 °, 3 x sin 60 °, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m

A tretí je vektor w 5 ma ktorého priemet v rovine XY tvorí 60 ° s osou X, navyše w tvorí 30 ° s osou Z.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

Po vykonaní výpočtov máme: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

Referencie

1. Figueroa, D. Séria: Fyzika pre vedu a techniku. Zväzok 1. Kinematika. 31 až 68.
2. Fyzický. Modul 8: Vektory. Získané z: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechanika pre inžinierov. statický 6. vydanie. 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Mechanika pre inžinierov: Statika a dynamika. 3. vydanie. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vector. Obnovené z: es.wikipedia.org